北师大版七年级一元一次方程解应用题总结和复习.docx
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北师大版七年级一元一次方程解应用题总结和复习
列一元一次方程解应用题的类型及练习
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
1．数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c.
（2）数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
2．日历中的规律
3.等积变形问题
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝
r2h
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
4．市场经济问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
5.和差倍分问题（劳力调配问题）：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
（1）倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
（2）多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
（3）增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
6．行程问题：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
7．储蓄问题
利润＝
×100%利息＝本金×利率×期数
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
8.工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
一、数字问题。
要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，abc=___________。
1、一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，正好等于这个两位数的十位数字与个位数字对调后的两位数，请问这个两位数是多少？
2、、有一个三位数，其各位数字之和为16.，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
二、日历中的方程（掌握日历或卡片中的规律）
日历中的规律：
横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。
1、礼堂第一排有a个座位，后面每一排比前一排多一个座位，则第n排的座位是（）
An+1Ba+（n+1）Ca+nDa+（n-1）
2、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________
3、若今天是星期一，问过2010年后是星期____________.
4、将1~7七个自然数分别填入下图锥中的各圆圈内，使三条线段上的三数之和、两圆周上的三数之和都等于12（如图）
5、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。
A3B4C5D6
6、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？
7、表2是从表1中截取的一部分，则a=_______
表1表2
10
a
21
1
2
3
4
…
2
4
6
8
…
3
6
9
12
…
4
8
12
16
…
...
…
…
…
…
（第四题）
8、将连续的自然数1~1001按如图的方式排列成一个长方形阵列
1234567
（1）用一个矩形任意圈出3行2列6个数，
891011121314如果圈出的6个数之和为57，这6个
15161718192021数分别是多少？
22232425262728
（2）用一个正方形框出16个数，要使
…………这16个数之和分别等于
1988；
2080
99599699799899910001001
三、等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。
1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000
.求原来正方形铁皮的边长。
2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？
3、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。
求锻造后的圆钢的长。
4、
用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框，窗的高比宽多0.6m。
求窗的高和宽。
（不考虑木料加工时损耗）
5、鱼儿离不开水，用一个底面半径为20厘米，高为45厘米的圆柱形的塑料桶给一个长方形的玻璃养鱼缸倒水，养鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？
6、直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。
四、利润率问题。
其数量关系是：
利润＝售价－进价，利润率=
×100%，售价=标价×折扣率，注意打几折销售就是按原价的十分之几出售。
1、丽丽的妈妈到百盛商场给她买一件漂亮毛衣，售货员说：
“这毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10％，只卖144元，丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道是多少元吗？
2、一种商品，甲提出按原价降低10元后卖掉，用售价的10％作积累；乙提出将原价降低20元卖掉，用售价的20％仍做积累，经测算两种积累一样多．则这种商品的原价是多少？
3、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？
4、某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
5、某服装商店以135元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25%，第二件亏损25%，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？
这二件衣服的成本价会一样吗？
算一算
五、调配问题
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
这类问题要搞清人数的变化。
1、某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？
2、甲乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
3、在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
4、学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
5某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？
6、某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？
六、行程问题。
（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）
要掌握行程中的基本关系：
路程＝速度×时间。
相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：
甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：
1同时不同地：
甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
2同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程
环形跑道上的相遇和追及问题：
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。
船（飞机）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。
车上（离）桥问题：
①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。
②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。
所走的路程为一个成长
③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长
④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长
1、A、B两地相距150千米。
一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？
2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？
4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？
5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。
七、银行储蓄问题。
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。
本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____＝（1＋_____×_____）×本金（不考虑利息税）
本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____×（1－_____）（考虑利息税）
1、张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券20000元，若在2003年7月8日可获得利息数为2790元，则这种国库券的年利率是多少？
2、小明的爸爸前年存了年利率为2.25％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买以一只价值576元的CD机，问小明爸爸前年存了多少钱？
3、教育储蓄年利率为1.98％，免征利息税，某企业发行的债券月利率为2.15‰，但要征收20％的利息税，为获取更大回报，投资者应悬着哪一种储蓄呢？
某人存入28000元，一年到期后可以多收益多少元？
4、肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少？
（精确到0.01％）
5、某人将20000元钱分成两部分，按两种不同方式存入银行，其中10000元按活期方式存一年，另10000元按定期存一年，一年后共取回21044元，又已知定期一年存款约利率为0.63％，求活期存款月利率是多少？
八.工程问题
1.一件工程，甲、乙、丙队单独做各需10天、12天、15天才能完成，现在计划开工7天完成，乙、丙先合做3天，乙队因事离去，由甲队代替，在各队工作效率都不变的情况下，能否按计划完成此工程？
2.水池有一个进水管，6小时可注满空池，池底有一个出水管，8小时可放完满池的水，如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？
3.某地下管道由甲队单独铺设需要3天完成，乙队单独铺设要5天完成，甲队铺设了1/5的工作量后，为了加快进度，乙队加入，从另一端铺设，问管道铺好，乙队做了多少天？
4、一件工程，甲、乙、丙队单独做各需10天、12天、15天才能完成，现在计划开工7天完成，乙、丙先合做3天，乙队因事离去，由甲队代替，在各队工作效率都不变的情况下，能否按计划完成此工程
练习：
1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，
≈3.14）．
4．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
5．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：
3：
5，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？
6．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．
7．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？
应交电费是多少元？
8．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
答案
1．解：
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．
根据题意，得
×
+（
+
）x=1
解这个方程，得x=
=2小时12分
答：
甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
2．解：
设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
由题意，得2×（9+x）=15+x
18+2x=15+x，2x-x=15-18
∴x=-3
答：
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
（点拨：
-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）
3．解：
设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
·（
）2x=300×300×80
x≈229.3
答：
圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
4．解：
设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为
分．
过完第二铁桥所需的时间为
分．
依题意，可列出方程
+
=
解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：
第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．
5．解：
设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，
那么红色和白色配料分别为3x克和5x克．
根据题意，得2x+3x+5x=50
解这个方程，得x=5
于是2x=10，3x=15，5x=25
答：
这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10克，15克和25克．
6．解：
设这一天有x名工人加工甲种零件，
则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．
根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440
解得x=6
答：
这一天有6名工人加工甲种零件．
7．解：
（1）由题意，得
0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72
解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时，则
0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40（元）
答：
九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．
8．解：
按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000
即5x+7（50-x）=300
2x=50
x=25
50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000
3x+5（50-x）=1800
x=35
50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：
一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择
（1）中的方案①，可获利
150×25+250×15=8750（元）
若选择
（1）中的方案②，可获利
150×35+250×15=9000（元）
9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案．
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