空间向量讲义非常好用资料全docx.docx
《空间向量讲义非常好用资料全docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量讲义非常好用资料全docx.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
空间向量讲义非常好用资料全docx
向量的数量积和坐标运算
a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a||b|cos.其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘
积.其坐标运算是：
若a（x1,y1,z1）,b（x2,y2,z2），则
①abx1x2
y1y2
z1z2；
②|a|
x12
y12
z12,|b|
x22
y22
z22；
③abx1x2
y1y2
z1z2
④cos
a,b
x1x2
y1y2
z1z2
x12
y12
z12
x22
y22
z22
1.2.异面直线m,n所成的角
分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n
所成的角
等于向量a,b所成的角或其补角
（如图1
所示），则
cos
|ab|
A
n
.
Ca
|a||b|
1.3.异面直线m、n的距离
n
m
D图1bB
分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的
向量n，分别在
m、n
上各取一个定点A、B，则异面直线
、的距离d等于AB在n上的射影
mn
长，即d
|ABn|.
|n|
1.4.直线L与平面
所成的角
在L上取定AB，求平面
n
|AB
n|
，则
的法向量（如图2
所示），再求cos
|n|
|AB|
2
为所求的角.
1.5．二面角
n1
n2
方法一：
构造二面角
l
的两个半平面
、的法向量
l
n1、n2
（都取向上的方向，如图3
所示），则
图3甲
①
若二面角
l
是“钝角型”的如图3
甲所示，那么其
大小等于两法向量n1
、n2
的夹角的补角，即
n1
n2
.（例如2004
年高考数
cos
|n2|
|n1|
学广东卷第18
题第
（1）问）.
②若二面角
l
是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小
n2
n1
等于两法向量n1
n1
n2
.
、n2的夹角，即cos
l
|n1|
|n2
|
图3乙
③方法二：
在二面角的棱l上确定两个点
A、B，过A、B分别在平面
、内求出与l垂直的
向量n1、n2（如图
4所示），则二面角
l的大小等于向量
n1n2
n2
n1、n2的夹角，即
cos
.
B
n1
|n1||n2|
l
A
1.6.平面外一点p到平面
的距离
图4
先求出平面的法向量n，在平面内任取一定点A，则点p到平面
p
的距离d等于AP在n上的射影长，即d
|APn|.
n
|n|
A
图5
练习
1．在长方体ABCD
A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为
60°和45°，则异面直线B1C
和C1D所成角的余弦值为
．
2.如图，正四棱柱ABCD
A1B1C1D1
中，AA1
2AB，则异面直线A1B与AD1
D1
C1
所成角的余弦值为（
）
A1
A．1
B．2
C．3
D．4
5
5
5
5
C
D
A
B
3．，在四面体S-ABC中，E、F、G、H、M、N分别是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB
的中点，且EF=GH=MN,求证：
SABC,SBAC,SCAB.
4．如图2，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的
角．
5．如图3，直三棱柱ABC
A1B1C1
中，底面是等腰直角三角形，
ACB
，侧棱AA1
2，D，E
90°
分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
求点A1到平面AED的距离．
6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且PQ2，确定
P，Q的位置，使QB1PD1．
7．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90°，SA面ABCD，
SAABBC1，AD1，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值．
2
7.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明EF∥平面SAD；
（2）设SD2DC，求二面角AEFD的大小的余弦值．
S
F
C
D
AEB
8．（本小题满分
14分）
如图，三棱柱
A1B1C1
ABC中，平面A1AB
平面ABC,
平面A1AC
平面
ABC,
BAC
90,AB
AC
2,AA1
3.
（Ⅰ）
求证：
AA1
平面ABC；
（Ⅱ）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点B1到平面ABC1的距离
9、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝
2，底面ABCD
为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（1
）求证：
PO⊥平面ABCD；
（2
）求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小；
（3
）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
3
？
若存在，求出AQ的
2
QD
值；若不存在，请说明理由.
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2。
E是CC1的中点，
（1
）求锐二面角D-B1E-B的余弦值
（2
）试判断AC与面DB1E的位置关系，并说明理由。
（3
）设M是棱AB上一点，若M到面DB1E的距离为
21，试确定点M的位置。
7
D1
C1
A1
B1
E
D
C
11如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，ABC60,E，
F分别是BC,PC的中点.
（Ⅰ）证明：
AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角正切
6
值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
12．长方体ABCD-A1BlClD1中，AB=2，AD=1，AA1=2，E、F分别是
AB、CD的中点
（1）求证：
DlE⊥平面ABlF；
（2）求直线AB与平面ABlF所成的角
（3）求二面角A-B1F-B的大小。
13．如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平
面PAB．
P
（I）求证：
AB平面PCB；
（II）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
D
B
CA
课外练习
1．如右下图，在长方体
ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、
BC上的点，且EB=FB=1．
D1
（1）求二面角C-DE-C1的正切值；
C1
（2）求直线EC1
与FD1所成的余弦值．
A1
B1
D
C
F
A
EB
2已知，如图四棱锥P
ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
PG平面ABCD，垂足为G,G在AD上，且AG
1GD，
3
BGGC,GBGC
2,E是BC的中点，四面体P
BCG的体
积为8
3
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角余弦值；
（Ⅱ）若F点是棱PC
上一点，且DF
PF
的值.
GC，求
FC
升级会员 