高考理科数学全国1卷含答案.docx

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高考理科数学全国1卷含答案

2016年普通高等学校招生全统一考试

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：

本题共

12小题，每小题

5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）

设集合A

xx2

4x

30，B

x2x

3

0，则AB

（

A

）（

3

，

3

）（B）（

3

）

（

C

）（，3

）

（

D

）（

3

2

3，

1

，3）

2

2

2

（2）

设（1i）x

1

yi，其中x,y是实数，则

x

yi

（A）1

（B）

2

（C）3

（D）2

（3）

已知等差数列

an

前9项的和为27，a10

8，则a100

（A）100

（B）99

（C）98

（D）97

（4）

某公司的班车在

7:

30,8:

00,8:

30

发车，小明在7:

50

至8:

30之间到达发车站乘坐班车，

且到达发车站

的时刻是随机的，则他等车时间不超过

10分钟的概率是

（A）1

（B）1

（C）2

（D）3

3

2

3

4

（5）

已知方程

x2

y2

1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为

4，则m的取值范围是

m2

n

3m2

n

（A）（1，3）

（B）（1，

3）

（C）（0，3）

（D）（0，

3）

（6）

如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半

径．若该几何体的体积是

28

，则它的表面积是

3

（A）17π

（B）18π

（C）20π

（D）28π

（7）

函数y

2x2

x

在

2，2的图象大致为

e

y

y

y

y

1

1

1

1

-2

O

2x

-2

O

2x

-2

O

2x

-2

O

2x

（A）

（B）

（C）

（D）

理科数学试卷A型第1页（共5页）

（8）若ab

1，0

c1，则

开始

（A）ac

bc

（B）abc

bac

输入x,y,n

（C）alogbc

blogac

（D）logac

logbc

xx

n1,yny

n

n1

（9）

执行右图的程序框图，如果输入的

x0,y

1,n

1，则输

2

出x,y的值满足

x2

y2

36

否

（A）y2x

（B）y3x

（C）y4x

（D）y5x

是

（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交

C于A,B两点，交C的准线于D,E两

输出x,y

点．已知AB

42，DE

2

5，则C的焦点到准线的距离为

结束

（A）2

（B）4

（C）6

（D）8

（11）平面过正方体ABCD

A1B1C1D1的顶点A，

∥平面CB1D1，

∩平面ABCD

m，

∩平

面ABB1A1n，则m,n所成角的正弦值为

（A）3

（B）

2

（C）

3

（D）1

2

2

3

3

（12）已知函数f（x）

sin（x

）（

0,

），x

为f（x）的零点，x

为y

f（x）图象

2

4

4

的对称轴，且

f（x）在（

5

）单调，则

的最大值为

18

36

（A）11

（B）9

（C）7

（D）5

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。

第

（13）～（21）

题为必考题，每个试题都必须作答。

第

（22）～（24）题为

选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

本题共

4小题，每小题

5分。

（13）设向量a

2

2

2

（m,1），b（1,2），且ab

a

b，则m

．

（14）（2x

x）5的展开式中，x3

的系数是

．（用数字填写答案）

（15）设等比数列

an满足a1a3

10，a2

a4

5，则a1a2

an的最大值为

．

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品的利

理科数学试卷A型第2页（共5页）

润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超

过600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosC（acosBbcosA）c.

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c7，△ABC的面积为33.求△ABC的周长.

2

（18）（本小题满分12分）

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，

且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.

（Ⅰ）证明：

平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角EBCA的余弦值.

C

D

E

A

F

B

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰

.机器有一易损零件，在购买机器时，可

以额外购买这种零件为备件，

每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，

则每个500元.

现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜

频数

集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得

40

下面柱状图：

20

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替

1台机器

更换的易损零件数发生的频率，

记X表示2台机器三年内

O8

910

11更换的易损零件数

共需更换的易损零件数，

n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X

n）

0.5，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在

n19与n

20之中选其一，应选用哪

个？

理科数学试卷A型第3页（共5页）

（20）（本小题满分12分）

设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C,D两

点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q

两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数f（x）（x2）exa（x1）2有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1,x2是f（x）的两个零点，证明：

x1x22.

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，△OAB是等腰三角形，AOB

120.以O为圆心，

1OA为半径作圆.

2

（Ⅰ）证明：

直线AB与⊙O相切；

D

C

（Ⅱ）点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：

O

AB∥CD.

A

B

（23）（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

x

acost,

0）.在以坐标原点

y

1

（t为参数，a

asint,

为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

C2：

4cos.

理科数学试卷A型第4页（共5页）

（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在

C3上，求a.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数f（x）x12x3.

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出yf（x）的图像；

（Ⅱ）求不等式f（x）1的解集.

y

1

o1x

理科数学试卷A型第5页（共5页）

2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析

一、选择题

【答案】

（1）D

（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（10）B

（11）A（12）B

【解析】

（1）Axx2

4x

30

x1x

3，B

x2x30

xx

3

，∴

2

A

B

x3

x

3．

2

（）∵

（1i）x1yi

即

xxi1yi

∴

x

1，解得：

x

1，∴

xyi

x

2

y

2

2

．

2

x

y

y

1

（3）∵

9（a1

a9）

9

2a5

9a5

27∴a5

3，∵a108∴d

a10

a5

1，∴

S9

2

2

10

5

a100

a10

90d

98．

（4）如图所示，画出时间轴：

7:

30

7:

40

7:

50

8:

00

8:

10

8:

20

8:

30

A

C

D

B

小明到达的时间会随机的落在图中线段

AB中，而当他的到达时间落在线段

AC或DB时，才

能保证他等车的时间不超过

10分钟，

根据几何概型，所求概率

p

10

10

1

．

40

2

（5）

x2

y2

1表示双曲线，则

（

m

2

）（3

2

）

0

，∴

m

2

n3m

2

m2

n

3m2

n

nm

n

，

2c

4

∵

2

（m2

n）

（3m2

n）

4m2

c

解得m2

1，∴

1n

3

．

（6）原立体图如图所示：

是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图，表面积是

7/8的球面面积和三个扇形面积之和，

理科数学试卷A型第6页（共5页）

∴S

7

4

22

31

22

17

8

4

（7）f

（2）

8

e2

8

2.82

0

，排除A；

f

（2）

8e2

8

2.72

1，排除B；

x0时，f（x）

2x2

ex，f（x）4xex，当x

（0,1）时，f（x）

1

4e0

0∴

4

4

f（x）在（0,1）单调递减，排除

C；

4

故选D

（8）对A：

由于0

c

1，∴函数yxc在R上单调递增，因此a

b

1ac

bc

，A错误；

对B：

由于

1

c

1

0，∴函数y

xc1在1,

上单调递减，

∴ab1ac1

bc1

bac

abc

，B错误

对C：

要比较alogbc和blogac，只需比较alnc和blnc，只需比较

lnc和lnc

，只需blnb

lnb

lna

blnb

alna

和alna

构造函数fxxlnxx1，则f'xlnx110，fx在1,上单调递增，因此

fa

fb0alnablnb0

1

1

blnb

alna

又由0

c

1得lnc

0，∴lnc

lnc

blogac

alogbc，C正确

alna

blnb

对D：

要比较logac和logbc，只需比较lnc和lnc

lna

lnb

而函数y

lnx在1,

上单调递增，故

ab

1

lnalnb

0

1

lna

又由0

c

1得lnc

0，∴lnc

lnc

logac

logbc，D错误

lna

lnb

故选C．

1

1

1

1

【2°用特殊值法，令

a3,b

2,c

2

22

，排除A；3

22

得3

2

3log2

1

2log32，C正确；log31

log2

1

，排除D；∴选C】

2

2

2

（9）如下表：

判断

循环节运

n

1

y

y

ny

xx

x

2

y2

36

行次数

x2

运行前

0

1

/

第一次

0

1

否

第二次

1

2

否

2

第三次

3

6

是

2

1

lnb

1

232，排除B；

是否

nnn1

输出

/1

否2

否3

是

理科数学试卷A型第7页（共5页）

输出x

3

6，满足y4x

故选C．

，y

，

2

（10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为y2

2pxp0，设圆的方程为

x2

y2

r2

，题目条件翻译如图：

F

设Ax0,22，D

p,5

，

2

点A

x0,2

2

在抛物线y2

2px上，∴8

2px0⋯⋯①

p

p

2

D

5

r

2

5

2

点

2

在圆x

2

y

2

r

2

上，∴

⋯⋯②

点A

x0,2

2

在圆x2

y2

r2上，∴x02

8

r2⋯⋯③

联立①②③解得：

p

4，焦点到准线的距离为

p4．

2°【如图，设抛物线方程为

y2

2px，圆的半径为

r,

AB,DE交x轴于C,F点，则AC

2

2，即A点纵坐

标为

22

，则A点横坐标为

4，即OC

4

，由勾股定