初二讲义角平分线的判定与性质.docx

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初二讲义角平分线的判定与性质

第7讲角平分线的判定与性质

【知识点与方法梳理】

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线的判定定理：

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

角平分线的性质及判定

1.角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

推导

已知：

OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．

求证：

PA＝PB．

证明：

∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∵OC平分∠MON

∴∠1＝∠2

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO

∴PA＝PB

几何表达：

（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA＝PB．

2角平分线的判定：

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

推导：

已知：

点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：

点P在∠MON的平分线上．

证明：

连结OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）

∴∠1＝∠2

∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上．

几何表达：

（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

【经典例题】

例1．已知：

如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，

求证：

CF=EB

例2.已知：

如图，AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE相交于O点

求证：

O在∠C的平分线上

例3.如图AB∥CD，∠B＝90°，E是BC的中点。

DE平分∠ADC，

求证：

AE平分∠DAB。

例4.已知：

如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有

∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

【经典练习】

1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO

2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？

证明你的结论。

3.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（写出作法）。

4.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：

在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.

5.如图△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：

EB=FC

6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28

，AB＝8cm，AC＝6cm，求DE的长．

7、已知：

如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．

（1）求证：

AM平分∠DAB；

（2）猜想AM与DM的位置关系如何？

并证明你的结论．

【巩固练习】

基础训练题

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，

交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）

A.m+nB.

mnC.

D.

2.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C

3、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：

①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。

其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，在ΔABC中，,

分别是AB、AC上的点，

EF=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

且PD⊥BC于D，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,已知PD=4cm

则ΔPEF的周长是___________cm.

5.如图（7）：

AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M，N是AB的中点且BN=BC。

求证：

（1）MN平分∠AMB，

（2）∠A=∠CBM。

6.如图：

在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。

求证：

点D在∠A的平分线上。

7.如图8、AB＝CD，△PCD的面积等于△PAB的面积，求证：

OP平分∠BOD。

8.如图9、在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE交于点O，求证：

AE+CD＝AC。

能力提高题

1.已知：

如图，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：

AB＝AC+CD。

2.已知，如图2，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，

求证：

∠BAP+∠BCP＝180°。

3、如图，已知∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求证：

AD平分∠BAE

A

BDEC

（提示:

延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等）

4.如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，求AB与CD之间的距离

AB

E

O

CD

5.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：

AD平分∠BAC.

课后作业

1.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（）

A．

B．

C．mnD．2mn

2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的关系是（  ）

A.PC＞PD   B.PC＝PD  C.PC＜PD  D.不能确定

3.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是

A.3  B.4     C.5      D.6

4.如图，MP⊥NP，MQ平分∠NMP，MT＝MP，连结TQ，则下列不正确的是（）

A．TQ＝PQ．B.∠MQT＝∠MQP．C.∠QTN＝90°．D.∠NQT＝∠MQT．

第2题第3题第4题第5题

5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（）

A.DE＝DF．B.ME＝MF．C.AE＝AF．D.BD＝DC．

6.已知：

如图3，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．

7.如图所示AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，

A

B

C

D

E

求证：

AB=AD+AC。

8．已知：

如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．

求证：

OB＝OC.

9.已知：

如图9－5，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：

CM＝CN．

A

B

C

D

E

F

10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是线段AD的垂直平分线，

求证：

∠CAF＝∠ABD

11.已知：

如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且

△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：

射线OP是∠MON的平分线．