Excel回归结果地解读.docx

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Excel回归结果地解读

Excel回归结果的解读

利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。

下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列（图1）为例给予详细的说明。

图1连续10年的最大积雪深度与灌溉面积（1971－1980）

回归结果摘要（SummaryOutput）如下（图2）：

图2利用数据分析工具得到的回归结果

第一部分：

回归统计表

这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表1）：

表1回归统计表

逐行说明如下：

Multiple对应的数据是相关系数（correlationcoefficient），即R=0.989416。

RSquare对应的数值为测定系数（determinationcoefficient），或称拟合优度（goodnessoffit），它是相关系数的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。

Adjusted对应的是校正测定系数（adjusteddeterminationcoefficient），计算公式为

式中n为样本数，m为变量数，R2为测定系数。

对于本例，n=10，m=1，R2=0.978944，代入上式得

标准误差（standarderror）对应的即所谓标准误差，计算公式为

这里SSe为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得

最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=10。

第二部分，方差分析表

方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F值、P值等（表2）。

表2方差分析表（ANOVA）

逐列、分行说明如下：

第一列df对应的是自由度（degreeoffreedom），第一行是回归自由度dfr，等于变量数目，即dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有dft=n-1。

对于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。

第二列SS对应的是误差平方和，或称变差。

第一行为回归平方和或称回归变差SSr，即有

它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。

SSr又称组间离差平方和，反应出不同的因子对样本波动的影响

第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe，即有

它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。

上述的y的标准误差即由SSe给出。

SSe又称组内离差平方和，是不考虑组间方差的纯随机影响

第三行为总平方和或称总变差SSt，即有

它表示的是因变量对其平均值的总偏差。

容易验证748.8542+16.10676=764.961，即有

总离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和

样本数据的波动有两个来源：

一个是随机波动，一个是因子影响。

样本数据的波动，可通过总离差平方和来反映。

这个总离差平方和可分解为组间方差和组内方差两部分。

而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有

显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。

方差、均方差：

表示一组数相对平均值的离散程度

R2：

预测值与实际值相对平均值的分布情况比较，越接近1，说明预测值和实际值的分布情况越接近。

第四列MS对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。

第一行为回归均方差MSr，即有

第二行为剩余均方差MSe，即有

显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。

第四列对应的是F值，用于线性关系的判定。

对于一元线性回归，F值的计算公式为

式中R2=0.978944，dfe=10-1-1=8，因此

方差、均方差：

表示一组数相对平均值的离散程度

F检验完整公式

F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的均方差，以确定他们的精密度是否有显著性差异。

F

F≥F表表明两组数据存在显著差异。

此处的F检验是比较回归均方差（组间均方差）和剩余均方差（组内均方差），如果组间均方差明显大于组内均方差，说明数据波动的主要来源是组间均方差，因子是引起波动的主要原因，可认为因子影响是显著的。

第五列SignificanceF对应的是在显著性水平下的Fα临界值，其实等于P值，即弃真概率。

所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P便是模型为真的概率。

可见，P值越小越好。

对于本例，P=0.0000000542<0.0001，故置信度达到99.99%以上。

第三部分，回归参数表

回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3）。

表3回归参数表

第一列Coefficients对应的模型的回归系数，包括截距a=2.356437929和斜率b=1.812921065，由此可以建立回归模型

或

第二列为回归系数的标准误差（用

或

表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。

这个参数较少使用，只是在一些特别的场合出现。

例如L.Benguigui等人在Whenandwhereisacityfractal?

一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用0.04作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。

不常使用标准误差的原因在于：

其统计信息已经包含在后述的t检验中。

第三列tStat对应的是统计量t值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。

t值是回归系数与其标准误差的比值，即有

，

根据表3中的数据容易算出：

，

对于一元线性回归，t值可用相关系数或测定系数计算，公式如下

将R=0.989416、n=10、m=1代入上式得到

对于一元线性回归，F值与t值都与相关系数R等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。

但是，对于多元线性回归，t检验就不可缺省了。

第四列Pvalue对应的是参数的P值（双侧）。

当P<0.05时，可以认为模型在α=0.05的水平上显著，或者置信度达到95%；当P<0.01时，可以认为模型在α=0.01的水平上显著，或者置信度达到99%；当P<0.001时，可以认为模型在α=0.001的水平上显著，或者置信度达到99.9%。

对于本例，P=0.0000000542<0.0001，故可认为在α=0.0001的水平上显著，或者置信度达到99.99%。

P值检验与t值检验是等价的，但P值不用查表，显然要方便得多。

最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。

可以看出，在α=0.05的显著水平上，截距的变化上限和下限为-1.85865和6.57153，即有

斜率的变化极限则为1.59615和2.02969，即有

第四部分，残差输出结果

这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。

残差输出中包括观测值序号（第一列，用i表示），因变量的预测值（第二列，用

表示），残差（residuals，第三列，用ei表示）以及标准残差（表4）。

表4残差输出结果

预测值是用回归模型

计算的结果，式中xi即原始数据的中的自变量。

从图1可见，x1=15.2，代入上式，得

其余依此类推。

残差ei的计算公式为

从图1可见，y1=28.6，代入上式，得到

其余依此类推。

标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average和标准差命令stdev容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为1.337774。

利用求平均值命令standardize（残差的单元格范围，均值，标准差）立即算出表4中的结果。

当然，也可以利用数据标准化公式

逐一计算。

将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有

利用Excel的求平方和命令sumsq容易验证上述结果。

以最大积雪深度xi为自变量，以残差ei为因变量，作散点图，可得残差图（图3）。

残差点列的分布越是没有趋势（没有规则，即越是随机），回归的结果就越是可靠。

用最大积雪深度xi为自变量，用灌溉面积yi及其预测值

为因变量，作散点图，可得线性拟合图（图4）。

图3残差图

图4线性拟合图

第五部分，概率输出结果

在选项输出中，还有一个概率输出（ProbabilityOutput）表（表5）。

第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序（即从小到大）——选中图1中的第三列（C列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮

，立即得到表5中的第二列数值。

当然，也可以沿着主菜单的“数据（D）→

排序（S）”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。

用表5中的数据作散点图，可以得到Excel所谓的正态概率图（图5）。

表5概率输出表

图5正态概率图

【几点说明】

第一，多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m≠1，F值和t值等统计量与R值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。

第二，利用SPSS给出的结果与Excel也大同小异。

当然，SPSS可以给出更多的统计量，如DW值。

在表示方法上，SPSS也有一些不同，例如PValue（P值）用Sig.（显著性）表征，因为二者等价。

只要能够读懂Excel的回归摘要，就可以读懂SPSS回归输出结果的大部分内容。