北师大九年级上12矩形的性质与判定同步练习有答案第2课时矩形的判定.docx

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北师大九年级上12矩形的性质与判定同步练习有答案第2课时矩形的判定

第2课时　矩形的判定

1．甲、乙、丙、丁四名同学到木工厂参观时，一位木工师傅要他们拿尺子帮忙检测一个窗框是不是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　）

A．甲量得窗框的两组对边分别相等

B．乙量得窗框的两条对角线相等

C．丙量得窗框的一组邻边相等

D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等

2．如图16，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：

四边形ABCD是矩形．

图16

3．如图17所示，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，对角线AC和BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD为矩形，则还需增加一个条件是____________．

图17

4．如图18，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件________，才能保证四边形EFGH是矩形．

图18

5．2017·徐州如图19，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.

（1）求证：

四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．

图19

6．如图20，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当BC＝2AB时，四边形PEMF为________形．

图20

7．如图21，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.

（1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连接CF，CE.求证：

四边形AFCE是矩形．

图21

8．已知：

如图22，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：

四边形EFGH是矩形．

图22

9．如图23，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从点A开始沿折线A→B→C→D以4cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts，则当t为________时，四边形APQD为矩形．

图23

10．如图24，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：

EO＝FO；

（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？

并说明理由．

图24

11．如图25，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1cm/s向点C，A运动．

（1）当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？

请说明理由．

（2）若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？

如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

图25

12．如图26，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y＝

x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.

求证：

四边形ABCD是矩形．

图26

13．如图27①，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a.

（1）平移后的图形是矩形吗？

为什么？

（2）图②中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E.求证：

∠2＝∠1＋∠3.

图

27

1．D.

2．证明：

∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.

又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足132＝52＋122，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．

3．答案不唯一，如∠BAD＝90°或AC＝BD等

4．答案不唯一，如AC⊥BD

5．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.

∵O为BC的中点，∴BO＝CO.

在△BOE和△COD中，

∠OEB＝∠ODC，∠BOE＝∠COD，BO＝CO，

∴△BOE≌△COD（AAS），∴OE＝OD，

∴四边形BECD是平行四边形．

（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD＝∠A＝50°.

∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，

∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，

∴CO＝OD.

又∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.

∵四边形BECD是平行四边形，

∴四边形BECD是矩形．

6．矩　

7．解：

（1）∵△ABC是等边三角形，且D是BC边的中点，

∴AD平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°.

∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，

∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°.

（2）证明：

∵△ABC是等边三角形，F是AB边的中点，∴CF⊥AB.

由

（1）知∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，

∴∠FAE＝90°，∴AE∥CF.

∵△ABC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，∴AD＝CF.

又∵AD＝AE，∴CF＝AE，

∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵∠FAE＝90°，∴▱AFCE是矩形．

8．证明：

∵E是OA的中点，∴OE＝

OA.

同理OG＝

OC.

∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，

∴OE＝OG.同理OF＝OH，

∴四边形EFGH是平行四边形．

∵OE＝

OA，OG＝

OC，

∴EG＝OE＋OG＝

AC.同理FH＝

BD.

又∵AC＝BD，∴EG＝FH，

∴▱EFGH是矩形．

9．4　

10．解：

（1）证明：

如图，∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，

∴∠3＝∠2，∴EO＝OC.

同理，FO＝OC，∴EO＝FO.

（2）∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5.

又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝

×180°＝90°，

∴△ECF为直角三角形．

在Rt△ECF中，∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝10.

∵EO＝FO＝OC，∴OC＝

EF＝5.

（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

理由：

∵EO＝FO，O是AC的中点，

∴四边形AECF是平行四边形．

又∵∠ECF＝90°，∴▱AECF是矩形．

11．解：

（1）当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．

理由：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵E，F两动点分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，∴AE＝CF，∴OE＝OF，

∴BD，EF互相平分，

∴四边形DEBF是平行四边形．

（2）∵四边形DEBF是平行四边形，

∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．

∵BD＝12cm，∴EF＝12cm，

∴OE＝OF＝6cm.

∵AC＝16cm，∴OA＝OC＝8cm，

∴AE＝2cm或AE＝14cm.

∵动点的速度都是1cm/s，

∴t＝2s或t＝14s.

故当运动时间t＝2s或14s时，四边形DEBF为矩形．

12．证明：

∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠ACD.又∵BE＝DE，∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴m＝6.∵点B在直线y＝

x＋1上，∴n＝4，∴A（2，4），B（6，4），∴AB∥CD∥x轴．∵△AEB的面积是2，∴▱ABCD的面积是8.又∵CD＝4，∴▱ABCD的高是2，∴q＝4－2＝2.把q＝2代入直线y＝

x＋1得p＝2，∴点D（2，2），∴点C（6，2），∴AD∥BC∥y轴，∴四边形ABCD是矩形．

13．解：

（1）平移后的图形是矩形．理由：

∵平移后的图形是平行四边形，又这个平行四边形相邻的两边垂直，∴平移后的图形是矩形．

（2）证明：

∵AD∥BC，

∴∠3＝∠GCB.

∵∠1＋∠CDB＝90°，∠DBC＋∠CDB＝90°，

∴∠1＝∠DBC.

∵∠2＝∠DBC＋∠GCB，

∴∠2＝∠1＋∠3.