高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本文.docx

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高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本文

2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本文

1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是（　　）

A.B.（1,+∞）C.（1,2）D.

2.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于（　　）

A.2B.4C.8D.

3.设F1,F2分别是椭圆C:

+=1（a>b>0）的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

4.已知椭圆E:

+=1（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为（1,-1）,则E的方程为（　　）

A.+=1B.+=1

C.+=1D.+=1

5.已知椭圆C:

+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为（　　）

A.B.C.D.

6.直线x-2y+2=0过椭圆+=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为　　　　　　　. 

7.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为　　　　. 

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点,顶点B的坐标为（0,b）,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.

（1）若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;

（2）若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

9.（xx课标Ⅱ,20,12分）设F1,F2分别是椭圆C:

+=1（a>b>0）的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为,求C的离心率;

（2）若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

B组　提升题组

10.已知椭圆E:

+=1（a>b>0）的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:

3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

11.已知椭圆+=1（a>b>0）上的动点到焦点的距离的最小值为-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为（　　）

A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1

12.已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于　　　　. 

13.如图,椭圆的中心是坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为　　　　　　. 

14.已知椭圆E:

+=1（a>b>0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c,0）,（0,b）的直线的距离为c.

（1）求椭圆E的离心率;

（2）如图,AB是圆M:

（x+2）2+（y-1）2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.

答案全解全析

A组　基础题组

1.C　∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴

解得

故k的取值范围为（1,2）.

2.B　设椭圆的另一个焦点为F2.如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,

∴|MF2|=10-|MF1|=8.

由题意知|ON|=|MF2|=4.故选B.

3.A　如图,设PF1的中点为M,连接PF2.

因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.

所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.

因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.

由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,

由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,

则e==·=.

4.D　直线AB的斜率k==,

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则

①-②得=-·.

即k=-×,

∴=.　　　　　　③

又a2-b2=c2=9,④

由③④得a2=18,b2=9.

∴椭圆E的方程为+=1,故选D.

5.B　由椭圆方程知c==1,所以F1（-1,0）,F2（1,0）,因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A（1,y0）,代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P（x1,y1）,则=（x1+1,y1）,=（0,y0）,所以·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.

6.答案　+y2=1

解析　直线x-2y+2=0与x轴的交点为（-2,0）,即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y轴的交点为（0,1）,即为椭圆的上顶点,故b=1.

所以a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为+y2=1.

7.答案　3

解析　由题意知|F1F2|=2,因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos120°==-,化简得8a=24,即a=3.

8.解析　设椭圆的焦距为2c,则F1（-c,0）,F2（c,0）.

（1）因为B（0,b）,所以BF2==a.

又BF2=,故a=.

因为点C在椭圆上,

所以+=1,解得b2=1.

故所求椭圆的方程为+y2=1.

（2）因为B（0,b）,F2（c,0）在直线AB上,

所以直线AB的方程为+=1.

解方程组

得

所以点A的坐标为.

又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.

因为直线F1C的斜率为

=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.

9.解析　

（1）根据c=及题设知M,∴=,即2b2=3ac.

将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2（舍去）.

故C的离心率为.

（2）由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D（0,2）是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①

由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.

设N（x1,y1）,由题意知y1<0,

则即

代入C的方程,得+=1.②

将①及c=代入②得+=1.

解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.

B组　提升题组

10.A　直线l:

3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M（0,b）,则由点M（0,b）到直线l的距离不小于,得≥,即b≥1.所以e2===≤,又0

11.C　由题意知a-c=-1①,b==1,所以a2-c2=1②,联立①②解得所以椭圆C的方程为+y2=1.故选C.

12.答案　3

解析　在△ABC中,由正弦定理得=,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以===3.

13.答案　

解析　设椭圆的方程为+=1（a>b>0）,∠B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则（a,-b）·（-c,-b）<0,得b20,即e2+e-1>0,解得e>或e<,又0

14.解析　

（1）过点（c,0）,（0,b）的直线方程为bx+cy-bc=0,

则原点O到该直线的距离d==,

由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==.

（2）解法一:

由

（1）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①

依题意,得圆心M（-2,1）是线段AB的中点,且|AB|=.

易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k（x+2）+1,代入①得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2-4b2=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=-,

x1x2=.

由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.

从而x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|==.

由|AB|=,得=,解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.

解法二:

由

（1）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②

依题意,得点A,B关于圆心M（-2,1）对称,且|AB|=.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则+4=4b2,+4=4b2,

两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得

-4（x1-x2）+8（y1-y2）=0,

易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,

所以AB的斜率kAB==.

因此直线AB的方程为y=（x+2）+1,

代入②得x2+4x+8-2b2=0.

所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|

==.

由|AB|=,得=,

解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.

2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理

1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B.（1,+∞）C.（1,2）D.

2.（xx黑龙江齐齐哈尔一中期末）已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为（　　）

A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1

3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为（　　）

A.2B.2C.4D.4

4.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为（　　）

A.3B.3或C.D.6或3

5.已知椭圆+=1（0

A.1B.C.D.

6.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P（-5,4）,则椭圆的标准方程为　　　　　　. 

7.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F（-2,0）,且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是　　　　　　　　. 

8.椭圆+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为　　　　. 

9.已知椭圆的两焦点为F1（-,0）,F2（,0）,离心率e=.

（1）求此椭圆的方程;

（2）设直线l:

y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.

10.已知椭圆+=1（a>b>0）,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.

（1）若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;

（2）若=2,·=,求椭圆的方程.

B组　提升题组

11.已知椭圆C:

+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B.C.D.

12.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F（-2,0）为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为（　　）

A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1

13.（xx江苏,10,5分）如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1（a>b>0）的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　. 

14.设F1,F2分别是椭圆C:

+=1（a>b>0）的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为　　　　. 

15.（xx云南检测）已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l:

y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A、B两个点.

（1）求椭圆E的方程;

（2）若=3,求m2的取值范围.

答案全解全析

A组　基础题组

1.C　∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以

解得

故k的取值范围为（1,2）.

2.C　设椭圆的方程为+=1（a>b>0）,由题意知

解得

所以椭圆的方程为+=1.

3.D　依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2=2=4.

4.C　由椭圆的方程知a=2,b=,c=1,当点P为短轴端点（0,）时,∠F1PF2=,△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1（或F2）,此时|PF1|==,=××2=.故选C.

5.D　由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-（|AF2|+|BF2|）≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点所在坐标轴的弦最短,则=3.所以b2=3,即b=.

6.答案　+=1

解析　由题意设椭圆的标准方程为+=1（a>b>0）.由离心率e=可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为+=1,将P（-5,4）代入可得c2=9,故椭圆的方程为+=1.

7.答案　+=1

解析　设椭圆C的方程为+=1（a>b>0）.

由题意知

解得a2=16,b2=12.

所以椭圆C的方程为+=1.

8.答案　120°

解析　由椭圆定义知,|PF2|=2,|F1F2|=2×=2.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.

9.解析　

（1）设椭圆方程为+=1（a>b>0）,由题意知c=,=,所以a=2,则b=1,所求椭圆方程为+y2=1.

（2）由

消去y,得5x2+8mx+4（m2-1）=0,则Δ=64m2-4×5×4（m2-1）>0,整理,得m2<5（*）.

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,

|PQ|==2.

解得m=±,满足（*）,所以m=±.

10.解析　

（1）∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,所以e==.

（2）由题知A（0,b）,F1（-c,0）,F2（c,0）,其中c=,设B（x,y）.由=2,得（c,-b）=2（x-c,y）,解得x=,y=-,即B.

将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2①.

又由·=（-c,-b）·=,得b2-c2=1,即a2-2c2=1②.

由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.

所以椭圆的方程为+=1.

B组　提升题组

11.B　由椭圆方程知c==1,所以F1（-1,0）,F2（1,0）,因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A（1,y0）,代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P（x1,y1）,则=（x1+1,y1）,又=（0,y0）,所以·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.

12.B　设椭圆的标准方程为+=1（a>b>0）,焦距为2c,右焦点为F',连接PF',如图所示.因为F（-2,0）为C的左焦点,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|===8.由椭圆定义,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-

（2）2=16,所以椭圆的方程为+=1.

13.答案　

解析　由已知条件易得B,C,F（c,0）,

∴=,=,

由∠BFC=90°,可得·=0,

所以+=0,

c2-a2+b2=0,

即4c2-3a2+（a2-c2）=0,

亦即3c2=2a2,

所以=,则e==.

14.答案　

解析　如图,设PF1的中点为M,连接PF2.

因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.

所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.

因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.

由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,

由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,

则e==·=.

15.解析　

（1）根据已知设椭圆E的方程为+=1（a>b>0）,

由已知得=,

∴c=a,b2=a2-c2=.

∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4,

∴4=2a=4,∴a=2,∴b=1.

∴椭圆E的方程为x2+=1.

（2）根据已知得P（0,m）,设A（x1,kx1+m）,B（x2,kx2+m）,

由得,（k2+4）x2+2mkx+m2-4=0.

由已知得Δ=4m2k2-4（k2+4）（m2-4）>0,

即k2-m2+4>0,

由一元二次方程的根与系数的关系知,x1+x2=,x1x2=.

由=3得x1=-3x2,

∴3（x1+x2）2+4x1x2=12-12=0.

∴+=0,即m2k2+m2-k2-4=0.

当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,∴k2=.

由题意知k≠0,m≠0,结合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k2>0,

∴-m2+4>0,即>0.

∴1

∴m2的取值范围为（1,4）.