完整高中数学导数典型例题精讲详细版doc.docx

完整高中数学导数典型例题精讲详细版doc.docx

《完整高中数学导数典型例题精讲详细版doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整高中数学导数典型例题精讲详细版doc.docx（49页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整高中数学导数典型例题精讲详细版doc

厚德启智心怀天下

导数经典例题精讲

数知点

数是一种特殊的极限

几个常用极限：

（1）lim

1

0

liman

0

（

|a|

1

limx

x

lim1

1

.

n

n

，n

）；

（2）x

x

0

，x

x

x

x0

0

0

sinx

x

两个重要的极限

：

（1）lim

1

；

（2）lim

1

1

e（e=2.718281845⋯）.

x0

x

x

x

函数极限的四运算法：

若

lim

f（x）

a，limg（x）b，

x

x0

x

x0

（1）limfx

gx

a

b；

（2）lim

fx

g

x

ab;（3）

lim

f

x

ab

0

.

xx0

x

x0

xx

g

x

b

0

数列极限的四运算法：

若liman

a,limbn

b

，

（1）

lim

anbnab；

n

n

n

（2）limanbn

ab（3）

liman

ab

0

（4）

lim

can

limcliman

ca（c是常数）

n

n

bn

b

n

n

n

f（x）在x0的数（或化率或微商）

f（x0）yxx

lim

y

lim

f（x0

x）

f（x0）

0

x0

x

x0

x

.瞬速度：

s（t）

lim

s

s（t

t）

s（t）

t

lim

t

t0

t0

.

.

瞬加速度：

a

v（t）

lim

v

limv（t

t）

v（t）.

t0

t

t0

t

f（x）在（a,b）的数：

f（x）

y

dy

df

lim

y

lim

f（x

x）f（x）.

dx

dx

x

0

x

x

0

x

函数y

f（x）在点x0的数的几何意

函数y

f（x）在点x0的数是曲y

f（x）在P（x0,f（x0））的切的斜率

f（x0），相

的切方程是yy0

f（x0）（x

x0）.

几种常函数的数

（1）

C

0（C常数）.

（2）

（xn）'

nxn1（n

Q）.（3）

（sinx）cosx.（cosx）

sinx

（4）

（lnx）

1；（logax）

1logae.

（5）

（ex）

ex;

（ax）axlna.

x

x

数的运算法

（1）（u

'

'

'

'

'

'

u

'

u'vuv'

v）

u

v

.

（2）（uv）

u

v

uv

.（3）（v）

v2（v0）.

复合函数的求法

函数u

（x）在点x有数ux'

'（x），函数y

f（u）在点x的点U有数

yu'

f'（u）

，复合函数y

f（

（x））

在点x有数，且yx'

yu'ux'，或写作

fx'（

（x））

f'（u）'（x）.

【例题解析】

考点1导数的概念

对概念的要求：

了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

13

例1．f（x）是f（x）x2x1的导函数，则f

（1）的值是．

[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

高中数学导数第1页共14页

厚德启智

心怀天下

[解答过程]Qf（x）

x22,

f

（1）

2

2

3.

1

故填3.

例2.设函数f（x）

x

a

集合M={x|f（x）

0},P={x|f'（x）

0},若M

P,则实数a的取值范围是（

）

x

1

A.（-∞,1）

B.（0,1）

C.（1,+∞）

D.[1,+∞）

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力

.

[解答过程]由x

a

0,

当a>1时,1

xa;当a<1时,a

x

1.

x

1

/

Qy

x

a,y/

x

a

x1x2

a

a120.

x

1

x

1

x

1

x1

a

1.

综上可得MP时,

a

1.

考点2

曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f（x）在某一点P（x,y）的切线，即求出函数

y=f（x）在P

点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

（2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线

.

典型例题

例3.已知函数f（x）

1x31ax2

bx在区间[

11），，（1，3]内各有一个极值点．

32

（I）求a24b的最大值；

（II）当a2

4b

8

时，设函数y

f（x）在点A（1，f

（1））

处的切线为l，若l在点A处穿过函数y

f（x）的图象（即

动点在点A附近沿曲线y

f（x）运动，经过点

A时，从l

的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式．

思路启迪：

用求导来求得切线斜率.

解答过程：

（I

）因为函数f（x）

1

x3

1

ax2

bx

在区间[

11），，（1，3]

内分别有一个极值点，所以

3

2

f

（x）x2

ax

b

0

在[

11），，（1，3]内分别有一个实根，

设两实根为

x1，x2（x1

x2

），则x2

x1

a2

4b

，且0x2x1≤4．于是

0

a2

4b≤4，0

a2

4b≤16

，且当x1

1，x2

3，即a

2，b3

时等号成立．故

a2

4b的最大值

是16．

（II）解法一：

由

f

（1）

1

a

b知f（x）在点（1，f

（1））处的切线l的方程是

y

f

（1）

f

（1）（x

1），即y

（1

a

b）x

2

1a，

3

2

因为切线l在点A（1，f（x））处空过y

f（x）的图象，

所以g（x）

f（x）

[（1

a

2

1

1两边附近的函数值异号，则

b）x

a]在x

3

2

x1不是g（x）的极值点．

而g（x）

1x3

1ax2

bx（1ab）x

2

1a，且

3

2

3

2

高中数学导数第2页共14页

厚德启智

心怀天下

g（x）x2

axb（1ab）x2

axa1（x1）（x1a）．

若1

1a

，则x

1

和x

1

a都是g（x）的极值点．

所以1

1

a，即a

2

，又由a2

4b

8，得b

1

，故f（x）

1x3

x2

x．

2

1

3

解法二：

同解法一得

g（x）

f（x）

[（1

a

b）x

a]

1

3a

3

3

2

（x

1）[x2

（1

）x

（2

a）]．

3

2

2

因为切线l在点

，

处穿过

y

f（x）

的图象，所以

g（x）

在x

1两边附近的函数值异号，于是存在

，

m2

A（1f

（1））

m1

（m11m2）．

当m1

x1时，g（x）

0，当1x

m2时，g（x）

0；

或当m1

x

1时，g（x）

0，当1

x

m2时，g（x）

0．

设h（x）

x2

13a

x

2

3a

，则

2

2

当m1

x1时，h（x）

0，当1x

m2时，h（x）

0

；

或当m1

x

1时，h（x）

0，当1

x

m2时，h（x）

0

．

由h

（1）

0知x1是h（x）的一个极值点，则

h

（1）2

1

1

3a

0，

2

所以a

2，又由a2

4b8，得b

1

，故f（x）

1x3

x2

x．

例4.若曲线y

x4的一条切线l与直线x

3

4y

80垂直，则l的方程为（

）

A．4xy30

B．x4y50

C．4xy30

D．x4y30

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力

.

[解答过程]与直线x4y

80垂直的直线l为4xym

0，即y

x4在某一点的导数为

4，而y

4x3，所以y

x4在（1，

1）处导数为4，此点的切线为4xy30.

故选A.

例5．过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+

5=0相切的直线的方程为

（）

2

A.y=-3x或y=1x

B.y=-3x或y=-1x

C.y=-3x或y=-1x

D.y=3x或y=1x

3

3

3

3

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力

.

[解答过程]解法1：

设切线的方程为

y

kx,kxy0.

又x

2

y

2

5

圆心为2,

1.

2

1

2

2k

1

5,

3k2

8k

30.k

1,k

3.

k21

2

3

y

1x,或y

3x.

3

故选A.

高中数学导数第3页共14页

厚德启智

心怀天下

解法2:

由解法1知切点坐标为（1

3）,

3,1

由

2

2

2

2

（x2）2

2

/

y1

x

/

5

2x

2（x

2）

2

y1yx/

0,

yx/

x

2.

y

1

k1

yx/

1

3

3,k2

yx/

3

1

（

）

（

）

2

2

2

2

y

3x,y

1x.

3

1.

3

故选A.

例6.已知两抛物线C1:

y

x2

2x,C2:

y

x2

a,

a取何值时C

，C

有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

1

2

思路启迪：

先对C

y

x

2

x

C

2:

yx2

a求导数.

1:

2

解答过程：

函数yx2

2x的导数为y'

2x

2，曲线C1

在点P（x,x2

2x

1

）处的切线方程为

1

1

y（x2

2x）2（x

1

2）（xx），即y2（x

1）xx2

①

1

1

1

1

1

曲线C1在点Q（x2,

x2

2

a）的切线方程是y

（

x2

a）

2x2（xx2）即

y

2x2xx2

2

a

②

若直线l

是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是

l的方程，故得

x1

x,

x2

x

2

1，消去x

得方程，

2

1

2

1

2

2

2x1

2x11a0

若△=4

4

2（1

a）

0，即a

1时，解得x1

1，此时点P、Q重合.

2

2

∴当时a

1，C1和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为

y

x

1.

2

4

考点3导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的

方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1..求函数的解析式;2.

求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）

;5.构造函数证明不等式.

典型例题

例7．函数f（x）的定义域为开区间

（a,b），导函数f（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数

f（x）在开区间（a,b）内有极小

值点（）

A．1个

B．2个

C．3个D．4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力

.

y

yf?

（x）

[解答过程]由图象可见,在区间（a,0）

内的图象上有一个极小值点.

故选A.

例8.设函数f（x）2x3

3ax2

3bx

8c在x

1及x2时取得极值．

a

O

b

x

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x

[0，3]，都有f（x）

c2成立，求c的取值范围．

思路启迪：

利用函数f（x）2x3

3ax2

3bx

8c在x1及x2时取得极值构造方程组求

a、b的值．

高中数学导数第4页共14页

厚德启智

心怀天下

解答过程：

（Ⅰ）f（x）

6x2

6ax

3b，

因为函数f（x）在x1及x

2取得极值，则有

f

（1）0

，f

（2）0．

6

6a

3b

，

0

即

．

24

12a

3b

0

解得a

3，b

4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

f（x）

2x3

9x2

12x

8c，

f（x）

6x2

18x12

6（x

1）（x

2）．

当x

（01），时，f

（x）

0；

当x

（12），时，f

（x）

0；

当x

（2，3）时，f

（x）

0．

所以，当x

1时，f（x）取得极大值

f

（1）

5

8c，又f（0）

8c，f（3）98c．

则当x

0，3

时，f（x）的最大值为f（3）

9

8c．

因为对于任意的x

0，3

，有f（x）

c

2恒成立，

所以

9

8c

c2，

解得

c

1或c

9，

因此c的取值范围为

（

，1）U（9，

）．