八年级数学下册四边形227多边形的内角和与外角和一元一次方程应用题专题训练新版冀教版.docx
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八年级数学下册四边形227多边形的内角和与外角和一元一次方程应用题专题训练新版冀教版
一元一次方程应用题
行程问题
策略：
理清路程、速度、时间的关系，一般情况下，三个量中有一个量是已知的，把其中一个未知量设为未知数，利用路程＝速度×时间等关系来表示另外一个未知量，依据另外一个未知量之间的关系建立方程。
例：
汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：
若每小时行驶45km，就可以早到半小时。
求A.B两地的距离。
分析：
若规定t点到达，以每小时行驶40km，就要晚到半小时，即到达时间为t+0.5点，
以每小时行驶45km，就可以早到半小时，到达时间为t－0.5点；显然，前者要比后者行驶时间多（t+0.5）－（t－0.5）＝0.5+0.5＝1（小时）。
速度是已知的，把路程设为未知数，依据时间的关系建立方程。
解：
设A.B两地的路程为xkm/小时，根据题意，得
答：
A.B两地的距离为360千米。
练习
1.甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动
周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动
周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转________周，时针和分针第一次相遇．
解：
设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，
根据题意可得：
60x=720（x﹣1），
解得：
x=
．
故答案为：
．
某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。
问往返共需多少时间？
解：
设追及的时间为x秒，根据题意，得
3x－1.5x=450
解得：
x=300
设返回相遇的时间为y秒，根据题意，得
3y+1.5y=450 解得：
y=100
故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）
答；往返共需400秒。
一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2km。
求甲、乙两地之间的距离。
解：
设甲、乙两地之间的距离为xkm，根据题意，得
解得：
答：
甲乙两地之间的距离是96千米。
某农村青年从山村到城市参观展览，先下山然后走平路。
已知他骑自行车下山的速度是每小时12千米，走平路的速度是每小时9千米，到达城市共用55分钟。
他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，回到村里用了
小时。
问从山村到城市有多少千米？
解：
设山路的长为x千米，根据题意，得
解得：
，6＋3＝9
答：
从山村到城市的距离为9千米。
工程问题
策略：
理清工作量、工作效率、工作时间的关系，一般情况下，三个量中有一个量是已知的，把其中一个未知量设为未知数，利用工作量＝工作效率×工作时间等关系来表示另外一个未知量，依据另外一个未知量之间的关系建立方程。
例：
某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：
如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：
尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：
将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
分析：
方案一：
根据制成奶片每天可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：
设生产x天奶片，（4﹣x）天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而求出利润，比较即可得到结果．
解：
方案一：
最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售，
则其利润为：
4×2000+（8﹣4）×500=10000（元）；
方案二：
设生产x天奶片，则生产（4﹣x）天酸奶，
根据题意得：
x+3（4﹣x）=8，
解得：
x=2，
2天生产酸奶加工的鲜奶是2×3=6吨，
则利润为：
2×2000+2×3×1200=4000+7200=11200（元），
得到第二种方案可以多得1200元的利润．
练习
一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。
现在三管齐开，需多少时间注满水池？
解：
设ｘ小时可注满水池，根据题意，得
解得：
答：
三管齐开，5小时注满水池。
食堂存煤若干吨，原来每天烧煤4吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量.
解：
设原存煤x吨，根据题意，得
解得：
答：
原存煤100吨。
营销问题
策略：
理清金额、价格（进价、标价、售价）、数量、利润的关系，营销问题中的常用关系有：
金额＝价格×数量，利润＝单件利润×数量，单件利润＝进价×利润率＝售价－进价，售价＝标价×折扣。
抓住已知一个量的作为主线，设其中一个未知量为未知数，表示另外一个未量，利用另外一个未知量的关系建立方程。
例：
书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_______元．
分析：
设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：
设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：
①当0＜x≤
时，x+3x=229.4，
解得：
x=57.35（舍去）；
②当
＜x≤
时，x+
×3x=229.4，
解得：
x=62，
此时两次购书原价总和为：
4x=4×62=248；
③当
＜x≤100时，x+×3x=229.4，
解得：
x=74，
此时两次购书原价总和为：
4x=4×74=296．
综上可知：
小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
故答案为：
248或296．
解：
设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：
①当0＜x≤
时，x+3x=229.4，[来#@~源&:
zzst*]
解得：
x=57.35（舍去）；
②当
＜x≤
时，x+
×3x=229.4，
解得：
x=62，
此时两次购书原价总和为：
4x=4×62=248；
③当
＜x≤100时，x+
×3x=229.4，
解得：
x=74，
此时两次购书原价总和为：
4x=4×74=296．
综上可知：
小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
故答案为：
248或296
练习
1.互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
解：
设该商品的进价为x元/件，
依题意得：
（x+20）÷=200，
解得：
x=80．
∴该商品的进价为80元
2.文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则该老板（ ）
A．赚了5元B．亏了25元C．赚了25元D．亏了5元
解：
设赚了20%的进价为x元，亏了20%的一个进价为y元，根据题意可得：
x（1+20%）=60，
y（1﹣20%）=60，
解得：
x=50（元），y=75（元）．
则两个计算器的进价和=50+75=125元，两个计算器的售价和=60+60=120元，
即老板在这次交易中亏了5元．
故选D．
配套问题
策略：
个甲和
个乙配套，若制作m套，需要甲的数量为
m，乙的数量为
m个，m＝
＝
。
例：
某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个。
两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
分析：
若制作m套，需要甲种部件2m个，乙种部件3m个，m＝
＝
。
解：
设安排x人制作甲种部件，（85－x）人制作乙种部件，根据题意，得
解得：
85－25＝60
答：
安排25人制作甲种部件，60人制作乙种部件.
练习
1.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
解：
设安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由题意得
1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确，
故选C
数字问题
策略：
理清各个数位上的数字之间的关系，选择一个恰当的数位上的数字设为未知数来表示其它数位上的数字，依据数位上的数字变换后的新数与原数的关系建立方程。
例：
一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。
求这个数。
解：
设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三位数则为100（x+7）+10x+3x。
根据题意，得
（x+7）+x+3x=17
解得：
x=2
∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926
答：
这个数是926.
练习：
一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。
解：
设除去最高位上数字1后的5位数为x，则原数为105+x，移动后的数为10x+1，根据题意，得
10x+1=105+x
解得：
x=42857
则原数为142857
答：
原数是142857.
一个三位数，十位上的数比个位上的数大2，个位上的数比百位上的数小4，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为13：
24，求原来的三位数？
解：
设原来的三位数的个位上的数字为x，根据题意，得
解得：
答：
原来的三位数为864.
分段问题
策略：
理清各段的条件和结果，依据条件选段，也可以依据结果选段。
例：
某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：
项目
第一档
第二档
第三档
用电量（度）
210度以下
210至350
350度以上
价格（元）
0.52
比第一档提价0.05元
比第一档提价0.3元
例：
若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52＋（350－210）×（0.52＋0.05）＋（400－350）×（0.52＋0.30）＝230（元）．
（1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；
（2）以此方案请你回答：
若小华家某月的电费为
元，则小华家该月用电量属于第几档？
解：
解：
（1）用电量为210度时，电费为210×0.52＝109.2元；用电量为350度时，电费为210×0.52＋（350－210）×（0.52＋0.05）＝189元，故小华家5月份的用电量在第二档．
设小华家5月份的用电量为x度，根据题意，得
210×0.52＋（x－210）×（0.52＋0.05）＝138.84
解得x＝262，
答：
小华家5月份的用电量为262度
（2）当a≤109.2时，用电量在第一档；当109.2189时，用电量在第三档。
练习
1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：
每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（ ）
A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x﹣2）=44
C．9（x+2）=44 D．9（x+2）﹣4×2=44
解：
由题意可得，
5x+（9﹣5）（x+2）=5x+4（x+2）=44，
故选A．
2.依法纳税是每个公民的义务，《中华人民共和国个人所得税》规定，公民每月薪金不超过3500元不纳税，超过3500元的按超过部分的多少分段交税，详细税率如下表：
纳税级别
全月应纳税金额
税率
1
不超过1500元部分
2
超过1500元未超过4500元部分
10%
3
超过4500元未超过9000元部分
20%
…
…
…
（1）如果某人月收入3950元，每月纳税13.5元，则
值为多少？
（2）王老师每月纳税额为60元，则王老师的月收入是多少元？
解：
（1）由题意，得
解得：
答：
值为3.
第1级最多纳税1500×3%＝45（元），第2级最多纳税45＋（4500-1500）×10%＝345（元），因此王老师纳税在第2级。
设王老师的月收入是x元，根据题意，得
45＋（x-3500-1500）×10%＝60
解得：
x＝5150
答：
王老师的月收入是5150元.
调配问题
策略：
理清调配关系，利用调配之前的数量来表示调配后的量，依据调配后的量之间建立方程。
例：
某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？
租几辆车？
解：
设租45座的客车x辆，根据题意，得
45x＋15＝60（x－1）
解得：
x=5
租45座客车5辆的费用为250元×5＝750元，租60座的客车5－1＝4辆，费用为300元×4＝1200元。
∵750<1200
∴租用45座客车5辆要合算。
练习
1.已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A．518=2（106+x） B．518﹣x=2×106
C．518﹣x=2（106+x） D．518+x=2（106﹣x）
解：
设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，可得：
518﹣x=2（106+x），
故选C．
2.小杰到食堂买饭，看到A.B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。
解：
设开始时，每队有x人在排队，
2分钟后，B窗口排队的人数为：
x-6×2+5×2=x-2
根据题意，可列方程：
去分母得3x=24+2（x-2）+6
去括号得3x=24+2x-4+6
移项得3x-2x=26
解得x=26
答：
开始时，有26人排队。
几何问题
策略：
理清图形中长度、面积、体积之间的关系，再恰当地把它们表示出来并建立方程。
例：
如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
分析：
大长方形的宽＝地砖的长＋宽＝60xm，大长方形的长＝2个地砖长＝3个地砖宽。
解：
设小长方形的长为xcm，根据题意，得
2x＝3（60－x）＋x
解得：
x=45
60－45＝15（cm）
答：
每块长方形地砖的长为45cm，宽为15cm。
练习
1.一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2
C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2
解：
∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm，
∴长方形的宽为（15﹣x）cm，
∵这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，
∴x﹣1=15﹣x+2，
故选D．
如图是两个圆柱形的容器，它们的直径分别为4cm和8cm，高分别为42cm和10cm，先在第二个容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中，问：
倒完后，第一个容器中的水面离瓶口有多远？
解：
设第一个容器中的水面离瓶口有xcm，根据题意，得
解得：
答：
倒完后，第一个容器的水面离瓶口2cm。
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