n阶行列式的计算方法.docx
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n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法
1．利用对角线法则
“对角线法则”：
（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；
（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素
的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式D=
1
3
。
2
4
解：
D=
1
3
=1×4−3×2=−2
2
4
例2计算三阶行列式D=
1
2
0
4
−3
8
。
0
−1
2
解：
D=
1
2
0
4−38
=1×（−3）×2+2×8×0+0×4×（−1）−0×（−3）×0−2×4×2−1×8×（−1）
0
−1
2
=−14
2．利用n阶行列式的定义
a
a
⋯a1n
n阶行列式D=
a
a
⋯a2n
=∑（−1）τa1a2⋯an
⋮
⋮
⋮
12n
a
a
⋯a
其中τ=τ（p1
p2⋯pn），求和式中共有n!
项。
显然有
a
a
⋯a1n
上三角形行列式D=
a
⋯a
=aa⋯a
⋱
⋮
a
a
下三角形行列式D=
a
a
⋱
=aa⋯a
⋮
⋮
a
a
⋯a
λ
对角阵D=
λ2
=λ1
λ2⋯λn
⋱
λ
另外D=
λ2
λ1
=（−1）2
λ
λ2⋯λn
⋰
λn
例3
计算行列式
0
⋯0
1
0
0
⋯2
0
0
Dn=
⋮
⋮
⋮
⋮
n−1⋯0
0
0
0
⋯0
0
n
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
aa⋯aa=n!
.
该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于（n−1）（n−2），故
2
Dn=（−1）
n!
.
3．利用行列式的性质计算
性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DT。
注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。
性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。
推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。
性质3用数k乘行列式的某一行（列）,等于用数k乘此行列式,即
a
a
⋯a
a
a
⋯a
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯⋯⋯
D1=
kai1
kai2
⋯kain
=k
a
a
⋯ain
=kD。
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯⋯⋯
a
a
⋯ann
a
a
⋯ann
第i行（列）乘以k，记为ri×k（或ci×k）。
推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。
性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，
a
a
⋯
a
⋯
⋯
⋯
⋯
D=
b+cb+c
⋯b+c
。
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
⋯
a
则
a
a
⋯a1n
a
a
⋯a1n
⋯
⋯⋯⋯
⋯
⋯⋯⋯
D=
b
b
⋯bin
+
c
c
⋯cin
=D1+D2。
⋯
⋯⋯⋯
⋯
⋯⋯⋯
a
a
⋯ann
a
a
⋯ann
性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式不变。
x
a⋯
例4
计算Dn
=
a
x⋯
⋮
⋮
a
a⋯
解Dn=[x+（n−1）a]
a
a
⋮。
x
1
1
⋯1
a
x⋯
a
⋮
⋮
⋮
a
a⋯
x
1
1
⋯
1
=[x+（n−1）a]
0
x−a⋯
0
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯x−a
=[x+（n−1）a]（x−a）n−1
例5一个n阶行列式Dn=aij的元素满足
aij=−aji,i,j=1,2,⋯,n,
则称Dn为反对称行列式，证明：
奇数阶反对称行列式为零.
证明：
由aij=−aji知aii=−aii，即
aii=0,i=1,2,⋯,n
故行列式Dn可表示为
0
a
a
⋯a1n
−a12
0
a
⋯a2n
Dn=
−a
−a
0
⋯a
⋯
⋯
⋯
⋯⋯
−a
−a
−a
⋯0
由行列式的性质D=DT
0−a12
−a13
⋯−a1n
a
0
−a
⋯−a2n
Dn=
a
a
0
⋯−a3n
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
a
⋯0
0
a
a
⋯a
−a12
0
a
⋯a2n
=（−1）n
−a13
−a23
0
⋯a3n
⋯
⋯
⋯
⋯⋯
−a
−a
−a
⋯0
=（−1）nDn
当n为奇数时，得Dn=−Dn，因而得Dn=0。
4．利用行列式按行（列）展开
aA+aA+⋯+aA
D
i=
j
j=1,2,⋯,n）
=
i≠
（i,
0
j
1
−5
3
−3
例6
计算D=
2
0
1−1
。
3
1
−1
2
4
1
3
−1
16
0
−2
7
16
−2
7
2
0
1
−1
解
D=
=（−1）3+2
2
1−1
3
1
−1
2
1
4
−3
1
0
4
−3
20
0
5
=（−1）（−1）2+2
20
5
=（−1）
2
1−1
=−55
−7
0
1
−7
1
5．利用化上三角形法
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：
（1）观察元素a11，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时
也可以把第一行或第一列乘1来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加
a
困难。
）
（2）对第一行分别乘−a21,−a31,⋯,−an1加到第2,3,⋯n行对应元素上去；（目的：
第一
列a11以下的元素全部化为零）
（3）用类似的方法把主对角线元素a21,a31,⋯,an1以下的元素全部化为零。
这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素aii,（i=1,2,⋯n）不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。
1
−5
3
−3
例7
计算D=
2
0
1
−1
。
3
1
−1
2
4
1
3
−1
1−5
3−3
1−5
3−3
1−5
3−3
解
D=
010−5
5
=5
0
2−1
1
=（−5）
0
1
1
1
016−1011
0
0−2
3
0
0−2
3
021−911
0
1
1
1
0
2−1
1
1−5
3−3
1
−5
3
−3
0
1
1
1
=（−5）
0
1
1
1
=（−5）
=−55
0
0−2
3
0−2
3
0
11
0
0−3−1
0
0
0−
2
6．利用递推公式
递推公式法：
对n阶行列式Dn找出Dn与Dn−1或Dn与Dn−1,Dn−2之间的一种关系
——称为递推公式（其中Dn,Dn−1,Dn−2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递
推公式法。
例8证明
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