二次根式的运算.docx

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二次根式的运算

二次根式的运算

　　　　　　　　　　　　　　编稿：

庄永春　　审稿：

邵剑英　　责编：

张杨

一、目标认知

1.学习目标

（1）理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性

　　　质，并能利用它们进行计算和化简；

（2）了解最简二次根式的概念,能运用二次根式的有关性质进行化简；

　　（3）理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加

　　　减运算；

　　（4）会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

2。

重点

（1）理解

，

及利用它们进行计算和化

　　　简；

（2）理解

，

及利用它们进行计算和化简；

　　（3）最简二次根式的运用；

　　（4）合并同类二次根式；

　　（5）二次根式的混合运算。

3。

难点

（1）发现规律，归纳出二次根式的乘除法则;

（2）会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．

二、知识要点梳理

知识点一：

二次根式的乘法

　　法则：

即两个二次根式相乘，根指数不变,只把被开方数相乘.

　　要点诠释：

（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意:

公式中a、b都必须是非负数;（在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数）

（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:

　　（3）若二次根式相乘的结果能写成

的形式，则应化简，如

.

知识点二、积的算术平方根的性质

，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

　　要点诠释：

（1）在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数,还是代数式，都必须满足

才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件,等式右边就没有意义，等式也就不能成立了;

（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有

形式的a移到根号外面.

知识点三、二次根式的除法

　　法则：

，即两个二次根式相除,根指数不变，把被开方数相除.

　　要点诠释:

（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中

，因为b在分母上,故b不能为0。

（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

知识点四、商的算术平方根的性质

，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

　　要点诠释：

　　运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题。

知识点五：

最简二次根式

　　1.定义：

当二次根式满足以下两条：

（1）被开方数不含分母;

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

　　我们把符合这两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.

　　要点诠释：

（1）最简二次根式中被开方数不含分母;

（2）最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能

　　　为1次.

　　2。

把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：

（1）把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；

（2）被开方数是多项式的要进行因式分解；

　　（3）使被开方数不含分母；

　　（4）将被开方数中能开得尽方的因数或因式,用它们的算术平方根代替后移到根号外；

　　（5）化去分母中的根号;

　　（6）约分。

知识点六、同类二次根式

　　1.定义：

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。

　　要点诠释：

（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否

　　　相同;

（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关,而与根号外的因式无关。

　　2。

合并同类二次根式

　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变。

（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似）

　　要点诠释：

（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；

（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式;

　　（3）不是同类二次根式，不能合并。

知识点七、二次根式的加减

　　二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

　　在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。

　　二次根式加减运算的步骤：

（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

　　（3）合并同类二次根式.

知识点八、二次根式的混合运算

　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

　　要点诠释：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减,有括号要先算

　　　括号里面的；

（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

　　（3）二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根

　　　式之和或差,或是有理式.

三、规律方法指导

　　二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减。

（1）二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除,其依据是：

；

；

（2）二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并。

　　二次根式运算的结果应尽可能化简.