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探寻数学中无穷思想的发展史
探寻数学中无穷思想的发展史
数学与应用数学专业 《07404302》 姓名：
程巧丽
指导教师：
秦少青
【摘要】20世纪伟大的数学家希尔伯特说过“无穷是一个永恒的谜”，另一位伟大的数学家外尔说“数学是无穷的科学”。
无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。
彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。
而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。
在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想的发展史。
【关键词】微积分；悖论；无穷级数；实无穷与潜无穷。
“无穷”这一概念自古以来在数学中一直占据着重要的位置，与其有关的运算法则也无时不受到的争计。
从某种意义上说，“无穷”可算是数学当中最迷人的概念之一。
正如数学家外尔所讲：
“数学是研究无穷的科学”，因而数学与无穷结下了不解之缘，从初等数学到高等数学，是人们的认识由“有限”到“无限”的过程，由具体到抽象的过程。
下文将要介绍的就是数学中无穷思想的巨大发展以及深刻变革，同时探寻它作为一种文化对人类物质生产与日常生活作出的启发与贡献。
1.数学无穷思想的起源及萌芽时期
1.1远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。
在我国，著名的《庄子》一书中有言：
“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。
”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。
而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。
他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。
在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。
德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。
欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。
他对
的估计的方法是以一种简单的观察为基础的：
画出一个圆，然后用一系列边数越来越多的正多边形外切该圆。
（在正多边形中，所有的边和角都相等。
）每个多边形的周长略微大于圆的周长；然而随着我们不断增加边的数目，相应的多边形会越来越紧密地把该圆围起来（图1-1-1）。
这样一来，如果我们能够得到这些多边形的周长，那么我们便可相当精细地逼近
，阿基米德按照这种方法使用了具有6,12,24,48和96条边的多边形，他能够用已知方法计算出它们的周长。
对96边形，他得到
值3.14271。
1.2 出人意料的结论
我们知道全体正整数有无穷多个，全体正偶数也有无穷多个，但是偶数是正整数的一部分。
如果有人说：
“全体正整数与全体正偶数一样多。
”你一定会感到很奇怪，难道一部分和全体一样多吗？
不仅如此，还有以下离奇的结论：
“全体正整数与全体完全平方数一样多”；“三角形中位线上的点与三角形底边上的点一样多“。
更让人吃惊的结论是：
“一条只有一毫米（甚至更短些）长的线段上的点与整个空间上的点一样多。
”
对以上这些出人意料的结论，我们又怎样来理解呢？
1.3 问题解决的桥梁
中学生都接触过“集合”的概念，“集合”是一个不加定义的原始概念。
我们称每一组确定对象的全体形成一个集合，集合里各个对象叫做集合中的元素，由无穷多个元素组成的集合称为“无限集”。
自然数集、正整数集、正偶数集、线段或直线上的点集都是“无限集”。
要比较两个无限集的大小，也就是说看这两个集合中的元素哪个多。
显然我
们对两个“无限集”比较大小没有经验，但对“有限集”（由有限个元素组成的集合）比较大小却是有办法的——设法建立起两个集合中元素间的“一一对应”关系。
而我们要比较两个无限集的元素的多少也不妨施用此办法：
如果两个无限集的元素间能建立起某种“一一对应”关系，我们就说这两个无限集的元素“一样多”，即“一样多”的唯一意义是“可以一一对应”。
有了这个定义，则前面提出的“出人意料”的结论，便可“迎刃而解”了。
1.4“出人意料”结论的图示解读
现在将前面提出的几个“出人意料”的结论建立起“一一对应”的图示后，就可知道他们之间的元素是否一样多了。
1）全体正整数与全体正偶数一样多。
2）全体正整数与全体完全平方数一样多。
3）三角形中位线上的点与三角形底边上的点一样多（图1-4-1）。
图1－4－1
4）半圆周上的点与直线上的点一样多（图1-4-2）。
图1－4－2
5）一条线段上的点与一条直线上的点一样多（图1-4-3）。
图1－4－3
但是建立起一条线段上的点与整个空间点的“一一对应”关系就比较复杂些，在这里不再论述了。
2.微积分学的诞生及发展
2.1无穷与悖论
对于只熟知有限概念的古人来说，对“无限”这一概念是感到陌生和神秘的，下面说几个古人由“无限”概念引出的悖论：
（1）芝诺悖论
公元前5世纪中叶，古希腊大诡辩家芝诺（Zeno）能言善辩，提出过四个悖论，在数学史、哲学史、逻辑史上有着巨大的影响，现举三个如下：
1）“运动是不存在的”。
如图2-1-1，物体从A移动到B，按常理从A到达B之前必先到达AB的中点C，而要到达C之前又必须先到达AC的中点D，要到达D点前，又又必须先到达AD的中点E，……如此下去，显然有无穷多个这样的中间点，而要找出这无穷多个“中间点”，需要的时间也是无穷的，即永远也找不到距A最近的一个中间点。
因而也就无法将物体从A移动到B，因此结论是“运动时不能的”。
这显然是与常理相矛盾的，事实上用极限思想解释如下：
设AB＝１则
，即与A最近的中间点即为A自身，因此只需超越自己就算运动了。
2）阿基里斯悖论——“阿其里斯追龟不急”。
假设乌龟和阿其里斯（阿其里斯是古希腊神话中的神行太保）赛跑。
只要乌龟起跑点在阿其里斯的前一段距离，则阿其里斯就永远也追不上乌龟。
芝诺是这样解释的：
如图2－1－2，假设阿其里斯的速度是乌龟的10倍，又设乌龟在阿其里斯的前100米起跑，当阿其里斯跑了100米到达乌龟起跑点时，乌龟已向前爬行了10米，阿其里斯再跑10米乌龟又向前爬了1米……这样无限继续下去，阿其里斯与乌龟永远相隔一小段距离，这样不就是阿其里斯永远追不上乌龟吗?
显然这是与常理相矛盾的。
事实上，设
10米/秒，
1米/秒，AB＝100米，由
，得
，则阿其里斯追上乌龟需要的时间为
即阿其里斯只需要不到12秒的时间就可以追上乌龟了。
3）“飞矢不动”。
理由是飞矢在任何一个时刻只占空间的一个特定位置，即在这一瞬间它就静止在这个位置上，所以飞矢的所谓运动只是许多静止的总和，因而飞矢不可能动。
现在我们知道物体在某一时刻是否运动只与它的瞬时速度有关，而与它所在的位置无关。
（2）无穷数列和
一方面
另一方面
那么岂不是0＝1吗？
这一矛盾连傅里叶那样的数学家都困惑不解，甚至连欧拉这样的大数学家也犯下了如下的错误：
欧拉由
，令
，得
这不有成了
吗？
岂不是更加混乱了？
事实上
，这是一个首项为1，公比为－1的无穷等比数列的求和问题，因为公比
，而
，只有当公比
时，（*）式才成立，因此此数列和不存在。
2.2微积分学的诞生
随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。
不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。
这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：
数学分析。
这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。
2.3贝克莱悖论
通往真理的路总是坎坷不平，布满了艰辛，探求无穷之径更绝非坦途。
十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。
1734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。
这就是所谓的“贝克莱悖论”。
笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言，它必须既是零，又不是零。
而从形式逻辑角度而言，这无疑是一个矛盾。
贝克莱悖论，动摇了人们对微积分正确性的信念，在当时数学界引起了一定混乱，从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。
由于由无穷大导出的一系列与常识相悖结论，因而对“无穷大”充满了恐惧，并对它尽量进行回避。
这样持续了约两千年之久。
直到1579年，法国数学家韦达发现了一个可以算出
的无穷项乘积的公式：
这个公式告诉我们继续相乘再继续相乘，以至无穷，它预示着无穷大再是不吉祥的东西，而是一个可以进入数学王国的数学概念。
后一位英国数学家沃利斯（Ｊ.Wallis）在1656年也发现了一个涉及无穷大的求
公式：
也正是这两位数学家首次使用了“
”这个符号来表示无穷大。
2.4 重建微积分基础
十八世纪富有成果然而欠严谨的工作，导致数学中出现了暂时的混乱局面。
到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。
使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。
柯西于1820年研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明，使微积分学有了较坚实的理论基础，同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。
但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。
其一，他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”，不够精确。
这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε-δ”方法和函数极限的“ε-δ”方法，把微积分奠基于算术概念的基础上，获得了圆满解决。
其二，他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。
魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系，这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。
微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。
极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上，而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来，进一步自然数论完全可在集合论中推出。
这样一来，实数论的融贯性就归于集合论的融贯性，归结到集合论，看来数学绝对严格的目的要达到了。
1900年在世界数学家大会上，著名数学家庞加莱郑重宣布：
“现在我们可以说，数学最终的严格性基础已经确立了。
”表达了数学家们欣欣自得的共同心情。
尤其通过康托尔的工作，数学家们找到了营造数学大厦的基石：
集合论。
而他的无穷集合，也就成了数学家们的伊甸园。
这样，从微积分诞生之日起，数学家们历经200多年的艰苦努力，终于迎来了辉煌的胜利。
3. 无穷给我们的启示
3.1“无穷”可以比较大小吗？
“整数有无穷多个”，“一条直线上有无穷多个点”。
那么到底哪个数多呢？
即它们能否比较大小？
关于这个问题，德国著名数学家G.康托尔认为：
一一对应的概念是计算有限集合的依据，也是计算无限集合的依据，从而产生了关于“超限数”的理论，这是数学发展史上的一个重要的里程碑。
1）一一对应的定义：
A、B为两个集合，若集合A中的任一个元素a在集合B中存在唯一的一个元素b和它对应，且B中的任一个元素b在A中也有唯一的元素和它对应，这时称在A与B之间建立起了一一对应。
2）“同势”（或称“对等”）的定义：
若集合A与B间能建立一一对应，则称A与B是“对等”的，此时记作A～B。
两个集合其势相同，意味着这两个集合中的元素个数“相同”。
3）可数集的定义：
凡与“正整数集Ｎ*”同势的集合，都叫做可数集合或称是可数的。
由此可知可数集都是同势的，如前面所提到的正整数集和正偶数集、正整数集与完全平方数集、半圆上的点集与直线上的点集、线段上的点集与直线上的点集等它们都是同势的，即它们间的元素个数是“相同的”。
4）正有理数的集合是可数的。
证明 每个正有理数都可以写成
的形式，所以我们可以把全体有理数按下面的方阵排列出来：
按照图中箭头方向走下去，我们可以得到如下的序列：
在这个序列中消掉所有
有公因子的分数
于是每个正有理数r作为最简分数在上面的序列中只出现一次，这样我们便可得到如下的序列：
在这个序列中包含了每一个正有理数，且只包含一次，因而我们建立起了正整数集与正有理数集间的一一对应，从而可知正有理数集是可数的。
5）实数集是不可数的
康托尔是用反证法证明这一定理的，先假设实数集是可数的，实际只需假定（0，1）间的实数是可数的，把它们排成一个序列，然后只需在（0，1）中找出一个实数不在这个序列中，这就出现了矛盾，因而实数集是不可数的（证略）。
6）不同势的存在
给定一个集合，我们都可以构造一个高于该集合“势”的一个新的集合，办法是给定一个集合Ｍ，则由它的所有子集组成的集合叫做原集合的幂集，记作P（M）。
康托尔的幂集定理：
设S是一个集合（有限的或无限的）那么S的幂集P（S）的势严格的大于S的势。
康托尔利用势将无限的集进行了分类，最小的无限集为可数集A,即指与正整数集等势的无限集，可知实数集的势大于正整数的势。
康托尔发现了不是所有的无限集都是“同势”以后，建立了与有限集的算术相似的无限集领域的算术，即“无限算术”，这就是康托尔创立的“超限数理论”，为20世纪的数学家提供了一个重要的工具。
为了区分不同的无穷大数，数学家把无穷大数分为三个等级：
像可数集（如：
自然数集、正整数集、偶数集、有理数集）中的元素个数有无穷的个，称第一级无穷大数；像直线上的点的个数这样一些更大的数目，属第二级无穷大数；任意一条线段上的点的个数，任意一个正方形内的点的个数，都与直线上的点的个数一样多，所以它们都属于第二级无穷大数；数学家们发现各种曲线上的点的个数比直线上的点的个数还要多，所以它们属于第三级无穷大数。
3.2线段上点集的势大于正整数集的势
亦即线段上的点的个数大于正整数的个数，为此我们只取１个单位长的线段，线段上每一点可用这一点到线段的一个端点的距离来表示，而这个距离可写成小数：
第一个点：
；
第二个点：
；
第三个点：
；
第Ｋ个点：
现在我们取一个点：
，使得
这样得到是b点仍在单位线段上（且不为单位线段上的两端点），但它不同于序列上的任何一点。
这样单位线段上（不包括单位线段上的两个端点）的点与正整数间不能建立起一一对应的关系，显然单位线段上的点的数目要大于正整数的个数，亦即线段上的点集的势大于正整数集的势。
其实用上面的方法即可证明实数集是不可数的。
3.3 实无限与潜无限
对于无限的理解存在着两种不同的思想：
实无限思想与潜无限思想。
实无限思想是把无限看作一个整体，是已经构造完成了的东西。
例如，欧几里得几何，把直线上的点看成是一个整体，这实际是实无限的理解。
潜无限思想是“把无限看作永远在延伸着的一种变化，看成事一种不断增加的过程“。
如同用一个口袋装自然数，装完一个，还有许多，永远也装不完以一样。
亚里士多徳只承认潜无限，他声称直线不是由点组成的，即不能谈直线上的点的集合，就连大数学家高斯在1831年给舒马赫（S.chumacher）的信中也说“我反对把无穷量作为现实的实体来用，在数学中是永远不允许的，无限只不过是一种说话的方式。
”“产生对无限的一种偏见，妨碍了日后无限概念的发展。
这种思想突出表现在现行标准分析的极限定义中，并由此建立起来的积分理论。
直到20世纪60年代由Ａ.鲁滨孙（A.Robinson）创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，堂而皇之地登进了数学殿堂，而可与柯西（A.L.B.Cauchy）的极限理论分庭抗衡。
尤其在康托尔的无穷集合理论中，体现的是一种实无限的思想。
那么，无限到底是实无限还是潜无限呢？
两种无穷思想在数学史上经历了此消彼长与往复更迭后，已与现代数学日趋和流；在现代数学中早已离不开实无限也离不开潜无限了，因为在标准分析与非标准分析中，采用的这两种不同的无穷思想，但得到的是同样的结果。
这种“殊途同归”的结局，我们只能说：
“无限既是一种实无限也是一种潜无限。
”无穷本身是一个矛盾体，它既是一个需无限逼近的过程，又是一个可供研究的实体。
诚如我国著名数学家徐利治教授所称：
“实无限和潜无限只是一枚硬币的两个面罢了。
”
3.4希尔伯特的无穷旅店
大数学家希尔伯特在一次演讲中，虚构了这样一个故事：
有一家旅店，设有无穷多个房间，假设每个房间只能住一个人，所有的房子都住满了人。
这时来了一位新旅客要住一个房间，房主说“不成问题”。
他把这位旅客安排在了1号房间，让1号房间的旅客住到2号房间，2号旅客住到3号房间，3号旅客住到4号房间，……这样就把新来的旅客安排下了。
但是严重的问题出现了，一次来了一个“无穷旅行团”，它的成员个数与正整数一样多。
这时，刚才的应急措施行不通了，怎么办呢？
店主人又有了新招。
他请1号旅客住到2号房间，2号旅客住到4号房间，3号旅客住到66号房间，……这样所有奇数房间都空出来了，正好可安排给这个“无穷旅行团”的成员住下。
如果到了旅游旺季，来了无穷多个“无穷旅行团”怎么办呢？
店主人想出了一条妙计，把无穷多个“无穷旅行团”的成员也安排住下了。
那么，店主人到底是怎么安排下的呢？
设（m,n）（其中m=1，2，3，……）表示第m个旅行团的第n个成员，则
第１个旅行团中的成员为：
（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）……
第２个旅行团中的成员为：
（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）……
……
第ｍ个旅行团中的成员为：
（m,1）（m,2）（m,3）（m,4）……
……
然后按下面图中箭头的顺序，每人住进安排的1号 2号 3号 4号……房间内，这样，便可将所有的旅行团的成员都住进了。
知旅行团成员住进房间号的顺序为：
结束语
“数学是研究无穷的学科。
”数学与无穷确实有着不解之缘。
认识论说，人的认识总是由具体到抽象，而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进，而数学是最具抽象性的学科，这亦足以说明在向无限的迈进中，数学达到的层次是最深入的。
并且在数学中，无穷是永远无法回避的。
因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。
数学与无穷间的关系是剪不断、理还乱的。
从数学产生之日起，无穷就如影如随，伴着数学的发展齐步前进。
尤其当微积分产生后，数学与无穷的联系就更紧密了。
恩格斯说：
“莱布尼兹是研究无限的数学的创始人。
”诚如恩格斯所言，从唯物辩证法角度来看，数学的发展从初等数学到高等数学的质的飞跃，就是数学上从研究有限到研究无限的质的飞跃。
微分和积分实质上都是一种极限，而极限过程就是无限过程。
因此可以说，微积分在数学树立了一座认识无穷的不朽丰碑，另外康托尔的无穷集合论也使人们对无穷的认识上升到一个新层次。
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