等的实数根，那么k的取值范围是
例1、关于x的方程m1x22mx30⑴有两个实数根，则m为⑵只有
一个根，则m为。
例2、不解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。
例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根，问这两方程是
否有相同的根？
若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
1
市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少―，第三年比第二年减少
3
1
1，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，
2
1
还要盈利1，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？
（结
3
果精确到，,133.61）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销
售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要
使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方
形的面积之和可能等于12cn?
吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
（3）
两个正方形的面积之和最小为多少？
6、AB两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：
|对于ax2bxc0而言，当满足①a0、②0时，才能用韦
达定理。
⑵主要内容：
X1
X2
b
一，％X2
c
常用变形：
a
a
2
X1
2
X2
（X1
X2）2
2x1x2■—
丄
X-!
X222
，（X1X2）（X1X2）4X1X2，
X2
^X2
lx
X2|
J（X1
X2）2
4X1X2，
22
X1X2X1X2X1X2（X1X2），
X2
xx
x,x2
Xx1x,2x22（x1x2）24x1x2
⑶应用：
整体代入求值。
典型例题：
角形的斜边是（
）A.
.3
D..6
X
y10,
22
xy10,
例2、解方程组：
（1）
（2）
xy
24;
xy2.
例3、已知关于
X的方程
22
kx
2k1x10有两个不相等的实数根X1,X2,
（1）求k
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三
的取值范围;
（2）是否存在实数
k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出
k的值;
若不存在，请说明理由。
例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
例5、已知ab，a22a10，b22b10，求ab
变式：
若a22a10，b22b10,则--的值为。
ba
例6、已知，是方程x2x10的两个根，那么43
22fbfa
针对练习1.已知a7a4,b7b4（ab），求J—J—的值。
2、已知x「X2
a■.b
32
是方程x2x90的两实数根，求x17x23x266的值。
3.（湖北中考题）设a22a10,b42b210,且1ab20,则
22
abb3a1
a
4.（四川中考题）如果方程x2+px+q=0的两个根是X1,X2,那么X1+X2=—p,x「X2=q.请根据以上结论，解决下列问题:
（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0（n丰0），求出一个一元二次方程，使它的两根别是
已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2—15a—5=0,b2—15b—5=0,求a+b的
ba
值；（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
1•当k为何值时，关于x的方程k21x2k1x20有实数根
2.已知方程2xabxabab0是关于x的一元二次方程，求a,b的值
3设x3a3x100和x3b4bx80都是关于x的一元二次方程,
——2012——2013
求：
.ab.,ab的值。
4解下列方程：
2
（1）2x2i2x50
（2）3-x6x-20
22
（3）3xx55x5
5已知方程2x24m1实根。
6已知三个关于x的一元1
恰有一个公共实数根，求
（4）x2x20
xm22m求证：
不论m为何值,
次方程ax2bxc0bx2cx
2a
b2
2
c'…亠
的值。
bc
ac
ab
次方程均有两个不相等的
2
a0cxaxb0
7已知a22a10
8关于x的方程x2（k
b4
2b2
试求
22
abb1
a
2012
的值。
求k的值及公共根。
1）x20和方程x22xk（k1）
0只有一个相同的实根,
9已知分别是三角形ABC的三边长。
当m>0时，关于x的一元二次方程
22
cxmbxm2max0有两个不相等的实根，试判断三角形ABC的形状。
10已知方程x25x60与方程2x22xm0的公共根和方程3x2x240与
121方程一xxn0的公共根相同，求mn的值。
22
11mn是方程x22x10的两个根，且7m214ma3n26n712求a的值。
5。
乙把常数项看错了得两根为
2.6和2..6，求原一元二次方程。
12甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和
13已知关于x的方程x22（m2）x3m210
（1）求证无论m为何值，方程总有两个不相等的实根
（2）设方程的两根为x1,x2，x1x22&'3求m的值。
14要使关于x的一元二次方程x22（m2）x3m210的两根的平方和最小,
求m的值。
2
15已知函数y=和y=kx+1（x丰0）
x
（1）若这两个函数都经过（1，a）求a和k的值
（2）当k取何值时，这两个函数图像总有公共点
16某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，
增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价1元则每天
可以多销售2件，若商场平均每天盈利1200元，则每件应该降价多少元？
17为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。
从
2010年起，市政府开始投资，以后逐年增长，2011年投资了3亿元人民币。
预计2012
年底三年累计共投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同，求市政
府投资的年增长率?
18某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商家可自行定价。
若每件商品售价
元，则可卖出（350-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%商店
计划要赚400元，需要卖出多少件商品？
每件商品售价多少？
一元二次方程培优训练
一部分
22
1.已知方程3ax-bx-仁0和ax+2bx-5=0,有共同的根-1,贝Ua=_=.
—2
2.关于x的方程（m.3）xmx30是一元二次方程，则m；
3.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2b2）（a2b21）12，则这个直角
三角形的斜边长为；
211
4•当x时，代数式x-x一的值为0
22
5.已知：
m12,则关于x的二次方程（m1）x2（m5）x40的解
6.方程（23）x2x的解是；
7.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根为-1,
则b与a、c之间的关系为;若有一个根为零，则c=.
10、\3x4y26y9
0贝Hxy=
12、在一条线段上取n个点，这n个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）
个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n=13、方程2x23x0的
根是。
14、如果x22m1x4是一个完全平方公式，则m。
15、已知两个数的差等于4,积等于45，则这两个数为和。
16、当m时，关于x的方程m21x2m1x20为一元二次方程。
2
17、（x—3）=1的根是.
18、方程（x+1）（x—2）=0的解是.
19•写出一个一元二次方程，使它的一个根为2.
20.当x=时，代数式x24x的值与代数式2x3的值相等.
21.我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630
吨，则这两个月净化污水量的平均每月增加的百分率为.
22.一个立方体的表面积是384cm2，求这个立方体的棱长.设这个立方体的棱长为xcm,根据题意列方程得，解方程得x=.
23.在一幅长80cm,宽50cm的长方形风景画的四周镶一
条金色纸边（如图所示），制成一幅长方形挂图•如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm,则由题意列方程得.
二部分
1、关于y的一元二次方程2yy34的一般形式是。
2
2、3xx7的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
3、方程2x2.3x0的根是。
22
4、用配方法解方程x4x60，则x4x6,
所以x-i,x2。
5、当>0时，一元二次方程ax2bxc0的求根公式为
6•—个三角形的两边长为
3、6,
第三条边长疋方程（x
2）（x4）
0的根，则这个三角形
的周长是
（）
A•11
B.13
C.11或13
D.无法角定
7、下列方程是一
元二次方程的是（
）
A、x2y
1B
、2xx
12x23C、
3x1D4
、x220
x
8、关于x的一兀
二次方程
x2k
0有实数根，则（
）
A、kV0
B、
k>0
C、k>0
D、
kw0
22
9、将方程x2x30化为xmn的形式，指出m,n分别是（）
A、1和3B1和3C、1和4D、1和4
10、方程x（x1）（x2）0的解是；
11、当y=时，y2-2y的值为3；
12、已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1，贝Uk=—另一根为；
13、写出以4，—5为根且二次项系数为1的一元二次方程是;
14、某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年
15、设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且
（a2
b2）（a2b21）12，则这个直
购买实验器材的投资的年平均增长率为x,则可列方程
角三角形的斜边长为
三部分
1.方程不一定是一元二次方程的是
C.（x+3）（x-2）=x+5
D.
、、3x2
一x
57
2、
2
若关于x的一元二次方程a1x
10的一个根是0,贝ya的值是
（
）A
、1
B
、-1C、
1或-1
D、
1
2
3、
把方程x2
8x
3
2
0化成xm
n的形式，
则m
n的值是（
）
A
4，13B、
-4，
19
C、-4，13D
、4，19
4、
已知直角三角形的两条边长分别是方程
x214x
48
0的两个根，
则此三角形的第三
边是（）
A6或8B、10或2.7C、10或8D、2.7
5.关于x的方程（a2a2）x2axb0是一元二次方程的条件是----（）
Aa1Ba2Ca1且a2Da1或a2
6等腰三角形的两边的长是方程x220x910的两个根，则此三角形周长为
A.27B.33C.27和33D.以上都不对
7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片,
如果全班有x名同学，根据题意，列岀方程为（）
A.x（x+1）=1035B.x（x—1）=1035X2C.x（x—1）=1035D.2x（x+1）=1035
8.一元二次方程2x（x—3）=5（x—3）的根为（）
555
A.x=2B.x=3C.X1=3,X2=2D.x=—2
9.已知x25xy6y20，则y：
x等于（）
111
A.-或1B.6或1C.-或—D.2或3
632
x25x6
9.使分式x一5^-6的值等于零的x是（）
x1
或6C.-1
2
10方程x-4|x|+3=0的解是（）
=±1或x=±3=1和x=3=-1或x=-3D.无实数根
11.关于x的方程x2-k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根，k的值是（）
或4C.-4
12、请判别下列哪个方程是一元二次方程（）
23
A、x2y1B、x50c、2x—8D、3x86x2
x
13、请检验下列各数哪个为方程x26x80的解（）
A、5B、2C、8D、2
14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）
A、若x24,则x2；B、若3x26x,Wx2；
Cx2xk0的一个根是1,则k2；
D若分式V2的值为零，则x2。
x23x2
15、如果x2bx16x42，则b的值为（）
A、4
B
、4C
、8
D
、8
16、将方程x2
2x3
2
0化为xm
n的形式，
指出
m,n分别是（
）
A、1和3
B1和3C
、1和4
D
、1和4
17、已知一元二
-次方程
mx2n0m
0，若方程有解，
则必须（
）
A、n0B、mn同号C、n是m的整数倍D、mn异号
18、若a为方程x2x50的解，则a2a1的值为（）
A、12B、6C、9D、16
19、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月
增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）
A10%B、15%C、20%D、25%
、解一元二次方程
（
升级会员 