10其他
Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。
但它也有自己的优点，如：
计算简单；
空（t）不但与空（2jt）［j亡z］正交，而且与自己的整数位移正交。
因此，在a=2j的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。
中⑴的傅里叶变换是：
W（Q）=j-sin2（-）e-jQ2
11a
haar时域
1.5.c
1
0.5-
0--
-0.5-
-1--
-1.5cc:
00.511.5
t
i=20;
wav='haar';
[phi,g1,xval]=wavefun（wav,i）;
subplot（1,2,1）;
plot（xval,g1,'-r','LineWidth',1.5）;
xlabel（'t'）
title（'haar时域'）；
g2=fft（g1）;
g3=abs（g2）;
subplot（1,2,2）;plot（g3）;
xlabel（'f）
title（'haar频域'）
（2）Daubechies（dbN）」、波
Daubechies小波是世界著名的小波分析学者InridDaubechies构造的小波函数，简写为dbN,N是小波的阶数。
小波中（t）和尺度函数4（t）中的支撑区为2N-1,中（t）的消失矩为N。
除N=1外，dbN不具有对称性（即非线性相位）。
dbN没有明确的表达式（除N=1外），但转换函数h的平方模是明确的。
Daubechies小波系是由法国学者Daubechies提出的一系列二进制小波的总称，在Matlab中记为dbN,N为小波的序号，N值取2,3,…，10。
该小波没有明确的解析表达式，小波函数小与尺度函数①的有效支撑长度为2N-1.当N取1时便成为Haar小波。
N1,
N-1kkN-1・k.一.…一一.
令p（y）=£Cky,其中Ck为二项式的系数，则有
kz0
2
m。
（°）
12N」
式中，mod）=~~r=hhke"，2k4
Daubechies小波具有以下特点：
（1）在时域是有限支撑的，即中（t）长度有限。
（2）在频域中（s）在°°=0处有N阶零点。
（3）手（t）和它的整数位移正交归一，即*（t）V（t-k）dt=6k。
（4）小波函数空（t）可以由所谓“尺度函数”（t）求出来。
尺度函数®（t）为
低通函数，长度有限，支撑域在t=0~（2N-1）范围内。
db4频域10001[
900-
800「
700-
600-
500-
400•
300-
200-
100■
0111f
020*********
i=10;
wname='db4';
[phi,g1,xval]=wavefun（wname,i）;
subplot（1,2,1）;
plot（xval,g1,'-r','LineWidth',1.5）;
xlabel（'t'）
title（'db4时域'）；
g2=fft（g1）;
g3=abs（g2）;
subplot（1,2,2）;plot（g3,'-r','LineWidth',1.5）;
xlabel（'f）
title（'db4频域'）
f
注思
Daubechies小波常用来分解和重构信号，作为滤波器使用。
波形如下:
wname='db4';
%计算该小波的4个滤波器
[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters（wname）;
subplot（2,2,1）;stem（Lo_D）;
title（'分解低通滤波器'）;
subplot（2,2,2）;stem（Hi_D）;
title（'分解高通滤波器,）;
subplot（2,2,3）;stem（Lo_R）;
title（'重构低通滤波器'）;
subplot（2,2,4）;stem（Hi_R）;
title（'重构高通滤波器,）;
（3）MexicanHat（mexh）小波
2
2-i-
MexicanHat函数为Gauss函数的二阶导数：
（t）=（1-t）e2
因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也称为墨西哥帽函数
MexicanHat（mexh）小波的时域和频域波形图
mexihat频域
15r1—
10-
‘.I
I
;I
!
I
oLc
050
f
d=-6;
h=6;
n=100;
[g1,x]=mexihat（d,h,n）;
subplot（2,2,1）;plot（x,g1,'-r','LineWidth,,1.5）;
xlabel（'t'）
title（'Mexihat时域'）；
g2=fft（g1）;
g3=（abs（g2））;
subplot（2,2,2）;plot（g3）;
xlabel（'f）
title（'mexihat频域'）；
特点：
墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足
"（t）dt=0。
由于它不存在尺度函数，所以小波函数不具有正交性。
它是高斯包络下的单频率副正弦函数：
2
--t
（t）=Ce，co$5x）
C是重构时的归一化常数。
Morlet小波没有尺度函数4（t）,而且是非正交分解
Morlet小波的时域波形图和频域波形图
Morlet时域
t
d=-6;
h=6;
n=100;
[g1,x]=morlet（d,h,n）;
subplot（2,2,1）;plot（x,g1,'-r','LineWidth',1.5）;
xlabel（'t'）
title（'Morlet时域'）；
g2=fft（g1）;
g3=abs（g2）;
subplot（2,2,2）;plot（g3）;
xlabel（'f）
title（'Morlet频域'）
15
10
5
0050100
f
（5）Meyer小波
Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的,其定义为:
jw
◎-1））
其中，v（a）为构造Meyer小波的辅助函数，具有
v（a）=a4（35-84a70a2-20a3）aQ1
1
-
（2二厂
0-1））
4二
>——
3
-2二
（■）=（2二）cos（—v（
0
Meyer小波不是紧支撑的，但它收敛的速度很快:
2-n
⑴"n（1+|t）
Meyer小波的时域和频域波形图
中（t）无限可微。
10
5
0
d=-6;
h=6;
n=128;
[psi,x]=meyer（d,h,n,'psi'）;
subplot（2,1,1）,plot（x,psi,'-r','LineWidth',1.5）
xlabel（'t'）
title（'Meyer时域'）；
PSI=fft（psi）;
PSII=abs（PSI）;
subplot（2,1,2）,plot（PSII）;
xlabel（'f）
title（'meyer频域'）
2、在信号x（t）=sin（2兀*30t）+cos（2兀*50t）加上噪首后分别进
行FFT和CW变换。
解：
引入随机噪声randn（1,N）
0
-20
50
原信号x（t）波形图
50tx（t）加噪声后fft变换图
100
x（t）的fft变换图
■
III
|||
||
.J,
EJ：
50100
f
morlet
50f尺度为1
100
20406080100
time（orspace）b
尺度为2
6421aQXFacs
-1
0
0
50
0
-2cE
100050100
N=100;fs=1000;
n=0:
N-1;
%原信号
t=n/fs;
x=sin（60*pi*t）+cos（100*pi*t）;
subplot（3,2,1）;
plot（x,'-r','LineWidth',1.5）;
xlabel（'t'）
ylabel（'x（t）'）
title（'原信号x（t）波形图'）
F1=fft（x）;
m1=abs（F1）;
subplot（3,2,2）;plot（m1）;
xlabel（'f）
t田e（'x⑴的fft变换图'）
x1=randn（1,N）;%加入噪声
x2=x+x1;
F2=fft（x2）;
m2=abs（F2）;
subplot（3,2,3）;plot（m2）;
xlabel（'f）
title（'x（t）加噪声后fft变换图'）
scale=[1246];%设置尺度
subplot（3,2,4）;x3=cwt（x2,scale,'morl','plot'）;
title（'morlet'）;%加噪声后CWT变换结果图
subplot（3,2,5）;plot（x3（1,:
））;title（'尺度为1'）;
subplot（3,2,6）;plot（x3（2,:
））;title（'尺度为2'）;
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