几何图形及计算公式.docx
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几何图形及计算公式
Revisedasof23November2020
几何图形及计算公式
一。
几何图形及计算公式
平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C＝4a
S＝a2
长方形
a和b－边长
C＝2（a+b）S＝ab
三角形
a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝（a+b+c）/2
S＝ah/2
＝ab/2·sinC
＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2
＝a2sinBsinC/（2sinA）
四边形
d,D－对角线长α－对角线夹角
S＝dD/2·sinα
平行四边形
a,b－边长h－a边的高α－两边夹角
S＝ah＝absinα
菱形
a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长
S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形
a和b－上、下底长h－高m－中位线长
S＝（a+b）h/2＝mh
圆
r－半径d－直径
C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形
r—扇形半径a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×（a/360）
S＝πr2×（a/360）
弓形
l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数
S＝r2/2·（πα/180-sinα）
＝r2arccos[（r-h）/r]-（r-h）（2rh-h2）1/2
＝παr2/360-b/2·[r2-（b/2）2]1/2＝r（l-b）/2+bh/2≈2bh/3
圆环
R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径
S＝π（R2-r2）
＝π（D2-d2）/4
椭圆
D－长轴d－短轴
S＝πDd/4
立方图形
名称
符号
面积S和体积V
正方体
a－边长
S＝6a2
V＝a3
长方体
a－长b－宽c－高
S＝2（ab+ac+bc）V＝abc
棱柱
S－底面积h－高
V＝Sh
棱锥
S－底面积h－高
V＝Sh/3
棱台
S1和S2－上、下底面积h－高
V＝h[S1+S2+（S1S1）1/2]/3
拟柱体
S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积h－高
V＝h（S1+S2+4S0）/6
圆柱
r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积
C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h
空心圆柱
R－外圆半径r－内圆半径h－高
V＝πh（R2-r2）
直圆锥
r－底半径h－高
V＝πr2h/3
圆台
r－上底半径R－下底半径h－高
V＝πh（R2＋Rr＋r2）/3
球
r－半径d－直径
V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺
h－球缺高r－球半径a－球缺底半径
V＝πh（3a2+h2）/6
＝πh2（3r-h）/3
a2＝h（2r-h）
球台
r1和r2－球台上、下底半径h－高
V＝πh[3（r12＋r22）+h2]/6
圆环体
R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径
V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
桶状体
D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高
V＝πh（2D2＋d2）/12
（母线是圆弧形,圆心是桶的中心）
V＝πh（2D2＋Dd＋3d2/4）/15（母线是抛物线形）
平面几何图形和立体几何图形。
包括面积体积表面积等等公式
三角形
面积1）S=1/2底*高
2）S=1/2*意两边的乘积*这两边夹角的正弦值（已知两边及其夹角的大小）
3）S=根号下p（p-a）（p-b）（p-c）---------------------（海伦公式：
已知三边的长，p=周长/2）
分类：
钝角直角锐角
特例:
等边三角形：
S=四分之一倍根号三*边长的平方
等腰直角三角形：
S=1/2倍直角边的平方
注：
顶角为36°的等腰三角形也很重要
性质：
正弦定理：
sinA/a=sinB/b=sinc/C余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bccosAb^2=a^2+c^2-2accosBc^2=a^2+b^2-2abcosA三角形2条边向加大于第三边.三角形内角和=180度
四边形
梯形：
S=（上底+下底）*高/2
平行四边形：
S=底*高
长方形：
S=长*宽
正方形：
S=边长*边长
内角和为360°
多边形：
内角和为（n-2）*180°
面积：
具体问题具体分析（可用切割法划为简单图形计算）
圆：
s=πr^2
周长=2πr
性质：
园内以直径为一边的圆周三角形为直角三角形，且直径所对的角为直角
相同弧长所对的圆心角为其圆周角的两倍
弦切角=圆周角=1/2圆心角
过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直
立体
棱柱：
V=底面积*高（四棱柱可切为6个三棱锥）
椎体：
V=C底面积*高（C为一常数，三棱柱时为1/3;正三棱锥很重要）
球：
S=4πr^2V=4/3倍πr^3
提问人的追问2010-01-0316:
18
很清晰。
但好像还不是很完整，比如说扇形的，还有椎体，台体。
还有像问一下，椎体哪里的c为一常数是怎么看的
回答人的补充2010-01-0316:
36
嗯~·扇形：
S=顶角/360°*（πr^2）
弓形：
S=相应扇形的面积-相应三角形的面积
椎体体积的计算时始终记住底面积乘以高然后根据其特点确定C（因为底面积乘以高为四棱柱的体积所以只要确定几个这样的椎体构成一个四棱柱则C=1/n）上面那个地方写错了应该是1/6
更为复杂的立体一定要用切割法或是互补法
几年没碰过了忘了好多还有什么遗漏的告诉我我再看一下能不能记起
提问人的追问2010-01-0316:
43
弧长公式。
用不同的公式表示
回答人的补充2010-01-0316:
54
因弧度数=弧长/半径
所以1）弧长=弧度*半径
又2）弧长=（圆心角/360°）*周长
3）在物理方面弧长=角速度*半径*时间
提问人的追问2010-01-0317:
18
弦切角=圆周角=1/2圆心角可以帮我画个图吗
回答人的补充2010-01-0317:
34
完善答案
其他答案
面积：
三角形S=底*高/2
长方形S=长*宽
正方形S=边长的平方
梯形S=（上底+下底）*高/2
圆S=πr^2
体积：
球V=【4π（r^3）】/3圆锥V=底面积*高/3正方体V=边长的3次方长方体V=长*宽*高三棱锥V=底面积*高/3
平面几何：
1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h83
（1）比例的基本性质如果a:
b=c:
d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:
b=c:
d84
（2）合比性质如果a／b=c／d,那么（a±b）／b=（c±d）／d85（3）等比性质如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0）,那么（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r（R＞r）④两圆内切d=R-r（R＞r）⑤两圆内含d＜R-r（R＞r）136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n（n≥3）:
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×（n-2）180°／n=360°化为（n-2）（k-2）=4144弧长计算公式：
L=n∏R／180145扇形面积公式：
S扇形=n∏R／360=LR／2146内公切线长=d-（R-r）外公切线长=d-（R+r）
立体几何：
长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2（a+b）S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝（a+b+c）/2S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2＝a2sinBsinC/（2sinA）四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝（a+b）h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×（a/360）S＝πr2×（a/360）弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·（πα/180-sinα）＝r2arccos[（r-h）/r]-（r-h）（2rh-h2）1/2＝παr2/360-b/2·[r2-（b/2）2]1/2＝r（l-b）/2+bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π（R2-r2）＝π（D2-d2）/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2（ab+ac+bc）V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+（S1S1）1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h（S1+S2+4S0）/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh（R2-r2）直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh（R2＋Rr＋r2）/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh（3a2+h2）/6＝πh2（3r-h）/3a2＝h（2r-h）球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3（r12＋r22）+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh（2D2＋d2）/12（母线是圆弧形,圆心是桶的中心）V＝πh（2D2＋Dd＋3d2/4）/15（母线是抛物线形）
回答人的补充2010-01-0315:
37
立体几何：
长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2（a+b）S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝（a+b+c）/2S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2＝a2sinBsinC/（2sinA）
四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝（a+b）h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×（a/360）S＝πr2×（a/360）弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·（πα/180-sinα）＝r2arccos[（r-h）/r]-（r-
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