题外话，通过阻抗特性评估转换器的效率η
输入功率
公式25
输出功率
公式26
所以效率η
公式27
其中
为输入阻抗的导纳（admittance），等于输入阻抗的倒数（reciprocal）
假设Zn的虚部为零，即Zin为零相位（特征阻抗Zo为真实值，不影响相位），可以从中解出LLC谐振变换器工作于感性和容性区域的临界频率fz，做归一化处理得到：
公式28
其中fnz只与固定的λ－Q相关，此时输入谐振腔阻抗只有实部（从电源只吸收有用功）。
同时，可以得到最大品质因数
公式29
公式30
最大品质因数Qmax：
当小于Qmax时，对于相同的fn－λ时，谐振腔阻抗呈感性，因此，最大的电压增益Mmax
公式31
将Qz（fn，λ）带入M（fn，λ，Q）中，得到如Mz（fn,λ）的表达式
公式32
因此，在fnr和fno之间的部分可以画出Mz（fn，λ）以确定感性和容性的分界线borderline，如下图，从图中还可以看到，对于单一Q值曲线来讲，最大的增益点总是落在容性区域
三、ZVS约束条件（Qmax的选择）
3.1概述
假设工作在感性区域只是半桥MOSFETZVS的必要条件（necessarycondition），并不是充分条件（sufficient
condition），因为半桥中点的并联电容（在FHA分析中被忽略）在转换过程中需要充电（charged）和消耗（depleted）。
为了了解ZVS的工作情况，参照下图
其中存在两个电容，分别为POWERMOSFET的等效漏源极电容（输出电容）Coss和谐振腔阻抗杂散（stray）电容Cstray，因此节点N处的总电容Czvs为
公式33
转换过程如下图
3.2ZVS充分条件
为了达到ZVS,在两个MOSFET轮换开通之间存在死区时间TD。
由于工作在感性区域，因此输入电流滞后于输入电压，当半周期结束时，谐振腔的电流Irt仍然在流入，这个电流可以消耗储存在Czvs上的电荷，从而使节点N的电压降为零，所以在另一个开关开启时为零电压开通。
在半周期结束时，谐振电流腔中的电流必须可以保证在TD时间内，将Czvs的电荷消耗完，这就是ZVS的充分条件，临界电流Izvs为
公式34
这个电流等于流过谐振腔的无功电流的峰值（90度异相），这个电流决定电路的无功功率
公式35
而有功功率的输入电流Iact
公式36
所以输入电流Irt
公式37
谐振腔电流滞后电压的相位
（工作点的输入阻抗相位）
公式38
因此我们可以得到整个工作区间内，半桥POWERMOSFETZVS的充分条件（sufficientcondition）的相位判定
公式39
3.3通过选取Qmax来保证ZVS的实现
满载条件下的Qzvs1
求tan
对于解出品质因数（满载，最小输入电压，最大增益，最小工作频率）并不方便，因此我们计算Qmax（最大输出功率，最小输入电压），此时输入阻抗为零相位（由上边关于Qmax的描述可以看到，Qmax是在Zn虚部为零的条件下得到的，即相位
等于0，而零相位则无法满足ZVS的充分条件，也就是说半周期结束时的Irt不会大于临界值Izvs），所以选取（5％-10％）的差度，保证相位
不为零：
公式40
从上式得到的结果要验证是否满足tan
的条件，不满足则需要重新设计。
空载条件下的Qzvs2
当然，ZVS的充分条件需要满足空载且最大输入电压时的情况，这样，满载时ZVS的最大品质因数增加了约束条件
。
空载时，Q=0，所以
公式41
而
公式42
由ZVS充分条件知
公式43
将上式简化得到空载且最大输入电压时的品质因数
公式44
因此，为了确保在整个工作区间，谐振腔可以ZVS，必须满足最大品质因数Qmax小于min（Qzvs1，Qzvs2）
四、过载和短路条件时的工作情况（Operationunderoverloadandshort-circuitcondition）
参考上图中的电压增益特性，假设谐振腔被设计以最大输出功率Pout.max工作于感性区域，相应地，Q=Qmax，
并假定输出电压相对输入电压的增益大于1，如图中M=Mx
当输出功率逐渐由零开始向最大值增加，相应的对于不同负载的增益也会逐步地从红色曲线（Q=0）进入到黑色曲线（Q=Qmax）。
控制回路会保持M始终等于Mx不变，因此静态工作点（quiescentpoint）会沿着M=Mx的水平线移动，相应地，水平线M=Mx和Q值曲线的交点的横坐标就是不同负载条件下的工作频率。
如果负载增加到超过最大规定值Q=Qmax，最后转换器的工作点一定进入容性区域，此时将会出现MOSFET硬开关，如果没有矫正措施则可能会导致设备故障。
事实上，如果Q相对Qmax足够大，与M=Mx的交叉点将会出现在分界线Mz的左半平面，即容性区域；如果Q值曲线的正切线超过M=Mx，工作点将不会沿M=Mx移动。
这意味者转换器将不能保证输出电压的稳定，尽管工作频率会降低（反馈反转feedbackreversal），但是输出电压仍会下降。
限制最小工作频率（M=Mx与Q=Qmax的交点横坐标）并不能阻止转换器进入容性工作区域。
事实上，当工作频率到达最小值时，如果负载继续增加，则会导致工作点沿着垂直线分f＝fmin移动，最后穿过分界线。
限制最小工作频率只有在最小工作频率归一化后大于1才有效果。
所以，考虑到输出端过载和短路的情况，转换器的工组哦频率必须大于谐振频率fr，以降低功率吞吐量（powerthroughout）。
值得注意的是，如果在一段限制时间内，转换器规定传输峰值输出功率（输出电压稳定必须保持）远大于最大连续输出功率，谐振腔必须以峰值输出功率设计，确保其不会进入容性工作区间。
当然，热设计则可以只考虑最大连续输出功率即可。
无论如何，不论转换器被如何规定，短路或者一般的过载情况（超过最大谐振腔规定）都需要附加手段处理，比如限电流电路。
五、磁集成Magneticintegration
LLC谐振半桥非常适合磁集成，比如说，将电感和变压器集中到单一磁性设备。
这可以很容易从变压器的物理
模型看出，显然可以看到与LLC电路中的电感部分类似的拓扑结构。
然而，理想变压器在二次侧存在漏电感，而在前边的讨论中都被忽略了。
为了将二次侧漏感的效果考虑进FHA分析中，我们学要一个特殊的变压器模型和一个简单化的假设。
众所周知，由于模型中理想变压器圈比的选择很多，因此对于一个给定的变压器，存在无穷多种电气等效模型。
对一个合适的“等效”圈比n（显然不同于物理上的圈比nt＝N1：
N2），所有与漏磁通相关的元件都可以等效到一次侧。
这种等效模型称作APR（All-Primary-Referred），即所有参数都等效于一次侧，该模型满足FHA分析。
通过选择n可以得到APR模型：
k：
变压器耦合系数couplingcoefficient
L1：
一次侧绕组电感值
L2：
单边二次绕组电感值
注意：
（1）Lr仍旧保持了物理模型中的意义：
短路二次侧绕组时测量得到的一次侧电感值
（2）一次侧电感L1不可以改变
两种模型（physicalmodelandAPRmodel）不同的地方只是在分割方式上，因此L1与Lr之间的不同点就是Lm。
最后，倘若这些参数通过等效APR模型阐述得到，以上所作的分析可以直接应用在现实世界中的变压器。
反之亦然（viceversa），基于FHA分析得到的设计流程将提供APR模型的参数；因此，必须增加步骤决定物理模型中的那些参数。
尤其在计算圈比nt（physicalmodel）时，由于Lr与Lm与现实世界中存在联系Lr+Lm＝LL1+Lμ=L1
在物理模型中，问题无法在数学上得到解决：
因为含有5个未知量LL1，Lμ，nt，LL2a，LL2b；而APR模型中只有3个参数：
Lr，Lm，n.
克服了该问题的假设是建立在磁路对称（magneticcircuitsymmetry）：
假设一次侧和二次侧绕组的漏磁通刚好相等。
由此假设可以得到：
六、设计步骤
3.1设计规格
输入电压范围：
Vdc.Min-Vdc.max
正常输入电压：
Vdc.nom
输出电压：
Vout
谐振频率：
fr
最大工作频率：
fmax
启机频率：
fstart
3.2附加信息
节点N的并联电容：
Czvs
死区时间：
TD
3.3一般设计准则
准则1：
转换器设计工作在正常输入电压（nominalinputvoltage）
准则2：
转换器必须能够自动调节，当输入电压最大且零负载
准则3：
转换器必须在一直工作于ZVS区域
3.410个设计步骤
1）由准则1知，设正常输入电压下，谐振频率点的增益等于1，计算变压器（APR）圈比：
2）分别取输入电压范围的极值，计算最大与最小增益
3）按照定义计算最大归一化工作频率
4）计算反射到变压器一次侧的等效负载阻抗
5）计算最大输入电压，最大工作频率，零负载条件下，电感比值λ
6）计算最小输入电压，满载时，工作于ZVS区域的最大Q值（选择90％～95％）
7）计算最大输入电压，空载时，工作于ZVS区域的最大Q值
其中
8）选择整个工作范围内（空载～满载）可允许最大的Q值，即Qzvs
9）计算最小输入电压，满载时，最小工作频率
10）计算谐振腔特征阻抗和所有的元件值（Lr，Lm，Cr）
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