中考数学方程应用专题.docx
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中考数学方程应用专题
中考第二轮专题复习十四：
注重应用问题
一．【知识网络梳理】
新的《课程标准》明确指出：
“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具．”为了和新的教育理念接轨，各地中考命题都加大了应用题的力度．近几年的数学应用题主要有以下特色：
涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题技巧，涉及的背景材料十分广泛，涉及到社会生产、生活的方方面面；再就是题目文字冗长，常令学生抓不住要领，不知如何解题．解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为数学模型．
题型1方程（组）型应用题
方程是描述丰富多彩的现实世界数量关系的最重要的语言，也是中考命题所要考察的重点热点之一．我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识．并学会用数学中方程的思想去分析和解决一些实际问题．解此类问题的方法是：
（1）审题，明确未知量和已知量；
（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出等量方程；（4）解方程，必要时验根．
题型2不等式（组）型应用题
现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值．但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围（趋势），从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识．本节中，我们所要讨论的问题大多是要求出某个量的取值范围或极端可能性，它们涉及我们日常生活中的方方面面．
列不等式时要从题意出发，设好未知量之后，用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系．
题型3函数型应用问题
函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围．
题型4统计型应用问题
统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强．中考试题的热点之一，就是考查统计思想方法，同时考查学生应用数学的意识和处理数据解决实际问题的能力．
题型5几何型应用问题
几何应用题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想像、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法．
二、【知识运用举例】
（一）方程（组）型应用题
例1．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：
如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案：
方案一：
尽可能多的制成奶片，其余直接销售牛奶；
方案二：
将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利最多，为什么？
例2．（2016湖北宜昌）小资料：
财政预计，三峡工程投资需2039亿元，由静态投资901亿元、贷款利息成本a亿元、物价上涨价差（a＋360）亿元三部分组成．但事实上，因国家调整利率，使贷款利息减少了15.4%；因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨价差减少了18.7%．
2004年三峡电站发电量为392亿度，预计2016年的发电量为564.48亿度，这两年的发电量年平均增长率相同．若发电量按此幅度增长，到2008年全部机组投入发电时，当年的发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量．从2009年起，拟将三峡电站和葛洲坝电站的发电收益全部用于返还三峡工程投资成本．葛洲坝年发电量为270亿度，国家规定电站出售电价为0.25元/度．
（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿元？
（结果精确到1亿元）
（2）请你通过计算预测：
大约到哪一年可以收回三峡工程的投资成本？
例3．（2017天津市）注意：
为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．问二人每小时各走几千米？
（1）设乙每小时走x千米，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．
（要求：
填上适当的代数式，完成表格）
（2）列出方程（组），并求出问题的解．
（二）、不等式（组）型应用题
例4．（2016四川资阳）某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）个乒乓球.已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元.现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球.若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？
（2）当k＝12时，请设计最省钱的购买方案．
例5．（2017乌兰察布盟）某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元．
（1）求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元？
（2）若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套B品牌的化妆品可获利20元，根据市场需求，化妆品店老板决定，购进B品牌化妆品的数量比购进A品牌化妆品数量的2倍还多4套，且B品牌化妆品最多可购进40套，这样化妆品全部售出后，可使总的获利不少于1200元，问有几种进货方案？
如何进货？
（三）、函数型应用题
例6．（2016山东济南）元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：
纸环数
（个）
1
2
3
4
……
彩纸链长度
（cm）
19
36
53
70
……
（1）把上表中
的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想
与
的函数关系，并求出函数关系式；
（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一
根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？
例7．（2017扬州）连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为
，列车走完全程包含启动加速、匀速运行、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需
秒，在这段时间内记录下下列数据：
时间
（秒）
0
50
100
150
200
速度
（米／秒）
0
30
60
90
120
路程
（米）
0
750
3000
6750
12000
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（
）速度
与时间
的函数关系、路程
与时间
的函数关系．
（2）最新研究表明，此种列车的稳定动行速度可达180米／秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足
（1）中的函数关系式，并且制作减速所需路程与启动加速的路程相同．根据以上要求，至少还要再建多长轨道就能满足试验检测要求？
（3）若减速过程与加速过程完全相反．根据对问题
（2）的研究，直接写出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内，列车离开起点的距离
（米）与时间
（秒）的函数关系式（不需要写出过程）
（四）、统计型应用题
例8、（2017北京市）根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：
2005年北京市用水情况统计表
生活
用水
环境
用水
工业
用水
农业
用水
用水量（单位：
亿
）
13.38
6.80
13.22
占全年总用水量的比例
（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：
亿
）；
（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿
，请你先计算环境用水量（单位：
亿
），再计算2005年北京市用水总量（单位：
亿
）；
（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：
亿
）；
（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法．
例9、（2017荆门市）
一、问题背景
某校九年级
（1）班课题学习小组对家庭煤气的使用量做了研究，其实验过程和对数据的处理如下．
仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮（以下简称旋钮）的位置为竖起方向，把这个位置定为0°，煤气开到最大时，位置为90°．（以0°位置作起始边，旋钮和起始边的夹角）．在0~90°之间平均分成五等分，代表不同的煤气流量，它们分别是18°，36°，54°，72°，90°，见图1．
在这些位置上分别以烧开一壶水（3.75升）为标准，记录所需的时间和所用的煤气量．并根据旋钮位置以及烧开一壶水所需时间（用t表示）、所用煤气量（用v表示），计算出不同旋钮位置所代表的煤气流量（用L表示），L＝v/t，数据见右表．这样为可以研究煤气流量和烧开一壶水所需时间及用气量之间的关系了．
位置
烧开一壶水所需
流量
时间（分）
煤气量（m3）
m3/分
18°
19
0.13
0.0168
36°
16
0.12
0.0176
54°
13
0.14
0.0117
72°
12
0.15
0.0124
90°
10
0.17
0.0172
二、任务要求
1．作图：
将下面图2中的直方图补充完整；在图3中作出流量与时间的折线图．
2．填空：
①从图2可以看出，烧开一壶水所耗用的最少煤气量为_______m2，此时旋钮位置在______．
②从图3可以看出，不考虑煤气用量，烧开一壶水所用的最短时间为_______分钟，此时旋钮位置在______．
3．通过实验，请你对上述结果（用煤气烧水最省时和最省气）作一个简要的说明．
（五）、几何型应用题
例10、（2016年苏州市）台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识．图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡
（1）击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边．经过一次反弹后再撞击F球．他应将E球打到AB边上的哪一点?
请在图①中用尺规作出这一点H．并作出E球的运行路线；（不写画法．保留作图痕迹）
（2）如图②以D为原点，建立直角坐标系，记A（O，4）．C（8，0）．E（4，3），F（7，1），求E球接刚才方式运行到F球的路线长度．（忽略球的大小）
图①
例11、（2017资阳）一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图7所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形.现需将其整修并进行美化，方案如下：
①将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶
；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．
⑴求整修后背水坡面的面积；
⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？
三、【知识巩固训练】
1（17日照）今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用
小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少．
2（17德阳）某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：
乙队单独完成工程的时间是甲队的
倍；甲、乙两队合作完成工程需要
天；甲队每天的工作费用为
元、乙队每天的工作费用为
元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？
3（17重庆市）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：
m），解答下列问题：
（1）用含
、
的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？
4（17河池非课改）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．
5（17宁波市）2017年5月19日起，中国人民银行上调存款利率．
人民币存款利率调整表
项目
调整前年利率％
调整后年利率％
活期存款
0.72
0.72
二年期定期存款
2.79
3.16
储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20％．
（1）小明于2017年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元?
（2）小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2．79％计息，本金与实得利息收益的和为2555．8元，问他这笔存款的本金是多少元?
（3）小明爸爸有一张在2017年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款．问他是否应该转存?
请说明理由．
约定：
①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息．
②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内．获得的利息比较．如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算（转存前后本金不变）．
6．（17乌兰察布盟）某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元．
（3）求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元？
（4）若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套B品牌的化妆品可获利20元，根据市场需求，化妆品店老板决定，购进B品牌化妆品的数量比购进A品牌化妆品数量的2倍还多4套，且B品牌化妆品最多可购进40套，这样化妆品全部售出后，可使总的获利不少于1200元，问有几种进货方案？
如何进货？
7．（17赤峰市）某私立中学准备招聘教职员工60名，所有员工的月工资情况如下：
员工
管理人员
教学人员
人员结构
校长
副校长
部处
主任
教研
组长
高级
教师
中级
教师
初级教师
员工
人数／人
1
2
4
10
3
每人月
工资／元
20000
17000
2500
2300
2200
2000
900
请根据上表提供的信息，回答下列问题：
（1）如果学校准备招聘“高级教师”和“中级教师”共40名（其他员工人数不变），其中高级教师至少要招聘13人，而且学校对高级、中级教师的月支付工资不超过83000元，按学校要求，对高级、中级教师有几种招聘方案？
（2）
（1）中的哪种方案对学校所支付的月工资最少？
并说明理由．
（3）在学校所支付的月工资最少时，将上表补充完整，并求所有员工月工资的中位数和众数．
8．（17绵阳市）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？
有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？
最少运费是多少？
9．（17日照）某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m2的集贸大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28m2，月租费为400元；每间B种类型的店面的平均面积为20m2，月租费为360元.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%．
（1）试确定A种类型店面的数量；
（2）该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，A种类型店面的出租率为75%，B种类型店面的出租率为90%.为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？
11（17温州市）为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：
A公司每月2000元基本工资，另加销售额的2%作为奖金；B公司每月1600元基本工资，另加销售额的4%作为奖金．已知A、B公司两位销售员小李、小张1～6月份的销售额如下表：
月份
销售额
销售额（单位：
100元）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
小李（A公司）
116
128
140
152
164
176
小张（B公司
74
92
11
128
146
164
（1）请问小李与小张3月份的工资各是多少？
（2）小李1～6月份的销售额
与月份
的函数关系式是
小张1～6月份的销售额
也是月份
的一次函数，请求出
与
的函数关系式；
（3）如果7～12月份两人的销售额也分别满足
（2）中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资．
12（17山东东营）某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图11中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？
最大利润是多少万元？
13（17泰州）通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量
（千克）与市场价格
（元/千克）（
）存在下列关系：
（元/千克）
5
10
15
20
（千克）
4500
4000
3500
3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量
（千克）与市场价格
（元/千克）成正比例关系：
（
）．现不计其它因素影响，如果需求数量
等于生产数量
，那么此时市场处于平衡状态．
（1）请通
过描点画图探究
与
之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）根据以上市场调查，请你分析：
当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量
与市场价格
的函数关系发生改变，而需求数量
与市场价格
的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？
14（17浙江省）2016义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值
元，已知全市生产总值＝全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2016年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）2016年义乌市户籍人口为716684人，求2016年义乌市人均生产产值（单位：
元，结果精确到个位）：
若按2016年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元＝7.96元人民币），义乌市2016年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？
15．（17扬州）连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为
，列车走完全程包含启动加速、匀速运行、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需
秒，在这段时间内记录下下列数据：
时间
（秒）
0
50
100
150
200
速度
（米／秒）
0
30
60
90
120
路程
（米）
0
750
3000
6750
12000
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（
）速度
与时间
的函数关系、路程
与时间
的函数关系．
（2）最新研究表明，此种列车的稳定动行速度可达180米／秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足
（1）中的函数关系式，并且制作减速所需路程与启动加速的路程相同．根据以上要求，至少还要再建多长轨道就能满足试验检测要求？
（3）若减速过程与加速过程完全相反．根据对问题
（2）的研究，直接写出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内，列车离开起点的距离
（米）与时间
（秒）的函数关系式（不需要写出过程）
16．（17青岛）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：
w＝－2x＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
17（17资阳）某校学生会准备调查初中2008级同学每天（除课间操外）的课外锻炼时间．
⑴确定调查方式时，甲同学说：
“我到1班去调查全体同学”；乙同学说：
“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”；丙同学说：
“我到初中2008级每个班去随机调查一定数量的同学”.请你指出哪位同学的调查方式最为合理；
⑵他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制出如图5－1所示的条形统计图和如图5－2所示的扇形统计图，请将其补充完整；
⑶若该校初中2008级共有240名同学，请你估计其中每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数，并根据调查情况向学生会提出一条建议．
（注：
图5－2中相邻两虚线形成的圆心角为30°.）
18、（17辽宁旅顺口）现从某市区近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图（每组包含最小值，不包含最大值），请结合图中的信息，解答下列问题：
（l）卖出面积为110－130cm2的商品房有______套，并在右图中补全统计图；
（2）从图中可知，卖出最多的商品房约占全
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