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1996真题及解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
⑴设方程x=yy确定y是x的函数,则dy=.
1
⑵设『xf（x）dx=arcsinx+C,则］dx=..
f（x）
⑶设xo,yo是抛物线y=ax2bxc上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是.
⑷设
-
1
1
11
H11
f
xj
1
a1
a2
a31
Han
X2
1
A=
2
a1
+
2
a2
■
4
a；I
■
Ha2
q
X=
X3
+
+
B=
1
+
nA.
a1
A
nA.
a2
4
a异I
q
\\an：
+
1
其中aiHaj（i式j;i,j=12111,n）.则线性方程组aJX=B的解是.
（5）设由来自正态总体X~N（^0.92）容量为9的简单随机样本，得样本均值X-5,则未知参数卩的置信度为0.95的置信区间为.
二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
cos•二
（1）累次积分.02小，［f（rco^,rsinRrdr可以写成（）
1j1T
（B）pdy。
f（x,y）dx
1x」2
（D）dxf（x,y）dy
L0%
（）
1jy-y2
（A）0dy0f（x,y）dx
11
（C）0dx0f（x,y）dy
（2）下述各选项正确的是
O0QOQO
（A）若7u：
和7v2都收敛，则7（unvn）2收敛
nFnFnT
OQqQ
（D）若级数7un收敛，且Un_Vn（n=12|）l）,则级数vVn也收敛
nJnJ
⑶设n阶矩阵A非奇异（n_2）,A”是矩阵A的伴随矩阵,则（）
n1n
（A）（A）二AA（B）（A）二AA
（C）（A）二An，A（D）（A）=A「2A
⑷设有任意两个n维向量组：
elllCm和若存在两组不全为零的数’l」l（,'m
和ki,||（,km，使（「kjr（m•km）>m（1—kJ「（m-KJF=0,则
（）
（A）〉1」l（,〉m和：
1」l（,：
m都线性相关
（B）〉1」l（,〉m和-1^1,：
m都线性无关
（C）M'-iJH,■：
m/^--iJH/^-：
m线性无关
（D）M■-lJH,：
^■-m/^--iJH/^--m线性相关
⑸已知0:
:
：
P（B）:
:
：
1且P[A•AB]二P（AB）•P（AB）,则下列选项成立的是（）
（A）P[AA2：
B]=P（AB）P（A2B）
（B）P（AB+"B）=P（AB）+卩（砂）
（C）p（a+A2）=p（A|b）+p（4|b）
（D）
（本题满分6分）
[g（x）-e*设f（x）二x
0,
pB二PAP（BA）P（A2）P（BA2）
x式0
其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）=1,g（0）--1.
x=0,
（1）求f（x）；
（2）讨论f（x）在（」：
，=）上的连续性
四、（本题满分6分）
x
设函数z二f（u）,方程U二「（u）•p（t）dt确定u是x,y的函数,其中f（u）」（u）可
Jy
微；p（t）,「（U）连续,且：
（U）".求p（y）三p（x）三.exdy
五、（本题满分6分）
丄-x
严xe
0（1e"）2
六、（本题满分5分）
1
设f（x）在区间［0,1］上可微，且满足条件f
（1）=2jxf（x）dx.试证：
存在-（0,1）使
f（）f（）=0.
七、（本题满分6分）
设某种商品的单价为p时，售出的商品数量Q可以表示成Q=—^-c,其中ab、
p+b
c均为正数，且abc.
（1）求p在何范围变化时，使相应销售额增加或减少•
（2）要使销售额最大，商品单价p应取何值？
最大销售额是多少？
八、（本题满分6分）
九、（本题满分8分）
（1）已知A的一个特征值为3,试求y；
⑵求矩阵P,使（ap）t（ap）为对角矩阵十、（本题满分8分）
设向量〉1」2」l（「t是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量［不是方程组
AX=0的解，即Alt^O.试证明：
向量组打」心1」■■:
上“线性无关•十一、（本题满分7分）
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5
个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所
获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？
十二、（本题满分6分）
考虑一元二次方程x2Bx0,其中B、C分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数•求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.
十三、（本题满分6分）
假设Xi,X2,|l（,Xn是来自总体X的简单随机样本；已知EXk二ak（k=123,4）•
1n2
证明：
当n充分大时，随机变量Zn=丄^X：
近似服从正态分布，并指出其分布参数.
ny
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题
（本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）
（1）【答案】
dx
dx=eylnydylny=yy1Inydy=x1Inydy,
【解析】对y二ax2bxc两边求导得y=2axb,y'x0二2ax0b,
所以过x°,y。
的切线方程为y-y°二2ax）bx-x°,即
y-ax：
bx。
c二2axobx-x°.
又题设知切线过原点0,0,把x二y=0代入上式,得
-ax^_bx0_c__2axf-bx°,即axj^=c.
C2
由于系数a=0,所以,系数应满足的关系为0（或ax2=c）,b任意.
a
（4）【答案】（1,0,0，川oT
【解析】因为A是范德蒙行列式，由a^--aj知A二…a_aj-0.根据解与系数矩阵
秩的关系，所以方程组ATX=B有唯一解.
易见D<|=A,D2=D3=I=Dn=0.
所以AtX二B的解为x1=1,x2=x3=1=xn=0,即1,0,0,H1,0.
【相关知识点】克莱姆法则：
若线性非齐次方程组
乙1必+^2X2+山+£^=3,
严2必+a22X2+山+&2.人=匕2,
1IIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
amM-an2X2-annXn二g.
其中Dj是用常数项b1,b2,IH,bn替换D中第j列所成的行列式，即
a11
III
a1,j^
a1,j申
III
a1n
Dj=
a21
III
a2,j_1
■
b2
a2,j申
III
a2n
■*
*
+
*
an1
III
an,jJ
bn
an,j+
III
ann
⑸【答案】（4.412,5.588）
【解析】可以用两种方法求解：
（1）已知方差孑=0.92,对正态总体的数学期望」进行估计，可根据
—1n因XLN（J0.92）,设有n个样本，样本均值XXi,
ni4
2—
有XLN（丄，），将其标准化，由公式~N（0,1）得:
n
X-1
1~N（0,1）
n
（2）本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值」的置信区间问题•
其中PU
:
:
:
u-=1，ULN（0,1）,可以直接得出答案.
方法1:
由题设，1-「二0.95,可见〉二0.05.查标准正态分布表知分位点u一.二1.96.本
P{
1.96}=0.95,即P{4.412丄5.588}=0.95,
故」的置信度为0.95的置信区间是（4.412,5.588）
方法2:
由题设，1_=0.95,
P{|U|
222"2"2
查得u1.96.
Ct
二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）【答案】（D）
【解析】方法1：
由题设知，积分区域在极坐标系x=rcosv,y=rsinv中是
即是由x-1•y2=1与x轴在第一象限所围成的
I2丿，4
平面图形，如右图.
由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1,
下边界方程是y=0,上边界的方程是y=X-X2,从而D的直角坐标表示是
D=1x,y|0乞xE1,0乞y岂、x_x2?
故（D）正确.
方法2:
采取逐步淘汰法.由于（A）中二重积分的积分区域的极坐标表示为
「冗1
D1=r,^|0,0乞rEsin^,
2
而（B）中的积分区域是单位圆在第一象限的部分，
（C）中的积分区域是正方形'x,y|0_x_1,0_y_1•',
所以，他们都是不正确的.故应选（D）.
⑵【答案】（A）
【解析】由于级数au2和v2都收敛，可见级数u2v2收敛.由不等式
nHn3n3
2unVn萤+V；
及比较判别法知级数£2unvn收敛,从而无2unvn收敛.
ngnJ
2222
又因为Unvnunvn2unvn,即级数7unvn收敛，故应选（A）,
n4
、1
设Un2>Vn=1n=1,2,||（,可知（B）不正确.
n
、11
设un2n=1,2」11,可知（C）不正确.
nn
1
设Un
n=1,2,"I,可知（D）不正确.
n
QOQO
注：
在本题中命题（D）"若级数vun收敛,且un丄vn（n二1,2,|）|）,则级数avn也收敛.
n■!
n-1
不正确，这表明：
比较判别法适用于正项级数收敛（或级数绝对收敛）的判别，但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别
⑶【答案】（C）
【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA=A”A=AE,
现将A5*视为关系式中的矩阵A,则有AE.
（心一An」j=An，A.
故应选（C）.
方法二：
由A（Af二AE,左乘A得
（AA）（A）'An4A,即（AE）（A）JAn‘A.
故应选（C）.
⑷【答案】（D）
【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组1,2,川，s线性
无关，即若X11•X22VXss=0,必有X1=0,X2=0,川，Xs=0.
既然’jl（,'m与kjl（,km不全为零，由此推不出某向量组线性无关，故应排除（B）、（C）.
一般情况下，对于
kr-1-k2—川ks〉s1「1川Is：
s7
不能保证必有k佝，k?
鳥2•|l「ks寫s=0,及hr71（Iss=0,故（A）不正确.由已知条件
有
'1-<''m''m*匕宀-S*川*人亠-4产0，
又二山，'m与kjl（,km不全为零，故〉1「1,M,〉m「m,〉1-：
1」山〉m-F线性相关•故选（D）.
⑸【答案】（B）
【解析】依题意
P[（A+人）BlP（AB—P（AB）P（AB+AB）P（AB）+P（AB）P（B-P（B）P（B），P（B）-.
因P（B）=0,故有P（AB+AB）=P（AB）+P（4B）.因此应选（B）.
注：
有些考生错误地选择（D）.他们认为（D）是全概率公式，对任何事件B都成立，但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件A1,A2应满足P（A^）-0,P（A?
）-0,且A,,A是对立事件•
【相关知识点】条件概率公式：
P（B|A）二P（AB）.
P（A）
三、（本题满分6分）
【解析】
（1）由于g（x）有二阶连续导数，故当x=0时，f（x）也具有二阶连续导数，此
时，f（x）可直接计算，且f（x）连续；当x=0时，需用导数的定义求「（0）.
当x=0时,由导数定义及洛必达法则，有
所以
f（0）=limg（x）2e洛|im
XTx2x）0
f（x）
g（x）「洛|沁
x）02
2x
xg（x）-g（x）（x1）e"
2
x
g（0）t
x=0,
x=0.
f（x）在X=0点的连续性要用定义来判定
limf（x）=lim
X0X）0
（x）-e瘁g（0）-1
2
.因为在x=0处，有
xg（x）-g（x）（x1）e*
g（X）xg（x）-g（x）e"-（x1）e"
2x
g（x）e>
2
g（o）-i
2
二f（0）.
而f（x）在x--0处是连续函数，所以f（x）在（-*,•：
：
）上为连续函数
四、（本题满分6分）
.:
z
【解析】由Z二f（u）可得兰二f（u）M,兰二f（u）dxexcy
在方程u二
x
「（u）p（t）dt两边分别对x,y求偏导数,得
・y
—=（u）-^p（x）,-^=（u）
.x；x■:
y
—-p（y）.
所以
cu
p（x）cu
-p（y）
ex
1-4（u）,內-
「1-时（u）.
于是
p（y）
&.（、&Z
—+p（x）—=dx&y
；p（x）p（y）
[1-®（u）
p（x）p（y）1
1-A（u）一
f（u）=0.
五、（本题满分6分）
【分析】题的被积函数是幕函数与指数函数两类不同的函数相乘，应该用分部积分法
【解析】方法1：
因为
-x
xe
（1e"）2
dx二xd
xdx
A-xx
1e1e
x
d（1ex）
xe,X
xxdx=
1e"1ex1e
-In（1ex）C,
所以
而
二xe*
1（1e"）2
dx讪［述切代）山2.
xxe
Tn（1+ex）卜jnex（^e^）]j
x
xe
x
1e
-x
_x-ln（1「）
=lim冷_0=0,i.e
故原式=ln2.
方法2:
（1e」）2
dx二
x
xe
（1ex）2
dx=-
xd
1ex
1ex
:
:
dx
1ex
d（1e」）
:
:
dx
1ex
dx
--ln（1e」）
-In2.
六、（本题满分5分）
【分析】由结论可知,若令（X）二xf（x）,则，（X）二f（x）xf（x）.因此,只需证明（x）在
［0,1］内某一区间上满足罗尔定理的条件.
1
【解析】令®（x）=xf（x）,由积分中值定理可知，存在耳e（0丄），使
2
11102xf（x）dx=02：
（x）dx=2：
（）,
11
由已知条件，有f
（1）=2.：
xf（x）dx=2?
「（）=（）,于是
「⑴二f
（1）=：
（）,
且（x）在（，1）上可导，故由罗尔定理可知，存在：
（,1）（0,1）,使得
「（）=0,即f（）f（）=0.
【相关知识点】1.积分中值定理：
如果函数f（x）在积分区间［a,b］上连续，则在［a,b］上至
少存在一个点，使下式成立：
af（x）dx=f（）（b-a）a--b.
这个公式叫做积分中值公式.
2.罗尔定理：
如果函数f（x）满足
（1）在闭区间［a,b］上连续；
（2）在开区间a,b内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）二f（b）,
那么在a,b内至少有一点（a<:
：
:
b）,使得fI匚〕：
0.
七、（本题满分6分）
【分析】禾U用函数的单调性的判定,如果在X的某个区间上导函数「X_0,则函数fx
单调递增，反之递减•
【解析】
（1）设售出商品的销售额为R,则
2
a”ab—c（p+b）
R=pQ=p（c）,R（p）2-
P+b（P+b）
当o：
：
：
p「；（'2-'.bC）时，R—0,所以随单价p的增加，相应销售额R也将增加.
当pJ"）时，有R'£0,所以随单价p的增加，相应销售额R将减少.
⑵由⑴可知，当p=JbC）时，销售额R取得最大值,最大销售额为
八、（本题满分6分）
【解析】令Z=y,则d^=zX^Z.
xdxdx
当X=0时,原方程化为z+x^MZ-Jl+z2,即，dz==--dx,其通解为dxJi+z2x
In（z-1z2）=TnxG或z'1z2=C.
x
代回原变量，得通解y•x2•y2=C（x0）.
当x:
0时,原方程的解与x0时相同，理由如下：
令t=-X,于是t0,而且
dy_dydx_dy_y_,x2y2讨-、£y2y_、t2y2
dtdxdtdxx-xt
从而有通解yt?
y=C（t•0）,即讨x2y2=C（x：
：
：
0）.
综合得,方程的通解为yx2y2二C.
注：
由于未给定自变量x的取值范围，因而在本题求解过程中，引入新未知函数z=*后得
x
Jx2+y2=x|Ji+Z2,
从而，应当分别对x0和x.0求解，在类似的问题中，这一点应当牢记.
九、（本题满分8分）
【分析】本题的
（1）是考查特征值的基本概念，而
（2）是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题，用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题
【解析】
（1）因为•=3是A的特征值，故
所以y=2.
01
A2
PTA2P二'….
方法一：
配方法.
T22222
由于xAx=为X25x35x48x3X4
222816?
2
=x-ix25（x3X3X4x4）5x4
525
x；5（X34xJ29x；
55
方法二：
正交变换法.
T22222
0
0
0
&-1
0
0
0
九-5
-4
0
-4
九—5
0
二次型xAx=论x2-5x3-5x4-8x3x4对应的矩阵为
~1
0
0
01
2
0
1
0
0
a=
0
0
5
4
[
0
0
4
5一
其特征多项式
■-1
2■・■■-2
A的特征值>=1,2=1,'3-1,-9.由（’1E-A）x=0,即
分别求得对应人,2,3=1的线性无关特征向量
:
!
=（1,0,0,0）T,：
2=（0,1,0,0）T,：
3=（0,0,1,-1）T,
和・4=9的特征向量：
・4=（0,0,1,1）T.
对〉1,〉2,〉3用施密特正交化方法得再将為单位化为'-4,其中:
取正交矩阵
00
00
11
11
V2近
10
01
P=［卩1,卩2,卩3,04】=00
■1
1
TT2
（AP）（AP）=PAP二
十、（本题满分8分）
【解析】证法1:
（定义法）若有一组数k,k1,k2」l（,kt,使得
k「匕（「6）•k2（「：
2）■川-ktW讣）二0,
（1）
则因〉1,〉2,川，:
't是AX=0的解,知Ai=0（i=1,2,|l（,t）,用A左乘上式的两边,有
（k&k2丨1（kt）A：
=0.
（2）
由于AL：
=0,故kk（k2丨I（kt=0.
对⑴重新分组为（k•&•k2kt）：
•kr1k2〉2'kt：
\=0.（3）
把⑵代入（3）得dk2：
2川kt：
t=0.
由于〉1,〉2」l（,〉t是基础解系,它们线性无关,故必有k1=0,k2=0」l（,kt=0.
代入⑵式得：
k=0.
因此向量组：
，『’'佝，「'厲线性无关•
证法2:
（用秩）经初等变换向量组的秩不变•把第一列的-1倍分别加至其余各列，有
［宀心2,||忖fr*,r,〉2」ll,〉t•
因此r1,,■心1，“丄：
〉2,1"丄:
卄i；二r1，r，〉2，|ll，〉t•
由于冷，〉2,丨1（,〉t是基础解系，它们是线性无关的，秩r二，〉2，IH，〉ti；=t,又］必不能由冷厂2,丨1（,冷线性表出（否则A=0）,故r〉1,〉2,川，〉t,2i；=t1.
所以r.卩宀「，F亠:
烁川，亠宀=t1.
即向量组一：
，“—2,||（「’・珂线性无关•
十一、（本题满分7分）
【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即B（5,0.2）.
由二项分布的概率计算公式，有
Plx=0心0.85=0.32768,
p{X=1}=C；0.840.2=0.4096,
P「X=2：
二C；0.830.22=0.2048,
Pfx_3；=1-Plx=0，-P「X=1，-P「X=2；=0.05792.
设一周内所获利润Y（万元）,则Y是X的函数，且
'10,若X
5,若X
若X
EY=100.3276850.4096-20.05792=5.20896（万元）.
【相关知识点】
1.二项分布的概率计算公式：
k=0,1川,n.
若Y-B（n,p）,则=k：
二C：
pk（1-p）z
n.
2.离散型随机变量数学期望计算公式：
E（X）二二xk，p1x=xkL
kd
十二、
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