控制工程基础第2章包括答案doc.docx
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控制工程基础第2章包括答案doc
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第2章系统的数学模型（习题答案）
2.1什么是系统的数学模型？
常用的数学模型有哪些？
解：
数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2什么是线性系统？
其最重要的特性是什么？
解：
凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3图（题2.3）中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程,图中xi表示输入位移,xo表示输出位移,假设输出端无负载效应。
题图2.3
解：
①图（a）：
由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
整理得
将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
专业word可编辑
......
[]
于是传递函数为
②图（b）：
其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：
消去中间变量x，可得系统微分方程
对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为
③图（c）：
以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
移项整理得系统微分方程
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......
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
则系统传递函数为
2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，
其中电压ur（t）和位移xr（t）为输入量；电压uc（t）和位移xc（t）为输出量；k,k1和k2为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。
C
f
k
u（t）
R
uc（t）
r
xr（t）
xc（t）
（a）
（b）
R1
f
k1
k2
R2
ur（t）uc（t）xr（t）xc（t）
C
（d）
（c）
题图2.4
【解】：
（a）
方法一：
设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：
ur
1
idtuc
C
uc
Ri
消去中间变量，整理得：
duc
uc
dur
RC
RC
dt
dt
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......
方法二：
Uc（s）
R
RCs
duc
uc
dur
Ur（s）
1
RC
dt
RC
RCs1
dt
R
Cs
（b）由于无质量，各受力点任何时刻均满足F0，则有：
f（dxr
dxc）
kxc
fdxc
xc
fdxr
dt
dt
k
dt
k
dt
Uc（s）
R2
1
R2Cs1
duc
dur
Cs
（R1
R2）C
uc
ur
（c）
1
R1R2Cs1
dt
R2C
Ur（s）
R1
R2
dt
Cs
（d）设阻尼器输入位移为xa，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程
k1（xr
xc）k2（xr
xa）
k1k2fdxc
fdxr
k2（xc
xa）
fdxa
xc
xr
k1k2
dt
k2dt
dt
结论：
（a）、（b）互为相似系统，（c）、（d）互为相似系统。
四个系统均为一阶系统。
2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。
R1
C
R1
ur（t）
L
R2
uc（t）
C1
R2
uc（t）
ur（t）
_
_
C2
（a）
_
_
R1
（b）
R2
C1
ur（t）
L
C
uc（t）
ur（t）
R
R
uc（t）
C2
_
_
_
_
（c）
（d）
题图2.5
【解】：
可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。
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......
（
1
R）//Ls
2
Uc（s）
Cs
2
R2
LCR2s
（a）
1
1
（R1R2）LCs2
Ur（s）
R1
R2）//Ls
（R1R2CL）sR1
（
Cs
R2
Cs
Uc（s）
R1//
1
R1R2C1C2s2
（R1C1R2C2）s1
1
C1s
（b）
1
1
R1R2C1C2s2
（R1C1R2C2R1C2）s1
Ur（s）
（R1//
）
C1s
R2
C2s
1//（R
Ls）
Uc（s）
Cs
2
R2Ls
（c）
1
R1LCs2
Ur（s）
R1
//（R2
Ls）
（R1R2C
L）sR1R2
Cs
Uc（s）
1
（R
1）//R
R
C2s
C1s
（d）
1
1
1
1
1
Ur（s）
（R
（R
）//R
C2s
C1s
）//R
R
C1s
C2s
C1s
R
2CC
2
s2
2RC
1
s1
1
R
2CC
2
s2
（2RCRC
2
）s1
1
1
2.6求图（题图2.6）所示两系统的微分方程。
题图2.6
解
（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有
即
（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有
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......
其中
2.7求图（题图2.7）所示机械系统的微分方程。
图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J
为转动惯量。
圆周半径为
，设系统输入为M（即Mt
），输出为（即
），
R
（）
题图2.7
解：
分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
消除中间变量x，即可得到系统动力学方程
+k（c）
2.8求图（题图2.8）所示系统的传递函数（f（t）为输入，y2（t）为输出）。
解分别对，进行受力分析，列写其动力学方程有
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......
对上两式分别进行拉氏变换有
消除得
2.9若系统传递函数方框图如图（题图2.9）所示,求：
（1）以R（s）为输入，当N（s）=0时，分别以C（s），Y（s），B（s），E（s）为输出的闭环传递
函数。
（2）以N（s）为输入，当R（s）=0时，分别以C（s），Y（s），B（s），E（s）为输出的闭环传递函
数。
（3）比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。
题图2.8题图2.9
解
（1）以为输入，当N（）=0时：
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......
若以C（）为输出，有
若以Y（）为输出，有
若以B（）为输出，有
若以E（）为输出，有
（2）以为输入，当R（）=0时：
若以C（）为输出，有
若以Y（）为输出，有
若以B（）为输出，有
若以E（）为输出，有
（3）从上可知：
对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。
2.10求出图（题图2.10）所示系统的传递函数Xo（S）/Xi（S）。
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题图2.10
H4G4
-
X0（s）
G1
2
3
4
G
G
G
-
+
H1
-
H3
-
H3G4
H4G4
-
X0（s）
Xi（s）
-
G1
G
G
+
G
2
3
4
+
+
H1
H3-H3G4
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....
H4G4
G1
G
-
G
3
2
-
+
H1
-
H3
-
H3G4
Xi（s）
G
G
3
G2
-
1
1+G3G4H4
-
-
-
H1
H3-H3G4
Xi（s）
GG
G
1
2
3
-
1+G3G4H4
-G2G3H3
-
H3-H3G4
解方法一：
利用公式（2.3.1），可得
方法二：
利用方框图简化规则，有图（题2.16.b）
..
X0（s）
G4
X0（s）
G4
X0（s）
G4
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......
2.11求出图（题图2.11）所示系统的传递函数Xo（S）/Xi（S）。
解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b）
题图2.11
G
4
GGG
1
3
5
Xi（s）
X0（s）
G4
+
+
-
+
G4
H3
Xi（s）
X0（s）
G1G2G3
G4+G1G2G3
-
1+G1G2G3H3H4
G1G2G3
H3
2.12图（题图2.12）所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。
m1代表汽车质量，B代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。
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题图2.12
问题2质点振动系统。
这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。
代表汽车质量，
B代表振动阻尼器，为弹簧，为轮子的质量，为轮
胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。
解答：
拉氏变换：
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2.13液压阻尼器原理如图（题图2.13）所示。
其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的
惯性力，且设xi为输入位移，xo为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出与
输入之间的传递函数。
Xt
X0
k
题图2.13
解：
1）求系统的传递函数活塞的力平衡方程式为
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..
..
..
kxo（t）
d
xo（t）]
c[xi（t）
dt
经拉氏变换后有
kXo（s）cs[Xi（s）Xo（s）]
解得传递函数为
Xo（s）
Ts
G（s）
Ts1
Xi（s）
式中，T
RC为时间常数。
2.14由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图
（题图
2.14）所示，试求闭环传递函数
Uc（s）/Ur（s）
C1
R1
C2
R2
u
R0
R0
R0
U
—K
—K
—K
R0
题图2.14
解：
式
（1）
（2）（3）左右两边分别相乘得
即
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......
所以：
2.15某位置随动系统原理方块图如图（题图2.15）所示。
已知电位器最大工作角度
max3300，功率放大级放大系数为K3，要求：
（1）分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；
（2）画出系统结构图；
（3）简化结构图，求系统传递函数
o（s）/i（s）；
K0
θ
30k
20k
+15V-15V10k
10k
功放
+
—K1
K3
—K2
TG
10k
10k+
SM
K0
θ
+15V-15V
题图2.15位置随动系统原理图
解：
（1）=3=2
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（2）
系统结构图如下：
（3）系统传递函数
2.16设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图（题图2.16）所示，要求：
（1）分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；
（2）画出系统结构图（设可控电路传递函数为K2/（3s1）；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为K4和K5）；
（3）简化系统结构图，求系统传递函数（s）/Ui（s）。
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R
电流互感器
C1
C2
载
负
R1
R2
扼流圈
ω
UiR
R
+
—K
—K
Ua
SM
—
R
晶闸管电路
速度调节器
电流调节器
Uf
TG
题图2.16直流电动机调速系统原理图
解：
（1）速调
流调
（2）系统结构图如下
（3）简化结构图，求系统传递函数
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因为求系统传递函数，所以令，系统结构图如下：
所以：
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