答案 B
2.计算功的方法
4．如图5－1－18所示，一个物块在与水平方向成α角的恒力F作用下，沿水平面向右运动一段距离x，在此过程中，恒力F对物块所做的功为（ ）．
图5－1－18
A．
B．
C．FxsinαD．Fxcosα
解析 由于力F与位移x的夹角为α，所以力F做的功为W＝Fxcosα，故D正确．
答案 D
【例5】
如图甲所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ，现使斜面沿水平方向向左匀速移动距离l．求：
（1）摩擦力对物体所做的功．
（2）斜面弹力对物体所做的功．
（3）重力对物体所做的功．
解:
物体受力情况如图乙所示，由于物体相对斜面静止，且斜面又向左匀速运动距离l，所受力均是恒力，故可用W=Flcosα计算各个力的功．
由于物体做匀速运动，据平衡条件有
F1=mgcosθ，F2=mgsinθ.
由W=Flcosα得
（1）W1=F1lcos（90°-θ）=mglsinθcosθ;
（2）W2=F2lcos（180°-θ）=-mglsinθcosθ;
（3）W3=mglcos90°=0．
【例6】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h，空气的阻力大小恒为F，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（）
A．0B．－Fh
C．－2FhD．－4Fh
【解析】从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：
上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，
即
【答案】C
7．如图5-1-7所示，某个力F＝10N作用于半径为R＝lm的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为
A.0B.
J
C.10JD.
J
【解析】本题中F的大小不变，但方向时刻发生变化，属于变力做功的问题.可以考虑把圆周分割为很多的小段采研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致.
所求的总功为：
【答案】B
2.若F是位移l的线性函数时，先求平均值
，由
求其功.
例如:
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
解：
∴
或者采用图像法
【例题8】如图5-1-3在光滑的水平面上，物块在恒力F＝100Ｎ的作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳与滑轮的质量及绳、滑轮间的摩擦，Ｈ＝2.4ｍ，α＝37°，β＝53°，求绳的拉力对物体所做的功.
【解析】绳的拉力对物体来说是个变力（大小不变，方向改变），但分析发现，人拉绳却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子做的功来求绳对物体所做的功W=F·l=F（
）=100J
【答案】W=F·l=F（
）=100J
【例9】质量为m1．m2的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m的人站在m1上用恒力F拉绳子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为v1和v2，位移分别为1l和2l，如图所示．则这段时间内此人所做的功的大小等于
分析摩擦力做功:
不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功.
【11】物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图5-1-4所示，再把物块放到P点自由滑下则（ ）
A.物块将仍落在Q点
B.物块将会落在Q点的左边
C.物块将会落在Q点的右边
D.物块有可能落不到地面上
12．（2014·开封一中检测）如图5－1－21所示，木板质量为M，长度为L，小木块质量为m，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳跨过定滑轮分别与M和m连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的力将m拉至右端，拉力至少做功为（ ）．
图5－1－21
A．μmgLB．2μmgL
C．μmgL/2D．μ（M＋m）gL
解析 m缓慢运动至右端，拉力F做功最小，其中F＝μmg＋FT，FT＝μmg，小木块位移为
，所以WF＝F·
＝μmgL．
答案 A
第二部分功率
1.平均功率的计算
2.瞬时功率的计算
（1）利用公式P＝F·vcosα，其中v为t时刻的瞬时速度．
（2）利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
（3）利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．
【例1】一个质量为m的物体，从高度为h，长度为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，求物体到达斜面底端时重力做功的功率？
【解析】
本题所求重力做功的功率，应为瞬时功率P=mgvcosα，而速度v是沿着斜面向下的.如图5-2-1，设斜面的倾角为θ，根据
而α=（90°－θ），所以
【典例2】如图示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动,A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑,B做自由落体运动.两物体分别到达地面时,下列说法正确的是（ ）．
●拓展
3从空中以40m/s的初速度沿着水平方向抛出一个重为10N的物体，不计空气阻力，取g=10m/s2，求
（1）在抛出后3s内重力的功率.
（2）在抛出后3s时重力的功率（设3s时未落地）.
【解析】
（1）3s内的功率是指平均功率，3s内重力做功
，
（2）3s时的功率是指瞬时功率，应用
求解，结合平抛知识得
mg·gt=10×10×3=300W
二、机车的启动问题
.三个重要关系式
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即
（式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻）．
（2）机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：
Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．
【例4】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变.求：
①汽车所受阻力的大小.②3s末汽车的瞬时功率.③汽车做匀加速运动的时间。
④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功.
【解析】
①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出.以最大速度行驶时，根据P=Fv，可求得F=4000N.而此时牵引力和阻力大小相等.
②由于3s时的速度v=at=6m/s，而牵引力由F—Ff=ma得F=8000N，故此时的功率为P=Fv=4.8×104W.
③设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v=at=2t，这时汽车的功率为额定功率.由P=Fv，将F=8000N和v=2t代入得t=5s.
④匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所
做的功
【点拨】③中的时间，有的学生用v=at，得t=vm/a=10s，这是错误的.要注意，汽车不是一直匀加速到最大速度的.
●拓展
5汽车质量5t，额定功率为60kW，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的0.1倍，问：
（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
【解析】
（1）当汽车达到最大速度时，加速度a=0，此时
①
②
由①、②解得
（2）汽车作匀加速运动，故F牵-μmg=ma，解得F牵=7.5×103N
设汽车刚达到额定功率时的速度为v，则P=F牵·v，得v=8m/s
设汽车作匀加速运动的时间为t，则v=at
得t=16s
三、利用
求变力做功问题
如果汽车是以恒定功率起动，则牵引力是变力，发动机做功为变力做功，但抓住汽车的功率不变，由
可求汽车牵引力做的功.
☆易错门诊
【例6】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t前进距离s，速度达到最大值vm。
设此过程中发动机功率恒为P，卡车所受阻力为f，则这段时间内，发动机所做的功为（）
A．PtB．fsC．Pt－fsD．fvmt
【错解】功W=FS,卡车达到最大速度时,牵引力等于阻力,故选B.
【错因】学生错误的主要原因是不清楚发动机的牵引力是变力,不能直接用功的计算公式.
【正解】发动机所做的功是指牵引力的功.由于卡车以恒定功率运动，所以发动机所做的功应等于发动机的功率乘以卡车行驶的时间，∴A对.B项给出的是卡车克服阻力做的功，在这段时间内，牵引力的功不等于克服阻力做功，∴B错.C项给出的是卡车所受外力的总功.D项中，卡车以恒定功率前进，将做加速度逐渐减小的加速运动，达到最大速度时牵引力等于阻力，阻力f乘以最大速度vm是发动机的功率，再乘以t恰是发动机在t时间内做的功.故AD是正确的.
【典例7】某汽车发动机的额定功率为60kW,汽车质量为5t,汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍．（g取10m/s2）
（1）若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？
当汽车速度达到5m/s时，其加速度是多少？
（2）若汽车以恒定加速度0.5m/s2启动,其匀加速过程能维持时间多长？
解析
（1）当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，此时牵引力与阻力相等，故最大速度为
vm＝
＝
＝
m/s＝12m/s
由P＝F1v，F1－Ff＝ma，得速度v＝5m/s时的加速度为
a＝
＝
－
＝
m/s2＝1.4m/s2
（2）当汽车以a′＝0.5m/s2的加速度启动时，匀加速运动所能达到的最大速度为
vm′＝
＝
＝
m/s＝8m/s
由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足vm′＝a′t
故匀加速过程能维持的时间t＝
＝
s＝16s.
答案
（1）12m/s 1.4m/s2
（2）16s
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