中央电大离散数学本科考试试题.docx

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中央电大离散数学本科考试试题

中央电大离散数学（本科）考试试题

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1．若集合A1，2，B1，2，1，2，则下列表述正确的是a．

A．AABB．AB

C．AABD．AAB

2．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是d．

图一

A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的

C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的

G的邻接矩阵为

则G的边数为b．

A．B．C．D．．．．．c为重言式．

A．PQPQB．QPQQPQ

C．QPPPQD．PPQQ

1．若集合Aa，b，Ba，b，a，b，则（a）．

A．AB，且ABB．AB，但AB

C．AB，但ABD．AB，且AB

2．集合A1,2,3,4,5,6,7,8上的关系Rx，y|x+y10且x,yA，则R的性质为（b）．

A．自反的B．对称的

C．传递且对称的D．反自反且传递的

3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（b）个．

A．0B．2C．1D．3

4．如图一所示，以下说法正确的是d．

A．a,e是割边B．a,e是边割集

C．a,e,b,c是边割集D．d,e是边割集

图一

5．设A（x）：

x是人，B（x）：

x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（c）．

A．xAx∧BxB．┐xAx∧Bx

C．┐xAx→BxD．┐xAx∧┐Bx

1．设Aa,b，B1,2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1a，2,b，2，R2a，1,a，2,b，1，R3a，1,b，2，则（b）不是从A到B的函数．

A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R3

2．设A1,2,3,4,5,6,7,8，R是A上的整除关系，B2,4,6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为b．

A．8、2、8、2B．无、2、无、2

C．6、2、6、2D．8、1、6、1

3．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（a）．

A．1024B．10C．100D．1

4．设完全图K有n个结点n≥2，m条边，当（c）时，K中存在欧拉回路．

A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数

5．已知图G的邻接矩阵为

，

则G有（d）．

A．5点，8边B．6点，7边

C．6点，8边D．5点，7边

1．若集合A＝a，a，，则下列表述正确的是c．

A．aaAB．A

C．aAD．AV，则下列结论成立的是c．

A．degv2EB．degvE

C．D．

3．命题公式（P∨Q）→R的析取范式是d

A．（P∨Q）∨RB．（P∧Q）∨R

C．（P∨Q）∨RD．（P∧Q）∨R

4．如图一所示，以下说法正确的是a．

A．e是割点B．a,e是点割集

C．b,e是点割集D．d是点割集

5．下列等价公式成立的为b．

A．PQPQB．PQPPPQ

C．PQQPQD．PQQ

1．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是d．

A．B．C．D．,2,3,4上的关系Rx，y|xy且x,yA，则R的性质为（c）．

A．不是自反的B．不是对称的

C．传递的D．反自反

3．设集合A1，2，3，4，5，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集A，上的元素5是集合A的（b）．

A．最大元B．极大元C．最小元D．极小元

4．图G如图一所示，以下说法正确的是c．

A．a,d是割边B．a,d是边割集

C．a,d,b,d是边割集D．b,d是边割集

图一

5．设A（x）：

x是人，B（x）：

x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（a）．

A．xAx∧BxB．xAx∧Bx

C．┐xAx→BxD．┐xAx∧┐Bx

1．若集合A＝a，a，则下列表述正确的是a．

A．aAB．aA

C．aaAD．AP∨Q）的合取范式是c

A．（P∧Q）B．（P∧Q）∨（P∨Q）

C．（P∨Q）D．（P∧Q）

3．无向树T有8个结点，则T的边数为b．

A．．．．

图一

5．下列公式成立的为d．

A．P∧QP∨QB．PQPQ

C．PPD．PQ

1．“小于5的非负整数集合”采用描述法表示为___a___．

A．xxN,x5B．xxR,x5

C．xxZ,x5D．xxQ,x5

2．设R1，R2是集合Aa,b,c,d上的两个关系，其中R1a,a,b,b,b,c,d,d，R2a,a,b,b,b,c,c,b,d,d，则R2是R1的__b____闭包．

A．自反B．对称

C．传递D．以上答案都不对

3．设函数f：

R→R，fa2a+1；g：

R→R，gaa2，则___c___有反函数．

A．fgB．gf

C．fD．g

4．已知图G的邻接矩阵为，则图G有___d___．

A．5点，8边B．6点，7边

C．6点，8边D．5点7边

5．无向完全图K4是___a___．

A．汉密尔顿图B．欧拉图

C．非平面图D．树

6．在5个结点的完全二叉树中，若有4条边，则有___b___片树叶．

A．2B．3

C．4D．5

7．无向树T有7片树叶，3个3度结点，其余的都是4度结点，则T有__c___个4度结点．

A．3B．2

C．1D．0

8．与命题公式P（QR）等值的公式是PQRB．PQR

C．PQRD．PQR

9．谓词公式中量词x的辖域是B．

C．PxD．

10．谓词公式的类型是蕴涵式永假式永真式非永真的可满足式B．

C．D．

2．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为___b___．

A．1000B．1024

C．1D．10

3．设集合A1,2，Ba,b，C，则__c____．

A．1,a,,1,b,,2,a,,2,b,

B．1,a,,1,b,,2,a,,2,b,

C．1,a,,1,b,,2,a,,2,b,

D．1,2,a,b,

4．设A1,2,3,4,5,6,7,8，R是A上的整除关系，B2,4,6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为___d___．

A．8、1、6、1B．8、2、8、2

C．6、2、6、2D．无、2、无、2

5．有5个结点的无向完全图K5的边数为___a___．

A．10B．20

C．5D．25

6．设完全图K有n个结点n≥2，m条边，当___b___时，K中存在欧拉回路．

A．n为偶数B．n为奇数

C．m为偶数D．m为奇数

7．一棵无向树T有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，则T有__c___个顶点．

A．3B．8

C．11D．13

8．命题公式（P∨Q）→R的析取范式是___b___．

A．（P∧Q）∨RB．（P∨Q）∨R

C．（P∧Q）∨RD．（P∨Q）∨R

9．下列等价公式成立的是___b___．

A．PQPQB．PQPPPQ

C．PPQQD．QPQQPQ

10．谓词公式的类型是蕴涵式永假式永真式非永真的可满足式

6．命题公式的真值是　T（或1）　．

7．若图GV,E中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．

8．给定一个序列集合000，001，01，10，0，若去掉其中的元素0，则该序列集合构成前缀码．

9．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为5．

10．xPx→Qx∨Rx，y中的变元Rx，yA的元素个数为10，则其幂集的元素个数为　1024．

7．设Aa，b，c，B1，2，作f：

A→B，则不同的函数个数为8．

8．若A1,2，Rx,y|xA,yA,x+y10，则R的自反闭包为1,1,2,2．

9．结点数v与边数e满足ev-1关系的无向连通图就是树．

6．设集合A＝a，b，A的幂集是,a,b,a,b．

7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有2个．

8．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．

9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为3．

10．设个体域D＝a,b，则谓词公式xAx∧（x）B（x）消去量词后的等值式为Aa∧Ab∧B（a）∨B（b）．

6．设集合A0,1,2,3，B2,3,4,5，R是A到B的二元关系，

则R的有序对集合为2,2，2,3，3,2，3,3．

7．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式v-e+r2．

8．设G＝V,E是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去3条边，可以确定图G的一棵生成树．

9．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数

10．设个体域D＝1,2，则谓词公式消去量词后的等值式为A1A2

6．命题公式的真值是　T（或1）　．

7．若图GV,E中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．

8．给定一个序列集合000，001，01，10，0，若去掉其中的元素0，则该序列集合构成前缀码．

9．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为5．

10．xPx→Qx∨Rx，y中的变元Rx，yA的元素个数为10，则其幂集的元素个数为　1024．

7．设Aa，b，c，B1，2，作f：

A→B，则不同的函数个数为8．

8．若A1,2，Rx,y|xA,yA,x+y10，则R的自反闭包为1,1,2,2．

9．结点数v与边数e满足ev-1关系的无向连通图就是树．

10．设个体域D＝a,b,c，则谓词公式xAx消去量词后的等值式为Aa∧Ab∧A（c）

6．若集合A1，3，5，7，B2，4，6，8，则A∩B空集（或）．

7．设集合上的函数分别为：

f

10．设个体域D＝1,2,3，Px为“x小于2”，则谓词公式xPx的真值为假（或F，或0）

则R的有序对集合为2,2，2,3，2,4，3,3，3,4，4,4

7．如果R是非空集合A上的等价关系，aA，bA，则可推知R中至少包含a,a，b,b等元素．

8．设G＝V,E是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G中删去5条边，可以确定图G的一棵生成树．

9．设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则m等于n+k2

10．设个体域D＝1,2，Ax为“x大于1”，则谓词公式的真值为真（或T，或1）

11．设A1,2,3，用列举法出A上的恒等关系IA，全关系EAIA__IA1,1,2,2,3,3；

EA1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3

12．设集合A＝a，b，A的幂集是,a,b,a,b

13．设集合A1,2,3，Ba,b，从A到B的两个二元关系R1,a,2,b,

3,a，S1,a,2,a,3,a，则R-S_R-S2,b．

14．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式v-e+r2．

15．无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是结点度数均为偶数．

16．设G＝V,E是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去3条边，可以确定图G的一棵生成树．

17．设G是完全二叉树，G有15个结点，其中有8个是树叶，则G有____14___条边，G的总度数是___28_____，G的分支点数是____7____．

18．设P，Q的真值为1，R，S的真值为0，则命题公式的真值为___0_____．

19．命题公式的合取范式为析取范式为

20．设个体域为整数集，公式真值为设A1,2,3,4，B3,4,5,6，则：

___3,4_____，_____1,2,3,4,5,6_____．

12．设集合A有n个元素，那么A的幂集合PA的元素个数为．

13．设集合A,b,c,d，Bx,y,z，Ra,x,a,z,b,y,c,z,d,y

则关系矩阵MR＝设集合A,b,c,d,e，A上的二元关系Ra,b,c,d,b,b，Sd,b,

b,e,c,a，则R?

?

SG的结点数为5，边数为6，则面数为3．

17．设正则二叉树有n个分支点，且内部通路长度总和为I，外部通路长度总和为E，则有E___I+2n

18．设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则命题公式的真值为_____1___．

19．已知命题公式为G＝PQR则命题公式G的析取范式是PQRxPx→Qx∨Rx，y中的约束变元

11．．．．．11．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．

设P：

他去学校，（1分）

P．（4分）

12．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

设P：

他去旅游，Q：

他有时间，（1分）

PQ．（4分）

13．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．

设Px：

x是人，Qx：

x学习努力，（1分）

（x）PxQx．（3分）

11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．

设P：

他接受了这个任务，Q：

他完成好了这个任务，（2分）

PQ．（6分）

12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．

设P：

今天下雨，（2分）

P．（6分）

11．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．

设P：

他是学生，（2分）

则命题公式为：

P．（6分）

12．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．

设P：

明天下雨，Q：

我们就去郊游，（2分）

则命题公式为：

PQ．（6分）

11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．

设P：

今天考试，Q：

明天放假．（2分）

则命题公式为：

P∧Q．（6分）

12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．

设P：

我去旅游，Q：

我有时间，（2分）

则命题公式为：

PQ．（6分）

⑴将语句“如果明天不下雨，我们就去春游．”翻译成命题公式．

⑵将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．

⑴设命题P表示“明天下雨”，命题Q表示“我们就去春游”.

则原语句可以表示成命题公式P→Q.（5分）

⑵设Px：

x是人，Qx：

x去上课

则原语句可以表示成谓词公式xPxQx．

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．

正确．（3分）

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，

如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）

如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，

也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）

15．若偏序集A，R的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．

正确．（3分）

对于集合A的任意元素x，均有x,aR（或xRa），所以a是集合A中的最大元．（5分）

14．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2是自反的．

正确．（3分）

R1和R2是自反的，xA，x,xR1，x,xR2，

则x,xR1R2，

所以R1∪R2是自反的．（7分）

15．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．

正确．（3分）

因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．（7分）

14．设N、R分别为自然数集与实数集，f：

N→R，fxx+6，则f是单射．

正确．（3分）

设x1，x2为自然数且x1x2，则有fx1x1+6x2+6fx2，故f为单射．（7分）

15．设G是一个有6个结点14条边的连通图，则G为平面图．

错误．（3分）

不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”

13．下面的推理是否正确，试予以说明．

1（x）F（x）→G（x）前提引入

2F（y）→G（y）US

（1）．

错误．（3分）

（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）

14．若偏序集A，R的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．

错误．（3分）

集合A的最大元不存在，a是极大元．（7分）

13．下面的推理是否正确，试予以说明．

1（x）F（x）→G（x）前提引入

2F（y）→G（y）US

（1）．

错误．（3分）

（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）

14．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．

错误．（3分）

因为图G为中包含度数为奇数的结点．（7分）

13．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G是欧拉图．

错误．（3分）

当图G不连通时图G不为欧拉图．（7分）

14．若偏序集A，R的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元是f．

图二

错误．（3分）

集合A的最大元与最小元不存在，

a是极大元，f是极小元，．

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

16．设集合A1，2，3，4，Rx,y|x,yA；|xy|1或xy0，试

（1）写出R的有序对表示；

（2）画出R的关系图；

（3）说明R满足自反性，不满足传递性．

（1）R1,1,2,2,3,3,4,4,1,2,2,1,2,3,3,2,3,4,4,3（3分）

（2）关系图为

（6分）

（3）因为1,1,2,2,3,3,4,4均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。

（9分）

因有2,3与3,4属于R，但2,4不属于R，所以R在A上不是传递的。

17．求PQR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

P→（R∨Q）

┐P∨R∨Q

┐P∨Q∨R（析取、合取、主合取范式）（9分）

┐P∧┐Q∧┐R∨┐P∧┐Q∧R∨┐P∧Q∧R∨P∧┐Q∧┐R

∨P∧┐Q∧R∨P∧Q∧┐R∨P∧Q∧R（主析取范式）（12分）

18．设图GV，E，Vv1，v2，v3，v4，v5，Ev1,v2，v1,v3，v2,v3，v2,v4，v3,v4，v3,v5，v4,v5，试

画出G的图形表示；

写出其邻接矩阵；

3求出每个结点的度数；

4画出图G的补图的图形．

（1）关系图

（3分）

（2）邻接矩阵

（6分）

（3）degv12

degv23

degv34

degv43

degv52（9分）

（4）补图

16．设谓词公式，试

（1）写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

（1）x量词的辖域为，（2分）

z量词的辖域为,（4分）

y量词的辖域为．（6分）

（2）自由变元为与中的y，以及中的z

约束变元为x与中的z，以及中的y．（12分）

17．设A1,2,1,2，B1,2,1,2，试计算

（1）（AB）；

（2）（A∩B）；（3）A×B．

（1）AB1,2（4分）

（2）A∩B1,2（8分）

（3）A×B1,1，1,2，1,1,2，2,1，2,2，

2,1,2，1,1，1,2，1,1,2，2,1，2,2,

2,1,2

18．设GV，E，Vv1，v2，v3，v4，v5，Ev1,v3，v2,v3，v2,v4，v3,v4，v3,v5，v4,v5，试

（1）给出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．

1）G的图形表示为：

（3分）

（2）邻接矩阵：

（6分）

（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2（9分）

（4）补图如下：

16．试求出（P∨Q）→R的析取范式，合取范式，主合取范式．

（P∨Q）→R┐P∨Q∨R┐P∧┐Q∨R（析取范式）（3分）

┐P∨R∧┐Q∨R（合取范式）（6分）

┐P∨R∨Q∧┐Q∧┐Q∨R∨P∧┐P

┐P∨R∨Q∧┐P∨R∨┐Q∧┐Q∨R∨P

∧┐Q∨R∨┐P

┐P∨Q∨R∧┐P∨┐Q∨R∧P∨┐Q∨R

（主合取范式）（12分）

17．设Aa,b,1,2，Ba,b,1,1，试计算

（1）（AB）

（2）（A∪B）（3）（A∪B）（A∩B）．

（1）（AB）a,b,2（4分）

（2）（A∪B）a,b,1,2,a,b,1（8分）

（3）（A∪B）（A∩B）a,b,2,a,b,1（12分）

18．图GV,E，其中Va,b,c,d,e，Ea,b,a,c,a,e,b,d,b,e,c,e,c,d,d,e，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

（1）G的图形表示为：

（3分）

（2）邻接矩阵：

（3）粗线表示最小的生成树，

（10分）

权为7：

（12