中央电大离散数学本科考试试题.docx
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中央电大离散数学本科考试试题
中央电大离散数学(本科)考试试题
一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
1.若集合A1,2,B1,2,1,2,则下列表述正确的是a.
A.AABB.AB
C.AABD.AAB
2.设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图一所示,则下列结论成立的是d.
图一
A.(a)是强连通的B.(b)是强连通的
C.(c)是强连通的D.(d)是强连通的
G的邻接矩阵为
则G的边数为b.
A.B.C.D.....c为重言式.
A.PQPQB.QPQQPQ
C.QPPPQD.PPQQ
1.若集合Aa,b,Ba,b,a,b,则(a).
A.AB,且ABB.AB,但AB
C.AB,但ABD.AB,且AB
2.集合A1,2,3,4,5,6,7,8上的关系Rx,y|x+y10且x,yA,则R的性质为(b).
A.自反的B.对称的
C.传递且对称的D.反自反且传递的
3.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有(b)个.
A.0B.2C.1D.3
4.如图一所示,以下说法正确的是d.
A.a,e是割边B.a,e是边割集
C.a,e,b,c是边割集D.d,e是边割集
图一
5.设A(x):
x是人,B(x):
x是学生,则命题“不是所有人都是学生”可符号化为(c).
A.xAx∧BxB.┐xAx∧Bx
C.┐xAx→BxD.┐xAx∧┐Bx
1.设Aa,b,B1,2,R1,R2,R3是A到B的二元关系,且R1a,2,b,2,R2a,1,a,2,b,1,R3a,1,b,2,则(b)不是从A到B的函数.
A.R1和R2B.R2C.R3D.R1和R3
2.设A1,2,3,4,5,6,7,8,R是A上的整除关系,B2,4,6,则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为b.
A.8、2、8、2B.无、2、无、2
C.6、2、6、2D.8、1、6、1
3.若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为(a).
A.1024B.10C.100D.1
4.设完全图K有n个结点n≥2,m条边,当(c)时,K中存在欧拉回路.
A.m为奇数B.n为偶数C.n为奇数D.m为偶数
5.已知图G的邻接矩阵为
,
则G有(d).
A.5点,8边B.6点,7边
C.6点,8边D.5点,7边
1.若集合A=a,a,,则下列表述正确的是c.
A.aaAB.A
C.aAD.AV,则下列结论成立的是c.
A.degv2EB.degvE
C.D.
3.命题公式(P∨Q)→R的析取范式是d
A.(P∨Q)∨RB.(P∧Q)∨R
C.(P∨Q)∨RD.(P∧Q)∨R
4.如图一所示,以下说法正确的是a.
A.e是割点B.a,e是点割集
C.b,e是点割集D.d是点割集
5.下列等价公式成立的为b.
A.PQPQB.PQPPPQ
C.PQQPQD.PQQ
1.若G是一个汉密尔顿图,则G一定是d.
A.B.C.D.,2,3,4上的关系Rx,y|xy且x,yA,则R的性质为(c).
A.不是自反的B.不是对称的
C.传递的D.反自反
3.设集合A1,2,3,4,5,偏序关系是A上的整除关系,则偏序集A,上的元素5是集合A的(b).
A.最大元B.极大元C.最小元D.极小元
4.图G如图一所示,以下说法正确的是c.
A.a,d是割边B.a,d是边割集
C.a,d,b,d是边割集D.b,d是边割集
图一
5.设A(x):
x是人,B(x):
x是工人,则命题“有人是工人”可符号化为(a).
A.xAx∧BxB.xAx∧Bx
C.┐xAx→BxD.┐xAx∧┐Bx
1.若集合A=a,a,则下列表述正确的是a.
A.aAB.aA
C.aaAD.AP∨Q)的合取范式是c
A.(P∧Q)B.(P∧Q)∨(P∨Q)
C.(P∨Q)D.(P∧Q)
3.无向树T有8个结点,则T的边数为b.
A....
图一
5.下列公式成立的为d.
A.P∧QP∨QB.PQPQ
C.PPD.PQ
1.“小于5的非负整数集合”采用描述法表示为___a___.
A.xxN,x5B.xxR,x5
C.xxZ,x5D.xxQ,x5
2.设R1,R2是集合Aa,b,c,d上的两个关系,其中R1a,a,b,b,b,c,d,d,R2a,a,b,b,b,c,c,b,d,d,则R2是R1的__b____闭包.
A.自反B.对称
C.传递D.以上答案都不对
3.设函数f:
R→R,fa2a+1;g:
R→R,gaa2,则___c___有反函数.
A.fgB.gf
C.fD.g
4.已知图G的邻接矩阵为,则图G有___d___.
A.5点,8边B.6点,7边
C.6点,8边D.5点7边
5.无向完全图K4是___a___.
A.汉密尔顿图B.欧拉图
C.非平面图D.树
6.在5个结点的完全二叉树中,若有4条边,则有___b___片树叶.
A.2B.3
C.4D.5
7.无向树T有7片树叶,3个3度结点,其余的都是4度结点,则T有__c___个4度结点.
A.3B.2
C.1D.0
8.与命题公式P(QR)等值的公式是PQRB.PQR
C.PQRD.PQR
9.谓词公式中量词x的辖域是B.
C.PxD.
10.谓词公式的类型是蕴涵式永假式永真式非永真的可满足式B.
C.D.
2.若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为___b___.
A.1000B.1024
C.1D.10
3.设集合A1,2,Ba,b,C,则__c____.
A.1,a,,1,b,,2,a,,2,b,
B.1,a,,1,b,,2,a,,2,b,
C.1,a,,1,b,,2,a,,2,b,
D.1,2,a,b,
4.设A1,2,3,4,5,6,7,8,R是A上的整除关系,B2,4,6,则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为___d___.
A.8、1、6、1B.8、2、8、2
C.6、2、6、2D.无、2、无、2
5.有5个结点的无向完全图K5的边数为___a___.
A.10B.20
C.5D.25
6.设完全图K有n个结点n≥2,m条边,当___b___时,K中存在欧拉回路.
A.n为偶数B.n为奇数
C.m为偶数D.m为奇数
7.一棵无向树T有5片树叶,3个2度分支点,其余的分支点都是3度顶点,则T有__c___个顶点.
A.3B.8
C.11D.13
8.命题公式(P∨Q)→R的析取范式是___b___.
A.(P∧Q)∨RB.(P∨Q)∨R
C.(P∧Q)∨RD.(P∨Q)∨R
9.下列等价公式成立的是___b___.
A.PQPQB.PQPPPQ
C.PPQQD.QPQQPQ
10.谓词公式的类型是蕴涵式永假式永真式非永真的可满足式
6.命题公式的真值是 T(或1) .
7.若图GV,E中具有一条汉密尔顿回路,则对于结点集V的每个非空子集S,在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W,则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|.
8.给定一个序列集合000,001,01,10,0,若去掉其中的元素0,则该序列集合构成前缀码.
9.已知一棵无向树T中有8个结点,4度,3度,2度的分支点各一个,T的树叶数为5.
10.xPx→Qx∨Rx,y中的变元Rx,yA的元素个数为10,则其幂集的元素个数为 1024.
7.设Aa,b,c,B1,2,作f:
A→B,则不同的函数个数为8.
8.若A1,2,Rx,y|xA,yA,x+y10,则R的自反闭包为1,1,2,2.
9.结点数v与边数e满足ev-1关系的无向连通图就是树.
6.设集合A=a,b,A的幂集是,a,b,a,b.
7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有2个.
8.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树.
9.设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为3.
10.设个体域D=a,b,则谓词公式xAx∧(x)B(x)消去量词后的等值式为Aa∧Ab∧B(a)∨B(b).
6.设集合A0,1,2,3,B2,3,4,5,R是A到B的二元关系,
则R的有序对集合为2,2,2,3,3,2,3,3.
7.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,则v,e和r满足的关系式v-e+r2.
8.设G=V,E是有6个结点,8条边的连通图,则从G中删去3条边,可以确定图G的一棵生成树.
9.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数
10.设个体域D=1,2,则谓词公式消去量词后的等值式为A1A2
6.命题公式的真值是 T(或1) .
7.若图GV,E中具有一条汉密尔顿回路,则对于结点集V的每个非空子集S,在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W,则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|.
8.给定一个序列集合000,001,01,10,0,若去掉其中的元素0,则该序列集合构成前缀码.
9.已知一棵无向树T中有8个结点,4度,3度,2度的分支点各一个,T的树叶数为5.
10.xPx→Qx∨Rx,y中的变元Rx,yA的元素个数为10,则其幂集的元素个数为 1024.
7.设Aa,b,c,B1,2,作f:
A→B,则不同的函数个数为8.
8.若A1,2,Rx,y|xA,yA,x+y10,则R的自反闭包为1,1,2,2.
9.结点数v与边数e满足ev-1关系的无向连通图就是树.
10.设个体域D=a,b,c,则谓词公式xAx消去量词后的等值式为Aa∧Ab∧A(c)
6.若集合A1,3,5,7,B2,4,6,8,则A∩B空集(或).
7.设集合上的函数分别为:
f
10.设个体域D=1,2,3,Px为“x小于2”,则谓词公式xPx的真值为假(或F,或0)
则R的有序对集合为2,2,2,3,2,4,3,3,3,4,4,4
7.如果R是非空集合A上的等价关系,aA,bA,则可推知R中至少包含a,a,b,b等元素.
8.设G=V,E是有4个结点,8条边的无向连通图,则从G中删去5条边,可以确定图G的一棵生成树.
9.设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图,则m等于n+k2
10.设个体域D=1,2,Ax为“x大于1”,则谓词公式的真值为真(或T,或1)
11.设A1,2,3,用列举法出A上的恒等关系IA,全关系EAIA__IA1,1,2,2,3,3;
EA1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3
12.设集合A=a,b,A的幂集是,a,b,a,b
13.设集合A1,2,3,Ba,b,从A到B的两个二元关系R1,a,2,b,
3,a,S1,a,2,a,3,a,则R-S_R-S2,b.
14.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,则v,e和r满足的关系式v-e+r2.
15.无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是结点度数均为偶数.
16.设G=V,E是有6个结点,8条边的连通图,则从G中删去3条边,可以确定图G的一棵生成树.
17.设G是完全二叉树,G有15个结点,其中有8个是树叶,则G有____14___条边,G的总度数是___28_____,G的分支点数是____7____.
18.设P,Q的真值为1,R,S的真值为0,则命题公式的真值为___0_____.
19.命题公式的合取范式为析取范式为
20.设个体域为整数集,公式真值为设A1,2,3,4,B3,4,5,6,则:
___3,4_____,_____1,2,3,4,5,6_____.
12.设集合A有n个元素,那么A的幂集合PA的元素个数为.
13.设集合A,b,c,d,Bx,y,z,Ra,x,a,z,b,y,c,z,d,y
则关系矩阵MR=设集合A,b,c,d,e,A上的二元关系Ra,b,c,d,b,b,Sd,b,
b,e,c,a,则R?
?
SG的结点数为5,边数为6,则面数为3.
17.设正则二叉树有n个分支点,且内部通路长度总和为I,外部通路长度总和为E,则有E___I+2n
18.设P,Q的真值为0,R,S的真值为1,则命题公式的真值为_____1___.
19.已知命题公式为G=PQR则命题公式G的析取范式是PQRxPx→Qx∨Rx,y中的约束变元
11.....11.将语句“他不去学校.”翻译成命题公式.
设P:
他去学校,(1分)
P.(4分)
12.将语句“他去旅游,仅当他有时间.”翻译成命题公式.
设P:
他去旅游,Q:
他有时间,(1分)
PQ.(4分)
13.将语句“所有的人都学习努力.”翻译成命题公式.
设Px:
x是人,Qx:
x学习努力,(1分)
(x)PxQx.(3分)
11.将语句“尽管他接受了这个任务,但他没有完成好.”翻译成命题公式.
设P:
他接受了这个任务,Q:
他完成好了这个任务,(2分)
PQ.(6分)
12.将语句“今天没有下雨.”翻译成命题公式.
设P:
今天下雨,(2分)
P.(6分)
11.将语句“他是学生.”翻译成命题公式.
设P:
他是学生,(2分)
则命题公式为:
P.(6分)
12.将语句“如果明天不下雨,我们就去郊游.”翻译成命题公式.
设P:
明天下雨,Q:
我们就去郊游,(2分)
则命题公式为:
PQ.(6分)
11.将语句“今天考试,明天放假.”翻译成命题公式.
设P:
今天考试,Q:
明天放假.(2分)
则命题公式为:
P∧Q.(6分)
12.将语句“我去旅游,仅当我有时间.”翻译成命题公式.
设P:
我去旅游,Q:
我有时间,(2分)
则命题公式为:
PQ.(6分)
⑴将语句“如果明天不下雨,我们就去春游.”翻译成命题公式.
⑵将语句“有人去上课.”翻译成谓词公式.
⑴设命题P表示“明天下雨”,命题Q表示“我们就去春游”.
则原语句可以表示成命题公式P→Q.(5分)
⑵设Px:
x是人,Qx:
x去上课
则原语句可以表示成谓词公式xPxQx.
四、判断说明题(每小题7分,本题共14分)
14.┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式.
正确.(3分)
┐P∧(P→┐Q)∨P是由┐P∧(P→┐Q)与P组成的析取式,
如果P的值为真,则┐P∧(P→┐Q)∨P为真,(5分)
如果P的值为假,则┐P与P→┐Q为真,即┐P∧(P→┐Q)为真,
也即┐P∧(P→┐Q)∨P为真,
所以┐P∧(P→┐Q)∨P是永真式.(7分)
15.若偏序集A,R的哈斯图如图一所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在.
正确.(3分)
对于集合A的任意元素x,均有x,aR(或xRa),所以a是集合A中的最大元.(5分)
14.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2是自反的.
正确.(3分)
R1和R2是自反的,xA,x,xR1,x,xR2,
则x,xR1R2,
所以R1∪R2是自反的.(7分)
15.如图二所示的图G存在一条欧拉回路.
正确.(3分)
因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数.(7分)
14.设N、R分别为自然数集与实数集,f:
N→R,fxx+6,则f是单射.
正确.(3分)
设x1,x2为自然数且x1x2,则有fx1x1+6x2+6fx2,故f为单射.(7分)
15.设G是一个有6个结点14条边的连通图,则G为平面图.
错误.(3分)
不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6.”
13.下面的推理是否正确,试予以说明.
1(x)F(x)→G(x)前提引入
2F(y)→G(y)US
(1).
错误.(3分)
(2)应为F(y)→G(x),换名时,约束变元与自由变元不能混淆.(7分)
14.若偏序集A,R的哈斯图如图二所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在.
错误.(3分)
集合A的最大元不存在,a是极大元.(7分)
13.下面的推理是否正确,试予以说明.
1(x)F(x)→G(x)前提引入
2F(y)→G(y)US
(1).
错误.(3分)
(2)应为F(y)→G(x),换名时,约束变元与自由变元不能混淆.(7分)
14.如图二所示的图G存在一条欧拉回路.
错误.(3分)
因为图G为中包含度数为奇数的结点.(7分)
13.如果图G是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G是欧拉图.
错误.(3分)
当图G不连通时图G不为欧拉图.(7分)
14.若偏序集A,R的哈斯图如图二所示,则集合A的最大元为a,最小元是f.
图二
错误.(3分)
集合A的最大元与最小元不存在,
a是极大元,f是极小元,.
五.计算题(每小题12分,本题共36分)
16.设集合A1,2,3,4,Rx,y|x,yA;|xy|1或xy0,试
(1)写出R的有序对表示;
(2)画出R的关系图;
(3)说明R满足自反性,不满足传递性.
(1)R1,1,2,2,3,3,4,4,1,2,2,1,2,3,3,2,3,4,4,3(3分)
(2)关系图为
(6分)
(3)因为1,1,2,2,3,3,4,4均属于R,即A的每个元素构成的有序对均在R中,故R在A上是自反的。
(9分)
因有2,3与3,4属于R,但2,4不属于R,所以R在A上不是传递的。
17.求PQR的析取范式,合取范式、主析取范式,主合取范式.
P→(R∨Q)
┐P∨R∨Q
┐P∨Q∨R(析取、合取、主合取范式)(9分)
┐P∧┐Q∧┐R∨┐P∧┐Q∧R∨┐P∧Q∧R∨P∧┐Q∧┐R
∨P∧┐Q∧R∨P∧Q∧┐R∨P∧Q∧R(主析取范式)(12分)
18.设图GV,E,Vv1,v2,v3,v4,v5,Ev1,v2,v1,v3,v2,v3,v2,v4,v3,v4,v3,v5,v4,v5,试
画出G的图形表示;
写出其邻接矩阵;
3求出每个结点的度数;
4画出图G的补图的图形.
(1)关系图
(3分)
(2)邻接矩阵
(6分)
(3)degv12
degv23
degv34
degv43
degv52(9分)
(4)补图
16.设谓词公式,试
(1)写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
(1)x量词的辖域为,(2分)
z量词的辖域为,(4分)
y量词的辖域为.(6分)
(2)自由变元为与中的y,以及中的z
约束变元为x与中的z,以及中的y.(12分)
17.设A1,2,1,2,B1,2,1,2,试计算
(1)(AB);
(2)(A∩B);(3)A×B.
(1)AB1,2(4分)
(2)A∩B1,2(8分)
(3)A×B1,1,1,2,1,1,2,2,1,2,2,
2,1,2,1,1,1,2,1,1,2,2,1,2,2,
2,1,2
18.设GV,E,Vv1,v2,v3,v4,v5,Ev1,v3,v2,v3,v2,v4,v3,v4,v3,v5,v4,v5,试
(1)给出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;
(3)求出每个结点的度数;(4)画出其补图的图形.
1)G的图形表示为:
(3分)
(2)邻接矩阵:
(6分)
(3)v1,v2,v3,v4,v5结点的度数依次为1,2,4,3,2(9分)
(4)补图如下:
16.试求出(P∨Q)→R的析取范式,合取范式,主合取范式.
(P∨Q)→R┐P∨Q∨R┐P∧┐Q∨R(析取范式)(3分)
┐P∨R∧┐Q∨R(合取范式)(6分)
┐P∨R∨Q∧┐Q∧┐Q∨R∨P∧┐P
┐P∨R∨Q∧┐P∨R∨┐Q∧┐Q∨R∨P
∧┐Q∨R∨┐P
┐P∨Q∨R∧┐P∨┐Q∨R∧P∨┐Q∨R
(主合取范式)(12分)
17.设Aa,b,1,2,Ba,b,1,1,试计算
(1)(AB)
(2)(A∪B)(3)(A∪B)(A∩B).
(1)(AB)a,b,2(4分)
(2)(A∪B)a,b,1,2,a,b,1(8分)
(3)(A∪B)(A∩B)a,b,2,a,b,1(12分)
18.图GV,E,其中Va,b,c,d,e,Ea,b,a,c,a,e,b,d,b,e,c,e,c,d,d,e,对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
(1)G的图形表示为:
(3分)
(2)邻接矩阵:
(3)粗线表示最小的生成树,
(10分)
权为7:
(12