匀速圆周运动典型例题.docx
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匀速圆周运动典型例题
【学习目标】
1.熟练处理水平面内的临界问题
2.掌握竖直面内的临界问题
【自主学习】
一．水平面内的圆周运动
例1：
如图8—1所示水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的
倍，求转盘转动的最大角速度是多大？
拓展：
如o点与物块连接一细线，求当①
1=
时，细线的拉力T
②
2=
时，细线的拉力T
图8—1
注：
分析物体恰能做圆周运动的受力特点是关键
二．竖直平面内圆周运动中的临界问题
物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
1．轻绳模型
①过最高点的临界条件：
由mg=
得
②过最高点时，
，
，绳子或轨道最小球产生弹力
，方向指向圆心。
③不过最高点时，
，在到达最高点前，小球已脱离了圆轨道。
2．轻杆模型
①过最高点的临界条件，小球能运动即可，v临＝0；
②当
时，
，FN为支持力，沿半径背离圆心；
③当
时，
，FN背离圆心，随v的增大而减小；
④当
时，FN=0；
⑤当
时，
，FN指向圆心并随v的增大而增大。
特别提醒：
1。
绳模型和竿模型通过最高点的临界条件不同，其圆心主要是：
“绳”不能支持物体，而“竿”既能支持物体，也能拉物体；
2．
对绳模型来说能否通过最高点的临界点，而对竿模型来说，是FN表现为支持力还是拉力的临界条件。
例题2：
如图4－3－6所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0m，MPQ是一半径为R＝1.6m的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下，质量m＝1kg的物体A由静止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？
（g取10m/s2）
练1：
一质量为m的金属小球拴在长为L的细线下端，细线上端固定在O点处，在悬点O的正下方P处钉有一光滑钉子，如图4－3－12所示.现将小球拉至悬线水平，然后释放.为使悬线碰到钉子后，小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动，则OP的最小距离是多少？
图4－3－12
例题3：
如图4－3－7所示，两绳系一个质量为m＝0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？
（g取10m/s2）
【规律总结】
（1）解决圆周运动临界问题的关键是找出临界条件，分析刚好由哪些力提供向心力，或速度刚好出现哪些临界条件．
（2）若ω<ω1时，哪根绳弯曲？
若ω>ω2时，哪根绳弯曲？
练2：
如图4－3－3所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O.现给球一初速度，使球和杆一起绕轴O在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ）
A．一定是拉力
B．一定是推力
C．一定等于0
D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
练3．如图4－3－8所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff＝2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（g取10m/s2）
第3．5节圆周运动的应用答案
例题2：
练1：
解析：
要使悬线碰钉后小球做完整的圆周运动，须使小球到达以P点为圆心的圆周最高点M，当刚能到达最高点M时，小球只受重力mg作用，此时悬线拉力为零，即有mg=m
，其中R为以P点为圆心的圆周的半径，vmin为小球到达M点的最小速度，而根据机械能守恒定律，有mg（L－2R）=
mvmin2
联立解得R=
L，此为小球以P点为圆心的最大半径，所以OP=L－R=
L为OP间的最小距离.
故OP段的最小距离是
L.
例题3：
解析】 两根绳张紧时，小球受力如图4－3－7所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现以下两个临界值．
（1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有F1sin30°＝mω12Lsin30°
F1cos30°＝mg
代入数据解得ω1＝2.4rad/s.
（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F2sin45°＝mω22LBCsin45°
F2cos45°＝mg
代入数据解得ω2＝3.16rad/s
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s.
【答案】 2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s
练2：
D
练3：
解析：
要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O.
对于B：
FT＝mg
对于A：
FT＋Ff＝Mrω12
或FT－Ff＝Mrω22
代入数据解得
ω1＝6.5rad/s，ω2＝2.9rad/s
所以2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s.
答案：
2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s
【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？
【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等．根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解．
【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系
ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．
因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比
ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．
因A轮边缘的线速度
vA=ωARA=2ωBRB=2vB，
所以A、B、C三轮边缘线速度之比
vA∶vB∶vC=2∶1∶1．
根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么
[]
A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心
B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心
C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同
D．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反
E．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力
【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力．
以木块为研究对象进行受力分析：
在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动．所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心
【答】B．
【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D．这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系．通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的．而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系．也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心
【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则
[]
A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大
B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小
C．当转台转速增加时，C最先发生滑动
D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动
【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC．
A错．
三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f=Fn=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
fA=mAω2rA=2mω2r，
fB=mBω2rB=mω2r，
fC=mcω2rc=mω2·2r=2mω2r．
即物体B所受静摩擦力最小．B正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg．由fm=Fn，即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于rC＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错．
【答】B、C．
【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m．长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2m／s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上．
若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？
【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变．
【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小．
令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为
【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性．通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义．对本题，还应该熟练掌握数列求和方法．
如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？
【例5】如图（a）所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？
若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。
由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。
【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有
T·sinθ-N·cosθ=mω2r①
y方向上应有
N·sinθ+T·cosθ-G=0②
∵r=L·sinθ③
由①、②、③式可得
T=mgcosθ+mω2Lsinθ
当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）
则有Tsinθ=mω2r④
T·cosθ-G=0⑤
【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。
【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？
【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。
当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。
只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。
【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律
【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动．若自行车以速度v转过半径为R的弯道．
（1）求自行车的倾角应多大？
（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？
【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜．从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向α角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心O，合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力．
【解】
（1）由图可知，向心力F=Mgtgα，由牛顿第二定律有：
（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即
f=Mgtgα
【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g＝10m·s-2）
（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A线刚好伸直且不受拉力．求此时角速度ω1．
（2）当O1A线所受力为100N时，求此时的角速度ω2．
【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同。
【解】
（1）当O2A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。
则F1cosθ=mg①
F1sinθ=mRω12②
由几何知识知
∴R=2.4mθ=37°
代入式③ω1=1.77（rad/s）
（2）当O1A受力为100N时，由
（1）式
F1cosθ=100×0.8=80（N）＞mg
由此知O2A受拉力F2。
则对A受力分析得
F1cosθ-F2sinθ-mg=0④
F1sinθ+F2cosθ=mRω22⑤
由式（4）（5）得
【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值．在这种题目中找好临界值是关键．
[例9]一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m，如图所示。
转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光束转动方向如图箭头所示。
当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？
（结果保留二位数字）
[分析]激光器扫描一周的时间T=60s，那么光束在△t=2.5s时间内转过的角度
激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。
当小车正向N点接近时，在△t内光束与MN的夹角由45°变为30°
随着θ减小，v扫在减小若45°时，光照在小车上，此时v扫＞v车时，此后光点将照到车前但v扫↓v车不变，当v车＞v扫时，它们的距离在缩小。
[解]在△t内，光束转过角度
如图，有两种可能
（1）光束照射小车时，小车正在接近N点，△t内光束与MN的夹角从45°变为30°，小车走过L1，速度应为
由图可知
L1=d（tg45°-tg30°）③
由②、③两式并代入数值，得
v1=1.7m/s④
（2）光束照到小车时，小车正在远离N点，△t内光束与MN的夹角从45°为60°，小车走过L2速度为
由图可知
L2=d（tg60°-tg45°）⑥
由⑤、⑥两代并代入数值，得
v2=2.9m/s
[说明]光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速度。
很多人把它理解为切向速度的分速度，即
则扫描速度不变化，就谈不上与小车的“追赶”了，将不可能发生经过一段时间，再照射小车的问题。
这一点速度的合成与分解应理解正确。
另外光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上有两种情况（见分析）要考虑周全，不要丢解。
[例10]图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒（图为其横截面），转轴的转速是每分钟n转，一颗子弹沿圆筒的水平直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从B点穿出，假设子弹穿壁时速度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出A、B两点间的孤长为L，写出子弹速度的表达式。
[分析]子弹穿过筒壁，子弹与筒壁发生相互作用，既影响筒的转速，又影响子弹飞行速度，因为这种影响忽略不讲，所以测出的子弹速度是近似值，子弹穿过圆筒的时间，可从圆筒的转速和转过的角度求了，为了求出子弹从A点穿入到从B点穿出时圆筒转过的角度，必须作出子弹穿筒过程中圆筒转动情景的图示，与孤长L对应的圆心角为θ，θ=L/R（rad）
解：
圆筒转过的角为（π-θ），圆筒的角速为ω，子弹速度为v，穿筒的时间为t，则：
π-θ=ωt，ω=2πn/60rad/s
[说明]
解题过程中，物理过程示意图，是常用的方法，它可以使抽象的物理过程具体形象化，便于从图中找出各物理量之间关系，以帮助建立物理方程，最后求出答案。
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