传统汽车与电动车的比较数学建模.docx

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传统汽车与电动车的比较数学建模

第五届华中地区大学生数学建模邀请赛

承诺书

我们仔细阅读了第五届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们的参赛报名号为：

9000007

参赛队员（签名）：

队员1：

徐杨

队员2：

龚碧

队员3：

于智勇

武汉工业与应用数学学会

第五届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会

第五届华中地区大学生数学建模邀请赛

编号专用页

选择的题号：

A

参赛的编号：

9000007

（以下内容参赛队伍不需要填写）

竞赛评阅编号：

第五届华中地区大学生数学建模邀请赛

题目：

不同动力汽车的模型评价

【摘要】

在现在的高科技条件下越来越多的新技术应用到汽车上,特别是汽车的动力系统的技术日新月异,为了节约能源,保护环境,建设节约型社会,用电力作为动力系统的汽车越来越多。

不仅现在有单独以电力作为动力的汽车，而且出现了电力燃油混合动力的汽车。

为了研究传统汽车、电动汽车和混合动力汽车的能量利用效率，使用费用以及经济效益，我们需要建立相关的模型，定量地衡量它们，从而科学详细地分析现在新动力汽车在能量利用率以及经济上的优势。

问题一：

根据现有的三类车辆的油耗电耗数据，建立相应的能耗模型，联系实际做出相应的问题解答。

问题二，从使用成本的角度建立三类车的使用成本模型，首先应该明确汽车使用成本所包含的范围，我们根据实际情况确定了汽车的使用成本主要包括汽车的维修和保养费用、保险费以及燃料花费。

汽车的维修费用因车而异难以确定，因此我们考虑是否可由这三类汽车的购买价格以及故障率进行实际数据的拟合得出，得出模型后经过和实际数据的对比发现和实际情况拟合得很好，然后问题的解答顺理成章。

问题三，实际是问题二的特殊情况，需要具体选取三类汽车，对其使用成本进行比较和分析，为了使比较结果更具有代表性，我们选取相同品牌的市场占有率较高的三款车型进行研究，然后结合实际情况就可以对三种动力方案进行评价，也可以反过来对我们所建立的模型进行评价。

问题四，这个问题与实际结合得最为紧密，要研究汽油价格对三种汽车市场份额的影响，首先影响消费者选择的因素主要有汽车的使用成本、汽车的购买费用和人们对这三类汽车的偏好程度，其中汽车的购买费用和人们对这三类汽车的偏好程度是一定的，汽油价格影响的是汽车的使用成本中的燃油费用，然后通过建立消费者的效用曲线模型最终得出这三类汽车购买量与汽油价格的关系曲线，通过分析这个购买量-价格曲线即可分析得出汽油价格对三种汽车市场份额的影响。

关键词：

汽车动力方式能量利用率使用成本效用曲线模型

一.摘要：

在现在的高科技条件下越来越多的新技术应用到汽车上,特别是汽车的动力系统的技术日新月异,为了节约能源,保护环境,建设节约型社会,用电力作为动力系统的汽车越来越多。

不仅现在有单独以电力作为动力的汽车，而且出现了电力燃油混合动力的汽车。

为了研究传统汽车、电动汽车和混合动力汽车的能量利用效率，使用费用以及经济效益，我们需要建立相关的模型，定量地衡量它们，从而科学详细地分析现在新动力汽车在能量利用率以及经济上的优势。

问题一：

根据现有的三类车辆的油耗电耗数据，建立相应的能耗模型，联系实际做出相应的问题解答。

问题二，从使用成本的角度建立三类车的使用成本模型，首先应该明确汽车使用成本所包含的范围，我们根据实际情况确定了汽车的使用成本主要包括汽车的维修和保养费用、保险费以及燃料花费。

汽车的维修费用因车而异难以确定，因此我们考虑是否可由这三类汽车的购买价格以及故障率进行实际数据的拟合得出，得出模型后经过和实际数据的对比发现和实际情况拟合得很好，然后问题的解答顺理成章。

问题三，实际是问题二的特殊情况，需要具体选取三类汽车，对其使用成本进行比较和分析，为了使比较结果更具有代表性，我们选取相同品牌的市场占有率较高的三款车型进行研究，然后结合实际情况就可以对三种动力方案进行评价，也可以反过来对我们所建立的模型进行评价。

问题四，这个问题与实际结合得最为紧密，要研究汽油价格对三种汽车市场份额的影响，首先影响消费者选择的因素主要有汽车的使用成本、汽车的购买费用和人们对这三类汽车的偏好程度，其中汽车的购买费用和人们对这三类汽车的偏好程度是一定的，汽油价格影响的是汽车的使用成本中的燃油费用，然后通过建立消费者的效用曲线模型最终得出这三类汽车购买量与汽油价格的关系曲线，通过分析这个购买量-价格曲线即可分析得出汽油价格对三种汽车市场份额的影响。

关键词：

汽车动力方式能量利用率使用成本效用曲线模型

二.问题的提出

随着时代的向前发展，汽车也逐渐趋于大众化，进入寻常百姓家。

人们普遍关注的就是汽车的性能和各种费用，汽车的类型在这一方面起着决定的作用。

而汽车又可以根据不同的划分标准分为不同的类型，比如说按动力来源来分可以分为以汽油为动力原料利用燃油发动机驱动汽车行驶的传统汽车，以车载电源

（蓄电池）为动力，用电机驱动车轮行驶的电动汽车（ElectricVehicle），还有以混合动力（汽油驱动和电力驱动两种驱动方式）为驱动的混合动力汽车（HybridElectricVehicle，HEV）。

三种汽车有各自不同的优点，混合动力汽车以节省燃油及降低排放为其主要优点，电动汽车以其零污染为主要特点。

当然，影响消费者选择车辆类型的因素主要是汽油价格和电能（车用蓄电池）价格，结合目前的汽油价格和电能（车用蓄电池）价格，对这三类汽车的能耗和成本（生产成本和使用成本）进行分析比较，试建立相应的数学模型，根据相关资料，解决以下问题：

1、从能耗的角度，分析比较这三类汽车哪一类节能效果最好；

2、从使用成本角度，分别为三类汽车建立相应的成本模型；

3．请具体选取三类汽车，对其使用成本进行比较和分析；

4．请探讨汽油价格的变化对三类汽车所占市场份额的影响。

三．问题的分析

由题意可知，目的就是为了建立一种模型，解决对结合目前的汽油价格和电能（车用蓄电池）价格，对这三类汽车的能耗和成本（生产成本和使用成本）进行分析比较。

我们需要建立三类汽车的能耗的数学模型和三类汽车使用成本的模型。

问问题一：

根据现有的三类车辆的油耗电耗数据，建立简单的能耗模型，首先联系实际把汽车的百公里能耗作为评价这三类汽车能效的指标，然后确定影响和决定这一指标的变量，然后通过假设简化问题条件，总结得出指标与各个变量之间的函数关系式，带入统计数据，得出最终的比较结果。

问题二，从使用成本的角度建立三类车的使用成本模型，首先应该明确汽车使用成本所包含的范围，我们根据实际情况确定了汽车的使用成本主要包括汽车的维修和保养费用、保险费以及燃料花费。

汽车的维修费用因车而异难以确定，因此我们考虑是否可由这三类汽车的购买价格以及故障率进行实际数据的拟合得出，得出模型后经过和实际数据的对比发现和实际情况拟合得很好，然后问题的解答顺理成章。

问题三，实际是问题二的特殊情况，需要具体选取三类汽车，对其使用成本进行比较和分析，为了使比较结果更具有代表性，我们选取相同品牌的市场占有率较高的三款车型进行研究，然后结合实际情况就可以对三种动力方案进行评价，也可以反过来对我们所建立的模型进行评价。

问题四，这个问题与实际结合得最为紧密，要研究汽油价格对三种汽车市场份额的影响，首先影响消费者选择的因素主要有汽车的使用成本、汽车的购买费用和人们对这三类汽车的偏好程度，其中汽车的购买费用和人们对这三类汽车的偏好程度是一定的，汽油价格影响的是汽车的使用成本中的燃油费用，然后通过建立消费者的效用曲线模型最终得出这三类汽车购买量与汽油价格的关系曲线，通过分析这个购买量-价格曲线即可分析得出汽油价格对三种汽车市场份额的影响。

四．建模过程

1）问题一

模型假设：

1.模型假设：

1.假设三类汽车自重相同。

车速及各种运动阻力如空气阻力、滚动阻力和爬坡阻力的大小相同、传动系的效率及减速比都相同，在相同平坦的路面行驶，变量只有消耗能源方式不同，计算一百公里的能耗做为比较量。

2.假设三类车在使用中磨损成本、维修成本、环境成本相同，只有能源成本不同，其他成本不计，计算一百公里的使用成本做为比较量。

3.假设具体的三种型号的车在汽车自重，车速及各种阻力方面都相同，使用成本只有能源成本不同，其他成本都相同，计算一百公里的能耗做为比较量。

4.假设三种汽车相互之间的份额影响不计，其他因素对汽车份额影响不计，只讨论油价对三类汽车所占市场份额的影响

2.定义符号说明：

S1——传统汽车百公里油耗

E1——电动汽车百公里电耗

S2——混合动力汽车百公里油耗

E2——混合动力汽车百公里电耗

WS1——传统汽车百公里燃油部分的能耗

WS2——混合动力汽车百公里燃油部分的能耗

W1——传统汽车百公里能量消耗

W2——电动汽车百公里能量消耗

W3——混合动力汽车百公里能量消耗

C——汽油容重

R——汽油热值

K——混合动力车的动力混合比

3.模型建立：

要对三类汽车的节能效果进行分析，必须建立这三类汽车的能耗模型。

建立这个模型，我们首先需要一个的统一的衡量这三类汽车节能效果的量，我们使用的是汽车在理想条件下行驶一百公里所消耗的能量——汽车百公里能耗。

下面定义动力混合比：

K1=动力混合比即是汽车在行驶时燃油提供的能量与百公里能耗的比值，K2=电力提供的能量与百公里能耗的比值，K1=WS2/W2,K2=E2/W2，显然K1+K2=1。

汽车百公里能耗=燃油部分能耗+电力部分能耗。

燃油部分能耗=汽车百公里油耗*汽油热值。

4.模型求解：

通过统计数据我们首先得出了:

传统汽车的平均百公里油耗S1=6L。

电动汽车平均一次充电耗电15kw·h，充电一次可以行驶350公里，由此可得其百公里电耗E1=4.29kw·h=1.5444*10^4KJ。

混合动力汽车百公里油耗S2=K1*S1，混合动力汽车百公里电耗E2=K2*E1。

查阅资料得到：

汽油容重C=0.72kg/L，汽油热值R=4.6*10^7J/kg=0.72*（4.6*10^7）J/L=3.31*10^7J/L

于是前两类汽车的油耗便可以转化为燃油部分的能耗，于是传统汽车百公里燃油部分的能耗WS1=S1*R=0.72*（4.6*10^7）*6=1.9872*10^8J，混合动力汽车百公里燃油部分的能耗WS2=S2*R=0.72*（4.6*10^7）*6=1.9872*10^8J。

所以：

传统汽车能耗W1=WS1=1.9872*10^5KJ；

电动车的能耗W2=E1=4.29kw·h=1.5444*10^4KJ；

混合动力汽车能耗W3=WS2+E2=K2*E1+K1*S1

5.模型分析：

我们可以得出一条结论单从节能效果来看，无疑电动汽车的效果是最好的，混合动力次之。

分析原因主要是现阶段的汽车上的热机的工作温度较低，摩擦较大，传动装置的优化不足等原因导致汽车的能量转化效率太低，明显第于电动机的从电能到动能的转化效率。

2）问题二

1.基本假设：

1.汽车使用成本包括：

燃油费、保险费、保养维修费。

2计算万公里燃油费作为比较量。

3.保险费与车的价格成正比。

4.保养维修费等于故障率与维修费乘积，故障率与汽车价格成反比，维修费于车价成正比。

2.定义符号说明：

K1——维修费的比例系数

K2——故障率的比例系数

K3——保险费的比例系数

A——汽车保险费

S1——传统汽车万公里油耗

E1——电动汽车万公里电耗

S2——混合动力汽车万公里油耗

E2——混合动力汽车万公里电耗

M1——每升汽油价格

M2——每度电价格

W1——传统汽车使用成本

W2——电动汽车使用成本

W3——混合动力汽车使用成本

3.模型建立：

A1为传统汽车的保险费，A2为混合动力车的保险费，A3为电动汽车的保险费。

K1、K2、K3于车的只于车的品牌有关，每个品牌的K1、K2、K3都是不变的常数。

W1=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+S1*M1

W2=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+E1*M2

W3=A3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+S2*M1+E2*M2

4.模型求解：

通过统计数据我们首先得出了:

传统汽车的平均百公里油耗S1=6L。

电动汽车平均一次充电耗电15kw·h，充电一次可以行驶350公里，由此可得其百公里电耗E1=30/7kw·h混合动力汽车百公里油耗S2=4.3L，混合动力汽车百公里电耗E2=2.24kw·h。

查阅资料得到：

每升汽油全国平均价格M1=8.0175元/L；；每度电全国平均价格M2=0.5元/度

因此可算得三类车的百公里使用成本：

W1=A1+汽车价格/K2*汽车价格*K1+481050

W2=A2+汽车价格/K2*汽车价格*K1+21400

W3=A3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+434550

5.模型分析：

3）问题三

1.基本假设：

1.具体的三种型号车的燃油费、保险费、保养维修费作为比较量。

2.计算万公里燃油费作为比较量。

3.保险费与车的价格成正比。

4.保养维修费等于故障率与维修费乘积，故障率与汽车价格成反比，维修费于车价成正比。

2.定义符号说明：

K1——保险费的比例系数

K2——故障率的比例系数

K3——保险费的比例系数

A——汽车保险费

S1——传统汽车万公里油耗

E1——电动汽车万公里电耗

S2——混合动力汽车万公里油耗

E2——混合动力汽车万公里电耗

M1——每升汽油价格

M2——每度电价格

W1——传统汽车使用成本

W2——电动汽车使用成本

W3——混合动力汽车使用成本

3.模型建立：

A1为传统比亚迪汽车的保险费，A2为混合动力比亚迪车的保险费，A3为电动比亚迪汽车的保险费。

K1、K2于车的只于车的品牌有关，每个品牌的K1、K2都是不变的常数。

W1=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+S1*M1

W2=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+E1*M2

W3=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+S2*M1+E2*M2

为保证汽车的其他条件相同，选取的的三款汽车多为比亚迪汽车。

传统汽车为比亚迪F3；

混合动力汽车为比亚迪F3-DM

电动汽车为比亚迪E6

4.模型求解：

通过统计数据我们首先得出了:

传统汽车的平均百公里油耗S1=6L。

电动汽车平均一次充电耗电15kw·h，充电一次可以行驶350公里，由此可得其百公里电耗E1=30/7kw·h混合动力汽车百公里油耗S2=4.3L，混合动力汽车百公里电耗E2=2.24kw·h。

查阅资料得到：

每升汽油全国平均价格M1=8.0175元/L；；每度电全国平均价格M2=0.5元/度

三款比亚迪汽车价格为：

传统汽车6万，混合动力汽车17万，电动汽车37万

进统计比亚迪汽车K1=0.005K2=1000K3=0.05

所以A1=60000*0.05；A2=170000*0.05；A3=370000*0.05

W1=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+S1*M1=502050

W2=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+E1*M2=724400

W3=汽车价格*K3+汽车价格/K2*汽车价格*K1+S2*M1+E2*M2=587550

5.模型检验与分析：

4）.问题四

1.模型假设：

1.消费者的支付能力一定，并且在支付能力一定的情况下无保留消费（消费区域为消费线）。

2.影响消费者选择车辆种类的因素仅由汽油价格决定（即电能和其他市场因素不变）

3.消费对象是面对全体普遍的消费者，即排除个案极端消费特例。

4.消费者满意度曲线是根据汽油对一般普遍消费者制定，即消费者只从汽油价格考虑经济性，而不考虑类似不同类型汽车的乘坐舒适度等因素。

5.消费者满意度符合无差别的满意度曲线。

2.定义符号说明

y——假设消费者支付能力

p1——汽油价格

p2——电能（车用蓄电池）价格

x1——消费者在汽油价格一定条件下购买一种类型汽车耗油所占总动力的相对量

x2——消费者在汽油价格一定条件下购买一种类型汽车耗电所占总动力的相对量

u（x1，x2）——汽油量x1和电能量（相对）x2情况下消费者满意度

k——上述情况下汽油x1和电能量（相对）x2之比x1/x2

3.模型建立：

消费者的支付能力一定的情况下，汽油价格的跌落会影响消费者对不同类型车的影响。

假设消费者支付能力为y，汽油价格为p1，电能（车用蓄电池）价格为p2，不同能源类型的车根本区别为所用汽油和电能各自所占的比重，假设汽油和电能量（相对）分别为x1和x2，于是，消费关系应该满足p1*x1+p2*x2=y（消费线）

消费者满意度我们用两种能源总量来表示，即满意度1：

u（x1，x2）=x1+x2

但是，人们对两种能源的偏爱是不同的，即满意度2应当精确表示为：

u（x1，x2）=k1*x1+k2*x2

考虑到两种能源比例的的变化对人们选择车辆种类的影响程度是不同的，于是，最终满意曲线应为：

u（x1，x2）=k1*x1^a+k2*x2^b，00；

当u（x1，x2）为确定值时，k1*x1^a+k2*x2^b=c为单调递减、下凸的曲线

当u（x1，x2）取一系列连续的值时，u（x1，x2）=k1*x1^a+k2*x2^b是一系列单调递减、下凸的曲线簇。

要使消费者满意度达到最大，即令消费线与满意度曲线相切，在消费能力没有

剩余的情况下取得。

转化为数学语言是

图上表达为

于是，问题转化为在油价p1变化，其他因素不变的情况下，消费者对汽油x1和电能量（相对）x2选择的偏向关系。

4.模型求解：

为使简化讨论，我们以汽油x1和电能量（相对）x2之比k=x1/x2为研究对象，由上述讨论，列出两个等式：

p1与k之间的关系

1）

2）p1*x1+p2*x2=y

解得：

k1*p2*a*k^（a-1）/p1*k2*b=（y/（p1*k+p2））^（b-a），可以看出当汽油价格p1上涨时，汽油和电能量之比k下降，即消费者更加偏向于电动汽车。

取特殊情况a=b=0.5,k1=k2=p2=1.

k=1/4*p1*p1.

5.模型分析：

由汽油x1和电能量（相对）x2之比k=x1/x2和汽油价格p1的关系式：

k1*p2*a*k^（a-1）/p1*k2*b=（y/（p1*k+p2））^（b-a）（特殊情况下：

k=1/4*p1*p1）可知，当汽油价格上升时，人们更偏向于选择电动车。

具体表现为油价上涨，人们对汽油的需求下降，对电力的需求上升，这与经济学和生活常识相符合。

从经济学角度分析，汽油对于车主来说是生活必需品，不会像高档品一样需求受价格影响大，而汽油和电能互为替代品，一种商品的价格上升，必然会导致顾客对其需求量下降，而对它替代品的需求上升。

所以，在汽油价格上升的情况下，人们必然会转向消费它的替代品----电力，从而更加倾向于选择电动车。

当然，我们也可以从消费线和效益曲线图来分析。

从图中可以看出，当油价上涨时，消费线在x1轴上的截距y/p1左移，要满足消费线与效益曲线相切，则对汽油的需求x1必然下降，对电能的需求将上升，与定量求解结果相同。

五.模型的评价与改进

模型最大优点在于对原始数据拟合时,采用多种方法进行,使之愈来愈完善,具有很高的拟合精度和适度性在此基础上,对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息并且,所得结论与客观事实很好地吻合,从而进一步说明模型是合理的。

在评价某一类型的汽车时，大家比较关心汽车的购买成本，使用成本。

其实，问题的核心可转化为：

“何种动力汽车的性价比最高”。

显然使用电能作为汽车动力更为便宜，更为清洁，但是有利也有弊，使用电能作为动力或是双动力的汽车制造成本会更高，而且相应的保养与维修的支出也会更高，因此找到他们之间的关系得出这三种汽车的性价比是解决这一问题的一条基本途径。

由第一问我们可以得出一条结论单从节能效果来看，无疑电动汽车的效果是最好的，混合动力次之。

分析原因主要是现阶段的汽车上的热机的工作温度较低，摩擦较大，传动装置的优化不足等原因导致汽车的能量转化效率太低，明显第于电动机的从电能到动能的转化效率。

而且就环保性与能源节约来讲，电动车所用的能源是可再生能源，更为清洁环保，所以采用此动力系统的汽车在未来应该是很有前景的。

从使用者的角度来分析，第二问中给出了三类汽车的使用成本模型，从模型来看，传统汽车的使用成本是要低于另外两种汽车的，对于能源部分，采用电力作为动力的汽车的使用成本是明显要低于传统车辆的，然而出现传统汽车的使用成本低于另外两种汽车的现象主要还是因为保养维修成本上的差距。

传统汽车技术成熟，市场也很成熟，而混合动力和电动汽车这样新型动力的汽车由于制造材料的不同，技术不够成熟，知识产权保护等原因使其制造成本和保养维修的成本都比较高。

因此目前传统汽车对于使用者来说还是首要的选择。

第三问便给出了具体的三种类型的车的数据，验证了上述的分析。

第四问分析油价对这三种类型汽车销量的影响，随着汽油价格的上涨这个必然的趋势，采用电能作为能源的汽车的优势会越来越凸显，当油价上涨到一定程度的时候，汽车最初的购买成本以及后期的保养维修费用占总体费用的比例将会越来越小，汽车的动力方式越能决定汽车的总体性价比。

最后，我们得出结论，电动车的能源转化效率高于传统汽车，而且其性价比也将随着时间的推移而上升，电动车将最终取代传统汽车，在市场中占据主导地位，成为消费者的普遍选择。

六.参考文献

【1】姜启源谢金星叶俊数学模型（第四版）高等教育出版社2011.1

【2】冉启康张振宇张立柱常用数学软件教程人民邮电出版社2008.10

【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社2007.1

【4】郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M]，山东：

山东教育出版社，1997.1