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数列公式汇总
人教版数学必修五
第二章数列重难点解析
第二章课文目录
2．1 数列的概念与简单表示法
2．2 等差数列
2．3 等差数列的前n项和
2．4 等比数列
2．5 等比数列前n项和
【重点】
1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
【难点】
1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法
⒈数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉数列的项：
数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
⒊数列的一般形式：
，或简记为，其中是数列的第n项
⒋数列的通项公式：
如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：
1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系：
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f
（1）、f
（2）、f（3）、f（4）…，f（n），…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：
项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
是有穷数列
无穷数列：
项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：
从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：
从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：
各项相等的数列。
摆动数列：
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
7．数列的表示方法
（1）通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列的通项公式为；
的通项公式为；
的通项公式为；
（2）图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（3）递推公式法
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：
3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
4、列表法
．简记为．
典型例题：
例1：
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）3,5,9,17,33,……；
（2）,,,,,……；
（3）0,1,0,1,0,1,……；（4）1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；
（5）2,－6,12,－20,30,－42,…….
解：
（1）＝2n＋1；
（2）＝；（3）＝；
（4）将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,
∴＝n＋；
（5）将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……，
∴＝（－1）n（n＋1）
例2：
设数列满足写出这个数列的前五项。
分析：
题中已给出的第1项即，递推公式：
解：
据题意可知：
，
例3：
已知，写出前5项，并猜想．
解：
法一：
，观察可得
法二：
由∴即
∴
∴
二、等差数列
1．等差数列：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d（与n无关的数或字母），n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。
2．等差数列的通项公式：
【或】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
由上述关系还可得：
即：
则：
=
即等差数列的第二通项公式∴d=
3．有几种方法可以计算公差d
①d=－②d=③d=
4．结论：
（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即m+n=p+q（m,n,p,q∈N）
但通常①由推不出m+n=p+q，②
典型例题：
例1：
⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？
如果是，是第几项？
解：
⑴由n=20，得
⑵由得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例2：
已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？
若是，首项与公差分别是什么？
分析：
由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：
当n≥2时,（取数列中的任意相邻两项与（n≥2））
为常数
∴{}是等差数列，首项，公差为p。
注：
①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0,则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q（p、q是常数），称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
例3：
求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：
根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：
根据题意可知：
=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：
=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15,=4×10－1=39.
评述：
关键是求出通项公式.
例4：
求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：
根据题意可知：
=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：
=10+（n－1）×（－2）,即：
=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.
评述：
要注意解题步骤的规范性与准确性.
例5：
100是不是等差数列2，9，16，……的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由.
分析：
要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
解：
根据题意可得：
=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：
=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：
n=15,∴100是这个数列的第15项.
例6：
－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由.
解：
由题意可知：
=0,d=－3∴此数列的通项公式为：
=－n+,
令－n+=－20,解得n=因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
例7：
如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
解：
由定义得A-=-A，即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：
成等差数列
例8：
在等差数列{}中，若+=9,=7,求,.
分析：
要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：
∵{an}是等差数列
∴+=+=9=9－=9－7=2
∴d=－=7－2=5
∴=+（9－4）d=7+5*5=32∴=2,=32
三、等差数列的前n项和
1．等差数列的前项和公式1：
证明：
①
②
①+②：
∵
∴由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2．等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件：
（有时比较有用）
对等差数列的前项和公式2：
可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
3．由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
4．对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
（2）利用：
由利用二次函数配方法求得最值时n的值
典型例题：
例1：
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支.这个V形架上共放了多少支铅笔？
解：
由题意知，这个V型架自下而上是个由120层的铅笔构成的等差数列，记为｛an｝，
答：
V型架上共放着7260支铅笔
例2：
等差数列－10，－6，－2，2，?
?
?
?
?
?
?
前9项的和多少？
解：
设题中的等差数列为{an}
则a1=－10，d=4,n=9
例3：
等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．
解依题意，得
解得a1=113，d=－22．∴其通项公式为
an=113＋（n－1）?
（－22）=－22n＋135
∴a6=－22×6＋135＝3
说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而
即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．
例4：
在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．
解依题意2＝1＋（2n＋2－1）d ①
由①，有（2n＋1）d=1⑤
∴共插入10个数．
例5：
在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．
且Sm＝Sn，m≠n
∴Sm+n＝0
例6：
已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．
d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．
解方程组得：
d＝－2，a1＝9
∴an＝9＋（n－1）（n－2）＝－2n＋11
其余各项为负．数列{an}的前n项和为：
∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n
当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－（Sn－S5）＝2S5－Sn
∴Tn＝2（－25＋50）－（－n2＋10n）＝n2－10n＋50
说明根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．
例7：
在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．
解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34
＝20a1＋190d＝5（4a1＋38d）=5×34=170
由等差数列的性质可得：
a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17
S20＝170
例8：
已知等差数列{an}的公差是正数，且a3?
a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．
解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得
由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4
再由d＞0，得d＝2∴a1=－10
最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180
解法二由等差数列的性质可得：
a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4
又a3?
a7=－12，由韦达定理可知：
a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根
解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是递增数列
∴a3＝－6，a7=2
例9：
等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若
[]
∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199
解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件：
Sn＝an2＋bn
可设Sn＝2n2k，Tn＝n（3n＋1）k
说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn，由
k是常数，就不对了．
例10：
解答下列各题：
（1）已知：
等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；
（2）在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；
（3）已知：
等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；
（4）已知：
等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．
分析与解答
a9=a6＋（9－6）d=－17＋3×（－5）=－32
（2）a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350
（3）∵a4＋a6＋a15＋a17=50
又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21
∴a4＋a17=a6＋a15=25
（4）∵an=33－3n∴a1＝30
∵n∈N，∴当n=10或n=11时，Sn取最大值165．
例11：
等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n（m＞n），求前m＋n项和Sm+n．
解法一设{an}的公差d
按题意，则有
=－（m＋n）
解法二设Sx＝Ax2＋Bx（x∈N）
①－②，得A（m2－n2）＋B（m－n）＝n－m
∵m≠n∴A（m＋n）＋B=－1
故A（m＋n）2＋B（m＋n）＝－（m＋n）
即Sm+n＝－（m＋n）
说明a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再
解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2＋Bx．（x∈N）
例12：
在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？
解∵S偶项－S奇项=nd
∴nd=90－75=15
又由a2n－a1＝27，即（2n－1）d=27
例13：
在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．
解法一建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值．
∵a1=25，S17＝S9解得d＝－2
∴当n=13时，Sn最大，最大值S13＝169
解法二因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{an}是递减等
∵a1＝25，S9＝S17
∴an=25＋（n－1）（－2）=－2n＋27
即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．
解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．
由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0
而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14
∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0
∴S13=169最大．
解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．
∵{an}是等差数列
∴可设Sn＝An2＋Bn
二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示
∵S9＝S17，
∴取n=13时，S13＝169最大
四、等比数列
1．等比数列：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：
=q（q≠0）
1?
“从第二项起”与“前一项”之比为常数（q）
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2?
隐含：
任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3?
q=1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
…………………
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：
非零常数列
5．等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q>1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q>1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
6．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列
∴a,G,b成等比数列G=ab（a?
b≠0）
7．等比数列的性质：
若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，
则
8．判断等比数列的方法：
定义法，中项法，通项公式法
9．等比数列的增减性：
当q>1,>0或01,<0,或00时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;
10．证明数列为等比数列的方法:
（1）定义法:
若
（2）等比中项法:
若
（3）通项法:
若
（4）前n项和法:
若数列为等比数列。
典型例题：
例1：
求下列各等比数列的通项公式：
（1）=?
2,=?
8；
（2）=5,且2=?
3；（3）=5,且
解：
（1）解：
（2）解：
（3）解：
以上各式相乘得：
例2：
求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，……；
（2）1.2，2.4，4.8，……；
（3），…….
解：
（1）∵q==－3,=5∴==5?
（－3）
∴=5?
（－3）=－135，=5?
（－3）=405.
（2）∵q==2,=1.2∴==1.2×2
∴=1.2×2=9.6,=1.2×2=19.2
（3）∵q=∴==×（）
∴=×（）=,=×（）=
（4）∵q=1÷,=∴==?
（）=
∴=.
例3：
一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.
解：
由题意得=,q=－
∵=q8,∴=（－）,∴=2916
答：
它的第1项为2916.
例4：
一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.
解：
由已知得=10,=20.在等比数列中
∵,∴==5,=q=40.
答：
它的第1项为5，第4项为40.
例5：
已知：
b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，
求证：
也成等比数列
证明：
由题设：
b2=ac得：
∴也成等比数列
例6：
已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
证明：
设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.
例7：
（1）已知{}是等比数列，且,求
（2）a≠c,三数a,1,c成等差数列，成等比数列，求
解：
（1）∵{}是等比数列，
∴＋2＋＝（＋）＝25,
又>0,∴＋＝5;
（2）∵a,1,c成等差数列,∴a＋c＝2,
又a,1,c成等比数列,∴ac＝1,有ac＝1或ac＝－1,
当ac＝1时,由a＋c＝2得a＝1,c＝1,与a≠c矛盾，
∴ac＝－1,
∴.
例8：
已知无穷数列，
求证：
（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证明：
（1）（常数）∴该数列成等比数列
（2），即：
（3），∵，∴
∴且，
∴，（第项）
例9：
在等比数列中，，求该数列前七项之积
解：
∵，
∴前七项之积
例10：
在等比数列中，，，求，
解：
另解：
∵是与的等比中项，∴
∴
五、等比数列的前n项和
1、等比数列的前n项和公式：
当时，①或②
当q=1时，
当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时，①或②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
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