浙教版初中数学三角形三条边的关系同步辅导含解答.docx

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浙教版初中数学三角形三条边的关系同步辅导含解答

三角形三条边的关系

【基础知识精讲】

1.三角形按边分类

可分为两大类三小类.

（1）不等边三角形:

三条边两两不等的三角形.

（2）等腰三角形：

三条边中有两条边相等.其中，若有且只有两条边相等，称为等腰三角形，若三边都相等，称为等边三角形或正三角形.

2.关于等腰三角形、等腰三角形各部分有其特定的名称

（1）相等的两条边称为腰，等三边称为底边.

（2）两腰的夹角称为顶角，另两个角（腰与底的夹角）称为底角.

3.关于等腰三角形与等边三角形

等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等，可把任两边看作腰，另一边看作底.

注意：

不能认为三角形按边分为不等边和等边三角形两类，这样就遗漏了等腰三角形这一重要的一类三角形.

三角形按边分类如下表：

三角形

4.三边之间的关系

定理：

三角形两边之和大于第三边.

证：

如图，在联接A、C两点的线中，线段AC最短.

∴折线CBA＞线段AC.

即AB+BC＞AC.

推论：

三角形两边之差小于等三边.

由以上可知，以a，b，c为边的三角形中，c边应满足条件：

＜c＜a+b。

【重点难点解析】

本节重难点均在三边不等关系上，即

＜c＜a+b（a,b,c为△ABC三边）在解决有关三角形边的问题的时候，应充分考虑到这一条件，而在实际运用中，只要三边中两个较短边之和大于最长边或两个长边差的绝对值小于最短边，则此三条线段可构成三角形.

例1若三线段a，b，c,满足a+b＞c，则以此三线段为边是否一定构成三角形？

为什么？

分析考查三线段是否构成三角形，要考查三条线段中，任意两线段之和是否大于第三条线段，不能光凭其中有两条线段和大于第三线段就判定能构成三角形.除非此时c边最长，否则还要看

是否小于c.

解若c为三线段中最大线段，则三线段为边一定构成三角形.

∵a+b＞c,b+c＞a显然成立.否则，不一定构成三角形.例如三线段长a=5,b=3,c=2此时虽然a+b＞c,但三线段不构成三角形.

例2等腰三角形周长为8，三边长为整数，求三边的长.

分析可设腰长为a，底边长为b,得方程2a+b=8，这一个二元一次不定方程，要充分注意到条件三边为整数，即此时求正整数解.可利用不等式求出a的范围，求出后，一定要注意检验所求的三条线段是否能构成三角形.

解设腰长为a，底边长为b,依题意.

2a+b=8

又∵b＞0∴2a＜8a＜4.

∵a为正整数∴a=1,2,3.

解方程解为

又2a＞b检验得只有

符号条件，∴三边长为3，3，2.

例3等腰三角形一边长为5cm，它比另一边短6cm,求三角形周长.

分析5cm的边不知是腰还是底，故此题可能有两解，即5为底和5为腰，但此时依然要注意求出的解是否满足构成三角形的条件.

解若腰长为5，则底边长为5+6=11cm.

∵5+5=10＜11∴不能构成三角形.

∴只能底边长为5，此时腰长5+6=11cm.

三角形周长为5+11+11=27（cm）

例4如图，O为四边形ABCD内任一点.

求证OA+OB+OC+OD＞

（AB+BC+CD+DA）

分析分别考查以O为顶点的四个小三角形，每个里面利用两边之和大于第三边.再利用不等式性质，即可得结论.

证在△AOB中，

OA+OB＞AB①

在△BOC中

OB+OC＞BC②

在△COD中,OC+OD＞CD③

在△DOA中，OD+OA＞AD④

①+②+③+④得2（OA+OB+OC+OD）＞AB+BC+CD+DA

∴OA+OB+OC+OD＞

（AB+BC+CD+DA）

例5如图，P为△ABC内任一点.

求证PA+PB＜CA+CB.

分析此时若考虑△PAB和△CAB是不可能证出结论的.而通过辅助线构造新的三角形，进而在新三角形中利用三边关系得出结论是解决本题的根本之所在.

证延长AP交BC于D在△ACD中

AC+CD＞AD即AC+CD＞AP+PD①

在△BPD中，BD+PD＞BP∴BD＞BP-PD②

①+②AC+CD+BD＞AP+BP+PD-PD

即PA+PB＜CA+CB

【难题点拨】

例1已知三角形的周长为P，且一边长是另一边长的2倍，求最短边的范围.

分析本题解决之关键在于，弄清谁是最短边？

弄清以后，也不可轻率地由最短边的三倍不大于周长，得最短边不超过周长

（即最短边

p）这样将会把最短边的范围扩大.要充分利用题中有两边比为2∶1,这一条件，以及三边不等关系解题.

解由已知可设三边为x,2x,y.

∵3x+y=P①∴x＜y＜3x②

2x-x＜y＜2x+x

可知，最短边的长为x.由①得y=P-3x③

③代入②得x＜P-3x＜3x..

解得

P＜x＜

P即最短边范围在

P~

P之间.

例2三角形周长是偶数，两边长为4和1997.满足上述条件的三角形共多少个？

分析本题可从第三边范围在1993~2001之间来着手解决，再结合周长为偶数这一条件逐一检验，得出结论，也可先由奇偶性入手，以达迅速解题之目的.

解∵周长为偶数，两边为4,1997，则第三边为奇数，设第三边为2n+1（n为整数）得1997-4＜2n+1＜1997+4,996＜n＜1000

∴n-997,998,999，故合条件的三角形有三个.

注意，本题只问合条件的三角形有多少个，并未涉及求边长及周周长问题，故不必算出第三边及周长.

例3不等边三角形周长为30，边长均为整数.求合条件的所有三角形的三边之长.

分析可设不等边三角形三边a,b,c，且a＜b＜c.由三边关系及周长确定最长边c的范围，进而得出结论，是本题基本思路，而确定最长边c是解决本题之关键.

解设三边a,b,c.

∵三角形为不等边三角形，不失一般性，可设a＜b＜c.

∴

∵c＞ac＞b∴3c＞a+b+c③

由①a+b=30-c④

④代入②解得c＜15由③得c＞10

∴10＜c＜15∴整数c为11，12，13，14

c=11时a+b=19c＞b＞a∴9.5＜b＜11∴b=10

c=11b=10a=9

c=12时a+b=189＜b＜12∴b=10,11

c=12b=10a=8c=12b=11a=7

c=13时a+b=178.5＜b＜13∴b=9,10,11,12

c=14时a+b=168＜b＜14∴b=9,10,11,12,13

∴合条件的三角形共12个它们是

【命题趋势分析】

本节知识点，三边不等关系及等腰三角形概念两个方面经常为出题者偏爱，可结合周长、三边关系等知识，注重考查数形结合的思想，也可利用三边关系不等式进行代数式化简.即采用代数的方法解决几何问题（如通过方程及不等式解题），包括计算及简单的证明.各类型题均可能出现.

【典型考题】

例1三角形三边长为3,1-2a，8，求a的取值范围.

分析此题有两条解题思路，

（1）只利用两边之和大于第三边，当采用两短边之和大于长边时，需讨论1-2a与8的大小.

（2）结合两边之和大于第三边，同时两边之差小于第三边，利用不等式组求a的范围，无论以上哪种解法，均借用代数中不等式组来解决问题.

解一8为最长边时

-3.5≤a＜-2

1-2a为最长边时

-5＜a≤-3.5

综上-5＜a＜-2

解二8-3＜1-2a＜8+3-5＜a＜-2

由以上两种解法可看出，解法二更简明.

例2a,b,c为△ABC的三边且a2-ac+bc-b2=0.求证△ABC为等腰三角形.

分析本题将代数式的恒等变形与几何知识有机地结合在一起.要证等腰三角形，只需得出a,b,c中有两个相等即可，而因式分解正好可解决此时的问题.

证∵a2-ac+bc-b2=0∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0

（a-b）（a+b-c）=0又∵a,b,c为△ABC三边

∴a+b＞ca+b-c＞0∴a-b=0a=b

∴△ABC为等腰三角形.

例3三角形三边为整数，周长为180cm，且最短边为最长边的

，求三边的长.

分析可设三边中，最短边为x，则最长边为4x，另一边为y，此时可得不等式x≤y≤4x，再利用三角形三边不等关系及已知条件,（周长180cm,边为正整数）求出x或y的范围，进而求三边的长.

解设最短边为x，则最长边为4x,第三边为y,则

由①得y=180-5x

∴由①②得3x＜y＜4x.将y=180-5x代入

3x＜180-5x≤4x解得20≤x＜22.5

∴x=20,21或22

∴所有合条件三角形三边为（20,80,80）（21,75,84）（22,70,88）

例4等腰三角形周长24cm,一腰中线将周长分为5∶3两部分，求三角形三边的长.

分析此类问题要通过图形准确分析出各线段之间关系，关键是题中5∶3两部分的构成.如图，△ABC中，AB=AC，BD为中线，注意到BD分△ABC周长为AB+AD，BC+CD两部分，依题意

，本题可能有两解.

解如图：

BD为△ABC中线，AB=AC且AB+AC+BC=24求AB，BC，CA.

设AB=AC=xBC=y则AD=DC=

依题意

或

解得

或

而x=6,y=12时，2x=y不能构成三角形.故三边长为10,10,4.

【同步练习】

一、判断（3分×8=24分）

（）1.三角形三边长为a,b,c，则b+c＞a.

（）2.三条线段a,b,c,若满足a-c＜b＜a+c,则以三条线段为边一定能构成三角形.

（）3.以10cm长为底组成的等腰三角形腰长一定不小于5cm.

（）4.三线段a,b,c满足a＞b＞c,只要a-b＜c,则以三线段为边一定能构成三角形.

（）5.两边为1,3,周长为偶数的三角形有且只有一个.

（）6.三线段3a,5a,2a+1若能构成一个三角形，则a＞

.

（）7.三角形中除了等边三角形外，其它的三角形均称为不等边三角形.

（）8.四边形四条边的比不可能是2∶3∶4∶10.

二、填空（3分×8=24分）

1.三角形一边长为a=2，按三边不等关系不等式求得另两边中一条边b＜7,则第三边c=_________.ab的取值范围是________＜b＜7.

2.三角形一边长为a=10，另一边长为b=7，则第三边c范围是_________周长P范围________.

3.三角形周长为10，其中有两边相等且长为整数，则第三边长为_________.

4.△ABC周长27，三边长为三个连续奇数，则最长边长为_______，最短边长为_________.

5.以15为腰的三角形，底边a的范围是______.

6.以36为底的三角形，腰的范围是.

7.a,b,c为△ABC的三边，化简

=___________.

8.△ABC三边a≤b≤c且a+b+c=13,a,b,c均为自然数，则合条件的三角形共有_____个.

三、选择（3分×8=24分）

1.下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是:

2.以下列三线段为边，不能构成三角形的是：

A.a+1,a+2,a+3（a＞0）B.三线段之比为1∶3∶4

C.三线段比为3∶4∶5D.4a,7a,3a+1（a＞1）

3.等腰三角形底边长5cm,一腰中线将周长分成的两部分差为3cm,则腰长为

A.2cmB.3cmC.8cmD.2cm或8cm

4.若三角形三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.则此三角形为（）

A.不等边三角形B.一般等腰三角形

C.等边三角形D.B、C都有可能

5.若三线段a,b，c满足a＞b＞c，若能构成一个三角形，则只需满足条件（）

A.a+b＞cB.b+c＞aC.c+a＞bD.b+c≠a

6.等腰三角形周长50，一边为另一边的2倍，则底边长为：

A.10B.20C.25D.10

7.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为（）

A.7B.8C.9D.10

8.D为等腰△ABC,底边BC上一点，BC=10，△ABC的周长比△ADB的周长多6,则BD∶DC为（）

A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶1

四、若a,b,c为三角形的三边.求证：

a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2＜0（6分）.

五、如图，B，C为线段AD上两点，且AB=x，AC=y,AD=z,若AB绕B点旋转，CD点旋转，直至A、D两点正好重合于点E为止，形成一个三角形，那么，下面三个不等式中哪些必须成立，并证明你的结论.（6分）

①x＜

②y＜

③y＜x+

【素质训练】

1.求证三角形内任一点到三顶点距离之和大于周长的一半而小于周长.

2.三角形三边长均为整数a,b,c，且a≤b≤c.若b=5，求出所有合条件的三角形的另两边a,c，合条件三角形共多少个？

3.求以1995的质因数为边的三角形共多少个？

参考答案：

【同步练习】

一、1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.×8.√

二、1.532.3＜c＜1720＜P＜34.3.44.1175.0＜a＜306.大于187.a+b+c8.5

三、1.D2.B3.C4.C5.B6.A7.C8.A

四、原式=a4-2（b2+c2）a2+（b2-c2）2=a4-2（b2+c2）a2+（b+c）2（b-c）2.

=[a2-（b+c）2][a2-（b-c）2]

∵a,b,c为三角形三边∴｜b-c｜＜a＜b+c

（b+c）2＜a2＜（b+c）2∴a2-（b+c）2＜0a2-（b-c）2＞0

∴原式＜0.

五、①③必须成立.由已知：

AB=BE=x,BC=y-xCD=CE=z-y.

由BE+BC＞CE,BC+CE＞BE,CE+BE＞ACPC+PA＜BA+BC三式相加即得结论.

2.分a=1,2,3,4,5逐一枚举可得

a=1b=5c=5（∵5≤c＜6＝

a=2b=5c=5或7

a=3b=5c=5,6,7

a=4b=5c=5,6,7,8

a=5b=5c=5,6,7,8,9共15个.

3.共13个1995=3×5×7×19.等边三角形4个（19,19,19）（7,7,7）（5,5,5）（3,3,3）

等腰三角形8个（19,19）

（7,7）

（5,5）

（3,3,5）

不等边三角形1个（3,5,7）