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统计

高考真题演练

文章来源：

现代教育报·思维训练作者：

本报点击数：

376更新时间：

2007-2-2710:

00:

12

   1.（2004·湖南）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（      ）

   A.分层抽样法，系统抽样法

   B.分层抽样法，简单随机抽样法

   C.系统抽样法，分层抽样法

   D.简单随机抽样法，分层抽样法

   2.（2005·湖北）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得的号码有下列四种情况：

   ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250

   ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265

   ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254

   ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270

   关于上述样本的下列结论中，正确的是（   ）

   A.②、③都不能为系统抽样

   B.②、④都不能为分层抽样

   C.①、④都可能为系统抽样

   D.①、③都可能为分层抽样

   3.（2006·湖南）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是            分.

   4.（2006·全国II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查出10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出             人．

   5.（2006·山东）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是            .

                                  答案

   1.B【解题思路】甲、乙、丙、丁四个销售点不同，所以①应当用分层抽样法；在丙地区抽取20个样本，所以②应当用简单随机抽样法.故选B.

   2.B【解题思路】由于各年级人数所占比例为4∶3∶3，所以①为分层抽样或系统抽样；②为系统抽样；③为分层抽样或系统抽样；④为系统抽样.故选B.

   3.85【解题思路】该校数学建模兴趣班的平均成绩是

＝85分.

    4.25人【解题思路】由直方图可得［2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500＝2500人，按分层抽样应抽出2500×

＝25人.

   5.150人【解题思路】抽取教师人数为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×

=150人.

   【例题】为了了解某校初中毕业男生的体能状况，现从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试，把所得数据（精确到0.1米）进行整理后，分成6组，画出了频率分布直方图的一部分（如图）.已知从左到右前5个小组的频率分别是0.04，0.10，0.14，0.28，

0.30.第6小组的频数为7.

（1）请你将该频率分布直方图补充完整；

（2）该校参加这次铅球测试的男生有多少人？

   （3）若成绩在8.0米以上（含8米）的为合格，试求这次铅球测试成绩的合格率.

   解：

（1）由频率分布直方图的意义可知，各小组频率之和为1，故第6小组的频率为0.14.

   易知第6小组与第3小组的频率相等，故两个小长方形等高，如下图：

（2）由

（1）知，第6小组的频率是0.14，又第6小组的频数是7，设参加这次测试的男生有x人，根据频率定义得，

=0.14，即x=50（人）.

   （3）由图可知，第4、5、6小组的成绩在8.0米以上（含8米），其频率之和为0.28+0.30+0.14=0.72.故合格率为72%.

[高考聚焦]频率分布直方图和条形图

文章来源：

现代教育报·思维训练作者：

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895更新时间：

2007-2-2710:

31:

26

   【例1】一个骰子，抛掷120次，标有数字1，2，3，4，5，6的各面向上的次数分别为18，19，21，22，20，20.作出试验结果的频率分布表，并绘制条形图.

  【思考与分析】利用样本的频率分布估计总体的频率分布，并画出条形图.

   解：

根据题意可得频率分布表如下：

   频率分布条形图如下：

   【例2】下面是某班40位同学在上学期课外读物上的支出（单位：

元）：

   24，27，18，21，14，34，27，22，25，26，

   23，31，29，17，27，18，18，29，21，18，

   12，19，31，19，14，28，19，13，13，12，

   18，19，12，13，16，12，31，10，17，17.

（1）列出频率分布表；

（2）画出频率分布直方图和条形图.

   【思考与分析】应适当的分组，确定每组的频数，再求出频率，最后正确地画出频率分布直方图和条形图.

   解：

（1）分组的组数为7，组距为4，频率分布表如下：

（2）绘制频率分布直方图如下，横轴为支出（元），纵轴为

   条形图如下：

   【小结】在画图时我们应当注意频率分布直方图和条形图的区别

[思想方法]如何估计总体的频率分布

文章来源：

现代教育报·思维训练作者：

刘洪福点击数：

427更新时间：

2007-2-2713:

03:

59

   总体分布是指总体取值的分布规律，这种分布我们一般是不知道的.用样本估计总体是统计的基本思想，对于不易知道的总体分布，常常用样本的频率分布对其进行估计.样本的容量越大，这种估计就越精确.用样本估计的思想就是用部分考察全体、用离散考察连续、用有限考察无限，也就是用观察测量值来探究客观规律的一种重要的基本思想.

     解决该类问题通常用统计图表来直观地展现样本数据的分布状况，常用的统计图表有频率分布表、频率分布直方图、折线图、茎叶图，总体密度曲线.要求是不但能认识各种图表，从中提取各种信息，而且能制作各种图表，表达问题的数据信息.

   【例题】下表给出了某校120名12岁男童身高资料.（单位：

cm）

（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；

（2）画出频率直方图和累积频率分布图；

   （3）根据累积频率分布图，估计小于134cm的数据约占多少百分比.

      解：

（1）频率分布表如下：

（2）频率直方图如下：

   累积频率分布图如下：

   （3）在反映样本的频率分布方面，频率分布表比较确切，频率直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如：

由上图估计，身高小于134cm的人约占19％.

   【小结】解决总体分布估计问题的一般程序为：

当总体中所取不同的数值较少时，常用条形图表示相应样本的频率分布，否则常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.

基本技能训练

文章来源：

现代教育报·思维训练作者：

本报点击数：

519更新时间：

2007-2-279:

49:

56

   1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为40人，则n＝       .

   2.系统抽样使用的范围是           .

   3.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果如下图所示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为         .

                                 答案

   1.96  

   2.总体中的个体数较多且均匀

   3.0.9小时

[触类旁通]三种抽样方法的综合运用

文章来源：

现代教育报·思维训练作者：

李秀贞点击数：

366更新时间：

2007-2-2712:

46:

48

   【例题】为了解某校的教学水平，现将通过抽查该学校高三年级部分学生本学年的考试成绩的方式来进行考查.为了全面地反映实际情况，采用以下方式进行：

   （已知该校高三年级共有14个教学班，每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，且每班人数相同）

（1）从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考查他们的学习成绩；

（2）每个班抽取1人，共计14人，考查这14名学生的成绩；

   （3）把该校高三年级的学生成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查.（若按成绩划分，该校高三学生中有优秀生105名，良好生有420名，普通生有175名）

根据上面的叙述，试回答下面的问题：

   （Ⅰ）上面三种抽取方式中，其总体、个体分别是什么？

每一种抽取方式抽取的样本容量分别是多少？

   （Ⅱ）上面三种抽取方式各采用了何种抽样方法？

   （Ⅲ）试分别写出上面三种抽取方式的抽样步骤.

   解：

（Ⅰ）这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指该校高三每个学生本学年的考试成绩.第一种和第二种抽样方式中抽取的样本容量都为14，第三种抽样方式中抽取的样本容量为100.

   （Ⅱ）上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样和简单随机抽样法.

   （Ⅲ）第一种方式抽样的步骤是：

首先在14个班中用抽签法任意抽取一个班，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其成绩.

   第二种方式抽样的步骤是：

首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为M，然后再在其余的13个班中，选取学号为M的学生，共计14人.

   第三种方式抽样的步骤是：

首先分层，由已知应把全体学生分成三层，然后确定抽样比，即100∶700=1∶7，利用该抽样比确定各层入样人数，也就是15，60，25.下面再在每层中用简单随机抽样法分别抽取即可.

   【反思】本题关键是灵活运用统计初步中的一些基本概念和基本方法，对照简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念得出抽样过程.由于分层抽样充分利用总体的一些信息，所以具有较好的代表性，在实际中有着广泛的应用.设计抽样方法时，一方面要使样本具有较好的代表性，就要将总体“搅拌均匀”，使每个个体被抽中的机会均等，另一方面应当努力使抽样过程简便易行.

【例3】一批产品中，一级品100个，二级品60个，三级品40个，请从中抽取一个容量为20的样本.

   【思考与分析】这批产品中包括了一级品、二级品、三级品，有着严格的界限.符合分层抽样的要求.

   解：

一、二、三级品的个数之比为5∶3∶2，所以需要从一级品中抽取20×

＝10个，二级品中抽取20×

＝6个，三级品中抽取20×

＝4个.

   将一级品的100个产品按00，01，02，…，99编号；将二级品的60个产品按00，01，02，…，59编号；将三级品40个产品按00，01，02，…，39编号.采用抽签法或随机数表法，从中分别抽取10个，6个，4个产品，组成一个容量为20的样本.

   【反思】分层抽样关键就在一个“层”上，总体中个体可分成差异明显的几个部分，这是采用分层抽样的标志.

   【小结】我们只有掌握了几种抽样方法的特征、异同及操作程序，才能更有效的选取合适的抽样方法解决问题.