八年级上 567一次函数与二元一次方程的关系 学案.docx

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八年级上567一次函数与二元一次方程的关系学案

辅导讲义

学员编号：

年级：

初二课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

授课类型

T一次函数与二元一次方程的关系

C一次函数与二元一次方程的应用

T综合应用之行程问题

授课日期及时段

教学内容

知识点一：

二元一次方程与一次函数的关系

1．任何一个二元一次方程都可化成一次函数关系式的形式．

2．二元一次方程的解有无数个，以这个二元一次方程的所有的解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同．

例1以方程

的解为坐标的所有点都在一次函数y=的图象上．

变式训练

1．二元一次方程2x+y=4有____个解，以它的解为坐标的点都在一次函数的图象上。

知识点二：

用作图象的方法解二元一次方程组

用图象法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：

（2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；

（3）写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y．

例2用图象法解方程组

变式训练

1．已知

是二元一次方程组

的解，那么一次函数y=

与y=8-2x的交点坐标是．

知识点三：

利用二元一次方程组确定一次函数的表达式

1．利用二元一次方程组求一次函数表达式的步骤：

（1）设出函数表达式：

y=kx+b；

（2）把已知条件代入，得到关于尼、6

的方程组；

（3）解方程组，求出k、b的值；（4）写出其表达式．

2．待定系数法：

先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法．

例3已知直线

经过点A（0，3）及点B（3，0），

经过点M（1，2）及点N（-2，-3）．求

的交点坐标。

变式训练

1．已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则m等于（）．

x

-1

2

5

y

5

-1

m

A．-7B．-8C．-10D．-13

一、专题精讲

题型一：

利用二元一次方程组确定交点坐标

例1如图所示，直线AB是一次函数y=x+n的图象，直线AC是一次函数y=-2x+m的图象（m>n>0）．用m，n表示点A的坐标．

例2已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1的交点在第四象限内．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为非负整数，点A的坐标为（2，0），点P在直线x-2y=-k+6上，△PAO是以OA为底的等腰三角形，求点P的坐标及OP的长．

变式训练

1．若函数y=-x十a和y=x+b的图象的交点坐标为（m，8），则a+b=

2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数y=kx+b的图象，

（1）根据图象，求k和b的值；

（2）在图中画出函数y=-2x+2的图象；

（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．

题型二：

二元一次方程组与一次函数的综合应用

例3声音在空气中传播的速度y（m/s）是气温x（℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的声速．

气温x（℃）

0

5

10

15

20

声速y（m/s）

331

334

337

340

343

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当气温为

时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么人与燃放烟花的所在地相距多远？

例4如图所示，小王驾驶汽车从甲地开往乙地，同时，小张骑自行车在小王前面10km米处也在向乙地行驶，此图表示小王、小张行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的关系，观察图象并回答下列问题：

（1）哪条线表示小张骑自行车的路程与时间的关系？

（2）小王与小张的速度各是多少？

（3）出发几小时后小王追上小张？

此时他们距甲地有多远？

变式训练

1．生物学研究表明，夏天青蛙每小时叫的次数y是当时温度

℃的一次函数．当温度是30℃时，青蛙每小

时叫200次；当温度是31℃时，青蛙每小时叫210次，若青蛙每小时叫260次，问当时的温度是多少？

2．A、B两地相距50km.甲于某日下午1点骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地．如图所示，折线PQR和线段MN分别表示甲和乙行驶的路程s与该日下午时间t之间的关系，

（1）甲出发多长时间，乙才开始出发？

（2）乙行驶多少小时就追上了甲？

这时两人离B地还有多少千米？

二、学法提炼

１、解题方法

（1）两直线的交点坐标就是由两直线的表达式组成的方程组的解。

（2）对于与图像结合的实际应用型的题目，首先要弄清坐标轴所代表的含义，并要弄清特殊点（图像交点、拐点等）的含义。

２、注意事项

实际应用类题目要注意自变量的取值范围

一、能力培养

综合题1.如图所示是一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象．根据图象解答问题：

（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程中路程随时间变化的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？

（3）快艇出发多长时间后赶上轮船？

二、能力点评

1.本题第1问求一次函数解析式，只要在图像上找两点，再用待定系数法求即可。

第2问，速度等于路程除以时间，但要注意计算时要把路程与时间对应起来，即路程应该是图像上两点纵坐标的差，时间为这两点对应的横坐标的差。

并且通过计算可以发现图像越陡峭，速度越大，反之越小。

第3问，当快艇离甲港的距离与轮船离甲港的距离相同时，快艇就追上轮船，也就是说同一时刻，两船离甲港的距离相同，反映在图像上就是两条图像的交点，对应了追上时的时间与距甲港的距离。

2.从本题我们可以得到以下几点

（1）在路程—时间图像中计算速度时，要注意把路程与时间对应起来；

（2）路程—时间图像中，相遇时的路程、时间，对应两图像交点的坐标；

学法升华

一、知识收获

二、方法技巧总结

1.用图象法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：

（2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；

（3）写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y．

2.直线

与

的位置关系：

若

则两直线平行，无交点，所以方程组无解；若

则两直线重合，方程组有无数组解；若

则方程组有唯一的一组解．

3．利用二元一次方程组求一次函数表达式的步骤：

（1）设出函数表达式：

y=kx+b；

（2）把已知条件代入，得到关于k、b的方程组；

（3）解方程组，求出k、b的值；（4）写出其表达式．

4.路程时间图像

（1）在路程—时间图像中计算速度时，要注意把路程与时间对应起来；

（2）路程—时间图像中，相遇时的路程、时间，对应两图像交点的坐标；

课后作业

夯实基础

1．直线

和

的交点坐标是（）．

A．（2，-2）B．（-2，2）C．（2，2）D．（-2，-2）

2．若方程组

没有解，由此可知一次函数y=-x+5与

的图象必定（）．

A．相交B．重合C．平行D．无法判断

3．已知一次函数y=2x+a与y=-x+b都经过点A（-2，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积为（）．

A.4B.5C.6D.7

4．已知一次函数y=2x+5和y=kx+b的图象有交点（-1，3），试写出一组k与b的值：

k=____，b=__．

5．直线y=x+6和直线y=-x+6与x轴围成的三角形的面积是____

6．设方程组

的解满足xl，则整数k的个数是（）．

A．1B．2C．3D．4

能力提升

7．两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的信息解答问题：

（1）整齐叠放在桌面上的饭碗的高度y（cm）是饭碗数x（个）的一次函数，求y关于x的函数表达式；

（2）若桌面上有12个饭碗整齐叠放成一摞，求出它的高度．

8．如图，直线

与直线

相交于点P（1，b）.

（1）求b的值；

（2）请直接写出关于x、y的方程组

的解；

（3）直线

是否也经过点P?

请说明理由．

9．如图，

分别表示甲步行与乙骑自行车（在同一条路上）经过的路程s与时间t的关系，观察图象，回答下列问题．

（1）乙出发时，与甲相距____km；

（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车时间为____h；

（3）乙出发后____h与甲相遇；

（4）求甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式；

（5）如果乙的自行车不发生故障，求乙出发后几小时与甲相遇，相遇处距乙的出发点多少千米？