高考数学一轮复习 113 相互独立事件同时发生的概率教案.docx
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高考数学一轮复习113相互独立事件同时发生的概率教案
2019-2020年高考数学一轮复习11.3相互独立事件同时发生的概率教案
●知识梳理
1.相互独立事件：
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
2.独立重复实验：
如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k.
3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
第一，相互独立也是研究两个事件的关系；
第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.
4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.
5.事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.
当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别.·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=.
●点击双基
1.（xx年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）
C.1－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）
解析：
恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p1（1－p2）+p2（1－p1）.
答案：
B
2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为
A.0B.1C.2D.3
解析：
由C（）k（）5－k=C（）k+1·（）5－k－1，
即C=C，k+（k+1）=5，k=2.
答案：
C
3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）
A.B.C.D.
解析：
P=××=.
答案：
C
4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.
解析：
P=××+××+××=.
答案：
5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.
解析：
因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=（1－）（1－）×=.
答案：
●典例剖析
【例1】（xx年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.
（1）两人都抽到足球票的概率是多少?
（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?
解：
记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，
于是P（A）==，P（）=；P（B）==，P（）=.
由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件.
（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P（A·B）=P（A）·P（B）=·=.
答：
两人都抽到足球票的概率是.
（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件·发生）的概率为
P（·）=P（）·P（）=·=.
∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为
P=1－P（·）=1－=.
答：
两人中至少有1人抽到足球票的概率是.
【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：
先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.
解：
设事件A：
从第一个盒子中取得一个标有字母A的球；事件B：
从第一个盒子中取得一个标有字母B的球，则A、B互斥，且P（A）=，P（B）=；事件C：
从第二号盒子中取一个红球，事件D：
从第三号盒子中取一个红球，则C、D互斥，且P（C）=，P（D）==.
显然，事件A·C与事件B·D互斥，且事件A与C是相互独立的，B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P（A·C+B·D）=P（A·C）+P（B·D）=P（A）·P（C）+P（B）·P（D）=.
∴本次试验成功的概率为.
【例3】（xx年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
解：
（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶.
记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，
则p=P（A）=.
题
（1）即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为P7（5）=Cp5（1－p）2=C（）7=.
（2）有且仅有3种情形满足要求：
甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.
所求概率为P6（5）+P5（5）+P4（4）=Cp5（1－p）+Cp5+Cp4=.
答：
甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为.
●闯关训练
夯实基础
1.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有
A.A与B.A与C.与BD.与
解析：
由定义知，易选A.
答案：
A
2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是
A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42
解析：
P=（1－0.3）（1－0.4）=0.42.
答案：
D
3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.
解析：
该生被选中，他解对5题或4题.
∴P=（）5+C×（）4×（1－）=.
答案：
4.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.
解析：
P=1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.
答案：
0.72
培养能力
5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，
（1）至少有2天预报准确的概率是多少？
（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
解：
（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即
C·0.82·0.2+C·0.83=0.896.
∴至少有2天预报准确的概率为0.896.
（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为
2·0.82·0.2+0.83=0.768.
∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.
6.（xx年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，
（1）恰有一套设备能正常工作的概率；
（2）能进行通讯的概率.
解：
记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.
由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，
P（）=1－p3，P（）=1－p3.
（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P（A·+·B）=P（A·）+P（·B）
=p3（1－p3）+（1－p3）p3=2p3－2p6.
（2）方法一：
两套设备都能正常工作的概率为
P（A·B）=P（A）·P（B）=p6.
至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为
P（A·+·B）+P（A·B）=2p3－2p6+p6=2p3－p6.
方法二：
两套设备都不能正常工作的概率为
P（·）=P（）·P（）=（1－p3）2.
至少有一套设备能正常工作的概率，
即能进行通讯的概率为1－P（·）=1－P（）·P（）=1－（1－p3）2=2p3－p6.
答：
恰有一套设备能正常工作的概率为2p3－2p6，能进行通讯的概率为2p3－p6.
7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.
解：
从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为×=；
从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为×=.
所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为+==.
探究创新
8.（xx年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
解：
（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，
由题设条件有
①
②
③
即
由①③得P（B）=1－P（C），
代入②得27［P（C）］2－51P（C）+22=0.
解得P（C）=或（舍去）.
将P（C）=分别代入③②可得P（A）=，P（B）=，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则
P（D）=1－P（）=1－［1－P（A）］［1－P（B）］［1－P（C）］=1－··=.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.
●思悟小结
1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）.
2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.
3.善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生k次的概率.
●教师下载中心
教学点睛
1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P（A）·P（B）.
2.A、B中至少有一个发生：
A+B.
（1）若A、B互斥：
P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.
（2）若A、B相互独立（不互斥）.
法一：
P（A+B）=P（A·B）+P（A·）+P（·B）；
法二：
P（A+B）=1－P（·）；
法三：
P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.
3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.
4.n次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn（k）=Cpk（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.
拓展题例
【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.
解法一：
用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=.这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率
Pn（r）=Cpr（1－p）n－r=C·（）r·（1－）n－r=.
解法二：
用古典概型.把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果.其中1号盒内恰有r个球的结果数为C（m－1）n－r，故所求概率P（A）=.
答：
1号盒恰有r个球的概率为.
【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？
分析：
4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k次（k≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k次（k≥1）的概率，由此建立不等式求解.
解：
4引擎飞机成功飞行的概率为
CP2（1－P）2+CP3（1－P）+CP4=6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4.
2引擎飞机成功飞行的概率为CP（1－P）+CP2=2P（1－P）+P2.
要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4≥2P（1－P）+P2.
化简，分解因式得（P－1）2（3P－2）≥0.
所以3P－2≥0，
即得P≥.
答：
当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.
2019-2020年高考数学一轮复习12.1抽样方法与总体分布的估计教案
●网络体系总览
●考点目标定位
1.了解简单随机抽样、分层抽样及系统抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样.
2.会用样本频率分布估计总体分布.
3.会用样本估计总体平均值和方差.
●复习方略指南
在本章的复习中，要理解几种抽样方法的区别与联系.应充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率统计中处理问题的基本思想方法，掌握所学的概率统计知识的实际应用.
这部分内容高考命题趋向主要以选择题、填空题为主，重点考查基础知识、基本概念及其简单的应用.
对有关概率统计的应用题要多加关注.
12.1抽样方法与总体分布的估计
●知识梳理
1.简单随机抽样：
一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
2.分层抽样：
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
3.两种抽样方法的比较（略）.
4.总体：
在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.
5.频率分布：
用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
6.总体分布：
从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n的样本，就是进行了n次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
●点击双基
1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是
A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体
C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100
解析：
这个问题我们研究的是运动员的年龄情况.因此应选D.
答案：
D
2.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是
A.B.C.D.
解析：
用简单随机抽样法从中抽取，则每个个体被抽到的概率都相同为，所以选C.
答案：
C
3.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n的值为
A.640B.320C.240D.160
解析：
∵=0.125，∴n=320.故选B.
答案：
B
4.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法中较合适的抽样方法是___________.
解析：
要研究的总体里各部分情况差异较大，因此用分层抽样.
答案：
分层抽样
5.某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：
分数段
［0，80）
［80，90）
［90，100）
人数
2
）
5
6
分数段
［100，110）
［110，120
［120，130）
人数
8
12
6
分数段
［130，140）
［140，150）
人数
4
2
那么分数在［100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是______________、_______（精确到0.01）.
解析：
由频率计算方法知：
总人数=45.
分数在［100，110）中的频率为=0.178≈0.18.
分数不满110分的累积频率为=≈0.47.
答案：
0.180.47
●典例剖析
【例1】（xx年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法
C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法
剖析：
此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.
依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.
答案：
B
评述：
采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定.
【例2】（xx年福建，15）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是___________.
剖析：
此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.
∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码是63.
答案：
63
评述：
当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样.采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行.
【例3】把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.
剖析：
已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79=0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.
由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，故后三组共有的频数为21，依题意=21，a1（1+q+q2）=21.∴a1=1，q=4.∴后三组频数最高的一组的频数为16.
答案：
16
评述：
此题剖析只按第二种思路给出了解答，你能按第一种思路来解吗？
【例4】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
寿命（h）
100～200
200～300
300～400
400～500
500～600
个数
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；
（3）估计电子元件寿命在100～400h以内的概率；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率.
剖析：
通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.
解：
（1）频率分布表如下：
寿命（h）
频数
频率
累积频率
100～200
20
0.10
0.10
200～300
30
0.15
0.25
300～400
80
0.40
0.65
400～500
40
0.20
0.85
500～600
30
0.15
1
合计
200
1
（2）频率分布直方图如下：
（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65.
（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35.
评述：
画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.
●闯关训练
夯实基础
1.（xx年江苏，6）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为
A.0.6hB.0.9hC.1.0hD.1.5h
解析：
=0.9.
答案：
B
2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为
A.7，5，8B.9，5，6
C.6，5，9D.8，5，7
解析：
45×=×45=9，25×=5，30×=6.
答案：
B
3.某单位共有N个职工，要从N个职工中采用分层抽样法抽取n个样本，已知该单位的某一部门有M个员工，那么从这一部门中抽取的职工数为___________.
答案：
4.下图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空：
（1）样本数据落在范围［6，10）内的频率为___________；
（2）样本数据落在范围［10，14）内的频数为___________；
（3）总体在范围［2，6）内的概率约为___________.
答案：
（1）0.32
（2）36（3）0.08
5.举例说明简单随机抽样和分层抽样两种抽样方法，无论使用哪一种抽样方法，总体中的每一个个体被抽到的概率都相等.
解：
袋中有160个小球，其中红球48个，蓝球64个，白球16个，黄球32个，从中抽取20个作为一个样本.
（1）使用简单随机抽样：
每个个体被抽到的概率为=.
（2）使用分层抽样：
四种球的个数比为3∶4∶1∶2.红球应抽×20=6个；蓝球应抽×20=8个；白球应抽×20=2个；黄球应抽×20=4个.由于====，所以，按颜色区分，每个球被抽到的概率也都是.
培养能力
6.某工厂生产的产品，可分为一等品、二等品、三等品三类，根据抽样检验的记录有一等品54个、二等品140
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