v2
2丄12_1/2丄1
2mivi十°m2V2=qmivi十qm2V2解得vi，=mLm2vi十2m2v2
mi十m2
（2）分析讨论：
当碰前物体2的速度不为零时，若mi=m2,则vi'=V2,V2‘=Vi,即两物体交换速度•
当碰前物体2的速度为零时，V2=0,则：
_（mi—m2Vi,_2miVi
Vimi+m2'2mi+m2，
1mi=m2时，vi'=0,v2'=vi,碰撞后两物体交换速度•
2m^m?
时，vi'>0,v2'>0，碰撞后两物体沿同方向运动•
3mi0，碰撞后质量小的物体被反弹回来•
侧3（多选）两个小球A、B在光滑水平面上相向运动，已知它们的质量分别是mi=4kg,m2=2kg,A的速
度vi=3m/s（设为正）,B的速度V2=—3m/s，则它们发生正碰后，其速度可能分别是（）
A.均为im/sB.十4m/s和一5m/s
C.+2m/s和一im/sD.—im/s和5m/s
答案AD
解析由动量守恒，可验证四个选项都满足要求.再看动能情况
i2i2ii
Ek=^mivi十^m2V2=4X9J+5X2X9J=27J
'i'2十i'2
Ek=^mivi十？
m2V2
由于碰撞过程动能不可能增加，所以应有Ek>Ek'，可排除选项B.选项C虽满足Ek>Ek'，但A、B沿同一
直线相向运动，发生碰撞后各自仍能保持原来的速度方向（Va'>0,vB'<0），这显然是不符合实际的，因此C
错误.验证选项A、D均满足Ek>Ek'，故答案为选项A（完全非弹性碰撞）和选项D（弹性碰撞）.
侧4】（20i6全国卷川35
（2））如图3所示，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b
3
相距I,b与墙之间也相距I;a的质量为m,b的质量为：
m.两物块与地面间的动摩擦因数均相同.现使a以初速
度V0向右滑动.此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞.重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件.
答案
1212.
2mvo=^mvi+1mgl
B
A
C
图4
答案（.5—2）MWmvM
22
32vovo
Wu<
113gl"2gl
mv0=mv1十Mv2
要使得A与B能发生碰撞，需要满足v1vo,即mvM
A反向向左运动与B发生碰撞过程，有
mvi=mv3+MV4
由于mvM，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足EJ
2m
m+Mv0
M—mm—M2m+Mvim+M）vo
整理可得m2+4Mm>M2解方程可得m》（5—2）M
另一解mW—（5+2）M舍去
所以使A只与B、C各发生一次碰撞，须满足
（5—2）MWmvM
拓展点1“滑块一弹簧”碰撞模型
【例5】如图5所示，质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根水平轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5m,这段滑板与木块A（可视为质点）之间的动摩擦因数卩=0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑•木块A以速度vo=10m/s由滑板B左端开始沿滑板B上表面向右运动.已知木块A的质量m=1kg,g取10m/s2.求：
D
E
图5
（1）弹簧被压缩到最短时木块A的速度大小；
（2）木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能.
答案
（1）2m/s
（2）39J
解析
（1）弹簧被压缩到最短时，木块A与滑板B具有相同的速度，设为v,从木块A开始沿滑板B上表面向
右运动至弹簧被压缩到最短的过程中，整体动量守恒，以向右为正方向，则mvo=（M+m）v解得v=曲0代入数据得木块A的速度v=2m/s⑵在木块A压缩弹簧过程中，弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，由能量关系知，最大弹性势能为
1212
Epm=?
mvo—2（m+M）v—卩mgL
代入数据得Epm=39J.
拓展点2“滑块一平板”碰撞模型
【例6如图6所示，质量m1=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=1.5m，现有质量m2=0.2kg可
视为质点的物块，以水平向右的速度v°=2m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止.物块与车面间的动摩擦因数=0.5，取g=10m/s2，求：
（1）物块与小车共同速度大小；
（2）物块在车面上滑行的时间t;
（3）小车运动的位移大小x;
（4）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度V。
’不超过多少?
答案
（1）0.8m/s
（2）0.24s（3）0.096m（4）5m/s
解析
（1）设物块与小车共同速度为v,以水平向右为正方向，
根据动量守恒定律：
m2vo=（mi+m2）v
解得v=0.8m/s
（2）设物块与车面间的滑动摩擦力为Ff，对物块应用动量定理:
—Fft=m2v—m2v0
又Ff=ymg
解得：
t=v0—v
ug
代入数据得t=0.24s
12
（3）对小车应用动能定理：
umgx=^m1v
解得x=0.096m
⑷要使物块恰好不从小车右端滑出，须使物块运动到小车右端时与小车有共同的速度，设其为v’,以水平向
右为正方向，则：
m2v0‘=（m1+m2）v'
由系统能量守恒有：
代入数据解得v°’=5m/s
v°’不超过5m/s.
故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度
拓展点3“滑块一斜面”碰撞模型
【例7（2016全国卷II35
（2））如图7所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板
上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑
m1
地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m（h小于斜面体的高度）.已知小孩与滑板的总质量为
=30kg,冰块的质量为m2=10kg，小孩与滑板始终无相对运动.取重力加速度的大小g=10m/s12.
图7
答案
（1）20kg⑵不能，理由见解析
解析
（1）规定向左为速度正方向•冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为V,
斜面体的质量为m3.由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得
m2vo=（m2+m3）V
121|2|
^m2Vo=2（m2+m3）V+m2gh
式中Vo=3m/s为冰块推出时的速度.联立①②式并代入题给数据得
①
②
m3=20kg
（2）设小孩推出冰块后的速度为V1,由动量寸恒疋律有
③
m1V1+m2vo=0
代入数据得V1=—1m/s
④
⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为V2和V3,由动量守恒和机械能守恒定律有
m2V0=m2V2+m3V3
⑥
1212.12
^m2V0=^m2V2十jm3V3
联立③⑥⑦式并代入数据得
⑦
V2=—1m/s
⑧
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩
命题点三“人船模型”问题
J能力考点师生共硏'
'1两个物体
1.特点2动量守恒
[.（3总动量为零
2方程
m1V1—m2V2=0（V1、V2为速度大小）
3.结论
m1X1=m2X2（x「X2为位移大小）
【例8长为L、质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人立在船头，
人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少？
若不计水的阻力和空气阻力，当
答案见解析
解析选人和船组成的系统为研究对象，因系统在水平方向不受力，所以动量守恒，人未走时系统的总动量为
零.当人起步加速前进时，船同时加速后退；
•设某时刻人
当人匀速前进时，船匀速后退；当人减速前进时，船减速后退；当人速度为零时，船速度也为零对地的速率为V1,船对地的速率为V2，以人运动的方向为正方向，根据动量守恒定律得
mv1一Mv2=0①
因为在人从船头走到船尾的整个过程中时刻满足动量守恒，对①式两边同乘以At,得
mxi—Mx2=0②
②式为人对地的位移和船对地的位移关系•由图还可看出：
X1+X2=L③
图8
【变式3如图8所示，质量为M的气球下挂着长为L的绳梯，一质量为m的人站在绳梯的下端，人和气球静
（不计空气阻力）
止在空中，人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离分别是多少?
答案见解析解析由于人和气球组成的系统静止在空中，竖直方向系统所受外力之和为零即系统竖直方向总动量守恒
设某时刻人对地的速率为V1,气球对地的速率为V2,以人运动的方向为正方向，根据动量守恒定律得
mv1一Mv2=0①
因为在人从绳梯的下端爬到顶端的整个过程中时刻满足动量守恒定律，对①式两边同乘以At,可得mx=My
由题意知x+y=L
即人相对于地面移动的距离是
M
M+mL.
气球相对于地面移动的距离是
m
M+mL.
命题点四“子弹打木块”模型问题
■能力考点师生共研
1•木块放在光滑水平面上，子弹水平打进木块，系统所受的合外力为零，因此动量守恒
2.两者发生的相对位移为子弹射入的深度x相.
3•根据能量守恒定律，系统损失的动能等于系统增加的内能
4.系统产生的内能Q=FfX相，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能）,等于摩擦力大小与
两物体相对滑动的路程的乘积.
5.当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为AEk=FfL（L为木块的长度）.
【例9一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度vo水平打进木块并留在其中,
设子弹与木块之间的相互作用力为Ff.则:
（1）子弹、木块相对静止时的速度是多少?
（2）子弹在木块内运动的时间为多长?
（3）子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少?
（4）系统损失的机械能、系统增加的内能分别是多少?
（5）
要使子弹不射出木块，木块至少多长?
2
（2）设子弹在木块内运动的时间为t，由动量定理得对木块：
Fft=Mv-o
解得t
Ff（M+m）
2
解得：
Xi=
MmM+2mvo
2FfM+m
12
对木块：
FfX2=^Mv
（4）系统损失的机械能为
1212Mmvo
E损=：
mvo—（M+m）v=
22）2（M+mj
系统增加的内能为Q=Ffx相=Mmv
2（M+m
系统增加的内能等于系统损失的机械能
（5）假设子弹恰好不射出木块，此时有
1212FfL=qmvo—^（M+m）v
Mmvo2
解得L=—
2Ff（M+m）
2
因此木块的长度至少为
Mmvo
2Ff（M+m.
【变式4】（2018青海平安模拟）如图9所示，质量为2m、长为L的木块置于光滑水平面上，质量为m的子弹以
初速度v0水平向右射向木块，穿过木块的过程中受到木块的恒定阻力为
Ff=5器，试问子弹能否穿过木块？
若能穿过，求出子弹穿过木块后两者的速度；若不能穿过，求出子弹打入木块后两者的速度
答案见解析
图9
mvo=mv1+2mv2
课时作业
限时训缭练规范练速度
V双基巩固练
1•现有甲、乙两滑块，质量分别为3m和m,以相同的速率v在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞.已知碰撞
后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是（）
A.弹性碰撞
B.非弹性碰撞
C.完全非弹性碰撞
答案A
D.条件不足，无法确定
2.（2018福建福州模拟）一质量为M的航天器正以速度vo在太空中飞行，某一时刻航天器接到加速的指令后，
发动机瞬间向后喷出一定质量的气体，气体喷出时速度大小为vi，加速后航天器的速度大小为V2,则喷出气
体的质量m为（）
V2—vi
A.-M
vi
v2
B.vM
v2—vi
v2—v°
C.v2+v-M
v2—v°
D.vM
v2—v1
答案C
3•如图1所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视为质点，质量相等.Q与水平轻弹簧相连，设Q静
止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞•在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于（）
PAwuWVQ
图1
A.P的初动能
1
B.P的初动能的2
1
C.P的初动能的3
答案B
1
D.P的初动能的；
4
4.（多选）如图2甲所示，在光滑水平面上的两个小球发生正碰•小球的质量分别为mi和m2•图乙为它们碰撞前后
的x—t图象•已知mi=0.1kg.由此可以判断（）
A.碰前m2静止，mi向右运动
B.碰后m2和mi都向右运动
C.m2=0.3kg
D.碰撞过程中系统损失了0.4J的机械能
答案AC
方向只有向右才能与m2相撞，故A正确；
由题图乙读出，碰后m2的速度为正方向，说明向右运动，mi的速度为负方向，说明向左运动，故B错误;
由题图乙求出碰后m2和m1的速度分别为v2'=2m/s,v1,=-2m/s,根据动量守恒定律得，m1v1=m1v1'+m2V2‘，代入解得，m2=0.3kg,故C正确；
碰撞过程中系统损失的机械能为AE=Imivi—^mivi'2—1m2V2‘2,代入解得，AE=0J,故D错误.
5.（多选）在光滑的水平面上有质量相等的A、B两球，其动量分别为10kgm/s与2kgm/s，方向均向东，且规定该方向为正方向，A球在B球后，当A球追上B球时发生正碰，则相碰以后，A、B两球的动量可能分别为（）
A.6kgm/s,6kgm/s
B.—4kgm/s,16kgm/s
C.6kgm/s,12kgm/s
D.3kgm/s,9kgm/s
答案AD
6.（多选）如图3所示，质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹
角为—个质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上以初速度Vo开始运动.当小物块沿斜面向上运动到最高点
时，速度大小为v,距地面高度为h，则下列关系式中正确的是（）
A.mvo=（m+M）v
B.mv0cos0=（m+M）v
12
C.mgh=©m（V0Sin0）
D.
A.向右运动
B.向左运动
C.静止不动
D.小球下摆时，车向左运动后又静止
答案D
解析水平方向上，系统不受外力，因此在水平方向上动量守恒.小球下落过程中，水平方向具有向右的分速
度，因此为保证动量守恒，小车要向左运动.
当撞到橡皮泥，是完全非弹性碰撞，A球和小车大小相等、方向相反的动量恰好抵消掉，小车会静止.
丫综合提升练
9.（多选）质量为M和mo的滑块用轻弹簧连接，以恒定的速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m
的静止滑块发生碰撞，如图5所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列情况可能发生的是（）
丿
图5
A.M、m0、m速度均发生变化，分别为v2、v3,而且满足（M+m0）v=Mv1+m0V2+mv3
B.m0的速度不变，M和m的
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