四年高考数学理试题分项版解析专题13 等差与等比数列解析版.docx
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四年高考数学理试题分项版解析专题13等差与等比数列解析版
等差与等比数列
2019年高考全景展示
1．【2019年高考全国I卷理数】记
为等差数列
的前n项和．已知
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，
，解得
，∴
，
故选A．
2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列
的前4项和为15，且
，则
A．16B．8
C．4D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为
，则
，
解得
，
，故选C．
3．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若
，则S5=____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为
，由已知
，所以
又
，
所以
所以
．
4．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，
，则
___________.
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因
，所以
，即
，
所以
．
5．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】0，
.
【解析】等差数列
中,
得
又
所以公差
由等差数列
的性质得
时,
时,
大于0,所以
的最小值为
或
即为
.
6．【2019年高考江苏卷】已知数列
是等差数列，
是其前n项和.若
，则
的值是_____.
【答案】16
【解析】由题意可得：
，
解得：
，则
.
7．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，
，
.
（I）证明：
{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（I）见解析；
（2）
，
.
【解析】
（1）由题设得
，即
．
又因为a1+b1=l，所以
是首项为1，公比为
的等比数列．
由题设得
，即
．
又因为a1–b1=l，所以
是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由
（1）知，
，
．
所以
，
．
2018年高考全景展示
1.【2018年理新课标I卷】设
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
详解：
设该等差数列的公差为
，根据题中的条件可得
，
整理解得
，所以
，故选B.
点睛：
该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差
的值，之后利用等差数列的通项公式得到
与
的关系，从而求得结果.
2．【2018年理北京卷】设
是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则
的通项公式为__________．
【答案】
【解析】分析：
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.
详解：
点睛：
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
3．【2018年理新课标I卷】记
为数列
的前
项和，若
，则
_____________．
【答案】
【解析】分析：
首先根据题中所给的
，类比着写出
，两式相减，整理得到
，从而确定出数列
为等比数列，再令
，结合
的关系，求得
，之后应用等比数列的求和公式求得
的值.
详解：
根据
，可得
，两式相减得
，即
，当
时，
，解得
，所以数列
是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以
，故答案是
.
点睛：
该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令
，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
4．【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅱ）设
，数列
前n项和为
.由
解得
.
由（Ⅰ）可知
，所以
，故
，
.设
，
所以
，因此
，
又
，所以
.
点睛：
用错位相减法求和应注意的问题：
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“
”与“
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
5．【2018年理数全国卷II】记
为等差数列
的前
项和，已知
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）求
，并求
的最小值．
【答案】
（1）an=2n–9，
（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】分析：
（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，
（2）根据等差数列前n项和公式得
的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由
（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
点睛：
数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
2017年高考全景展示
1.【2017课标1，理4】记
为等差数列
的前
项和．若
，
，则
的公差为
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】
试题分析：
设公差为
，
，
，联立
解得
，故选C.
秒杀解析：
因为
，即
，则
，即
，解得
，故选C.
【考点】等差数列的基本量求解
【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如
为等差数列，若
，则
.
2.【2017课标3，理9】等差数列
的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则
前6项的和为
A．
B．
C．3D．8
【答案】A
【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算
【名师点睛】
（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.
（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
3.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【答案】B
【解析】
试题分析：
设塔的顶层共有灯
盏，则各层的灯数构成一个首项为
，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：
，解得
，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。
【考点】等比数列的应用；等比数列的求和公式
【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。
4.【2017课标3，理14】设等比数列
满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.
【答案】
【解析】
试题分析：
设等比数列的公比为
，很明显
，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由
可得：
，代入①可得
，
由等比数列的通项公式可得：
.
【考点】等比数列的通项公式
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
5.【2017课标II，理15】等差数列
的前
项和为
，
，
，则
。
【答案】
【解析】
试题分析：
设等差数列的首项为
，公差为
，
由题意有：
，解得
，
数列的前n项和
裂项有：
，据此：
。
【考点】等差数列前n项和公式；裂项求和。
【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。
数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。
6.【2017北京，理10】若等差数列
和等比数列
满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则
=_______.
【答案】1
【解析】
试题分析：
设等差数列的公差和等比数列的公比为
和
，
，求得
，那么
.
【考点】等差数列和等比数列
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1卷】已知等差数列
前9项的和为27,
则
（）
（A）100（B）99（C）98（D）97
【答案】C
【解析】
试题分析：
由已知,
所以
故选C.
考点：
等差数列及其运算
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
2.【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.
【答案】
考点：
1、等比数列的定义；2、等比数列的前
项和．
【易错点睛】由
转化为
的过程中，一定要检验当
时是否满足
，否则很容易出现错误．
3．【2016高考江苏卷】已知
是等差数列，
是其前
项和.若
，则
的值是.
【答案】
【解析】由
得
，因此
考点：
等差数列性质
【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于
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