最新沪科版初二数学上册第14章 全等三角形 全单元教案.docx

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最新沪科版初二数学上册第14章全等三角形全单元教案

14．1　全等三角形

教学目标

1．了解全等形及全等三角形的概念，掌握全等三角形的表示方法，理解和掌握全等三角形的性质；（重点）

2．了解对应边和对应角的概念，能准确找到全等三角形的对应边和对应角；（难点）

3．学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验，在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣．

教学过程

一、情境导入

在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．

你能再举出一些例子吗？

二、合作探究

探究点一：

全等图形的认识

【类型一】全等形的概念

下列图形中是全等图形的有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

解析：

结合图形，两个等边三角形是全等形，两个正六边形是全等形，两个正五边形是全等形，两个正方形大小不相等，所以不是全等形．故全等图形有3对．故选C.

方法总结：

根据全等形的定义：

能够完全重合的两个图形是全等形，对各图形进行判断．

【类型二】全等形的性质

下列说法正确的是____________（填写语句的序号）．

①形状相同的图形是全等图形；

②边长相等的等边三角形是全等图形；

③面积相等的三角形是全等三角形；

④平移前后的两个图形一定是全等形；

⑤全等图形的对应边和对应角都相等．

解析：

根据全等图形的性质对各小题分析判断即可得解．①形状相同，大小相等的图形是全等图形，故本小题错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确．所以，正确的说法有②④⑤.故答案为②④⑤.

方法总结：

本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的概念与性质以及平移变换的性质是解题的关键．

探究点二：

全等三角形的对应元素及性质

【类型一】全等三角形的对应元素

如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．

解析：

结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．

解：

△BOD与△COE的对应边为：

BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：

∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.

方法总结：

找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．

【类型二】应用全等三角形的性质求三角形的角或边

如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数和EC的长．

解析：

根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE，根据全等三角形对应边相等可得EF＝BC，然后推出EC＝BF.

解：

∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－50°＝100°.∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC，∴EF－CF＝BC－CF，即EC＝BF.∵BF＝2，∴EC＝2.

方法总结：

本题主要考查了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理；在全等三角形中，正确寻找对应边和对应角对解决问题非常关键．

【类型三】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用

如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．

解析：

根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．

解：

∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.

方法总结：

本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．

三、板书设计

教学反思

首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．最后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理．通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．

第14章全等三角形

14.1全等三角形

教学目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

教学重点

全等三角形的性质．

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

1、问题：

你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

这两个三角形是完全重合的．

2．学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．

3．获取概念

让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．

概括全等形的准确定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．

Ⅱ．导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：

△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．

[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

问题：

△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．

∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．

总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

解：

对应角为∠BAE和∠CAD．

对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD．

[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）

借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠AED是对应角．所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．

做法二：

沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后，它正好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：

AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．

Ⅲ．课堂练习

课本练习．

Ⅳ．课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是大家要重点掌握的．

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻转法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

Ⅴ．作业

课本习题

板书设计

全等三角形

一、概念

二、全等三角形的性质

三、性质应用

例1：

（运动角度看问题）

例2：

（根据位置来推理）

例3：

（根据位置和运动角度两种办法来推理）

四、小结：

找对应元素的方法

运动法：

翻折、旋转、平移．位置法：

对应角→对应边，对应边→对应角．

14．2　三角形全等的判定

1．两边及其夹角分别相等的两个三角形

教学目标

1．掌握三角形全等的“SAS”判定，能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题；（重点）

2．经历探索三角形全等条件的过程，体验利用操作、归纳获得数学结论的过程；

3．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．（难点）

教学过程

一、情境导入

小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？

请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．

想一想：

要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？

只知道一个条件（一角或一边）行吗？

两个条件呢？

三个条件呢？

让我们一起来探索三角形全等的条件吧！

二、合作探究

探究点一：

利用“SAS”判定三角形全等

【类型一】两边及夹角分别相等的两个三角形全等

如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：

△AEF≌△BCD.

解析：

由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE＝BC，根据“SAS”即可证得△AEF≌△BCD.

证明：

∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵

∴△AEF≌△BCD（SAS）．

方法总结：

判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【类型二】两边及对角分别相等的两个三角形不全等

下列能判断△ABC≌△A′B′C′的条件是（　　）

A．∠B＝135°，∠B′＝135°，AB＝B′C′，BC＝C′A′

B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′

C．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝45°

D．AB＝BC＝CA，A′B′＝B′C′＝C′A′，∠B＝∠A′

解析：

∵△ABC≌△A′B′C′，∴确定了两个三角形的对应顶点，A与A′对应，B与B′对应，C与C′对应．选项A中BC＝C′A′不是对应边因此不能判定两三角形全等，A错误；选项B中AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′中，符合判定定理“SAS”，所以可判断△ABC≌△A′B′C′，B正确；选项C中它们的对应关系是“SSA”，因此也无法判定两三角形全等，故C错误；选项D中不是对应边相等，因此也无法判定两三角形全等，D错误．故选B.

方法总结：

解答此类问题时，一般采用排除法，即先根据三角形全等的判定方法“SAS”逐一判断排除，然后确定符合条件的答案．

探究点二：

三角形全等的判定（“SAS”）与性质的综合运用

如图，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：

∠B＝∠C.

解析：

本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知判定一般的三角形全等的方法．利用“SAS”证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的对应角相等即可．

证明：

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C.

方法总结：

解决此类题型常用的方法是：

直接应用全等三角形的判定性质定理证明即可，注意在证明三角形全等时隐含的条件，如公共边、公共角、对顶角．

如图，已知A、B两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，现给出一种方案：

找两点C、D，使AD∥BC，且AD＝BC，量出CD的长即得AB的长．请说明理由．

解析：

由平行线的性质得到∠DAC＝∠BCA，然后通过证△ADC≌△CBA（SAS）得到AB＝CD.

解：

AB＝CD；理由如下：

如图，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.

∵在△ADC与△CBA中，

，∴△ADC≌△CBA（SAS），∴AB＝CD.

方法总结：

解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．

三、板书设计

教学反思

教学过程中，利用一个联系实际生活的问题对得到的知识加以运用，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现、思考，得出判定三角形全等的条件；最后再同样通过探究让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等，培养学生的独立思考与发散思维的能力．例题和练习以层层递进的形式以及学生自我提出问题的方式达到对知识的巩固；通过学生对例题和练习的思考，语言表述说理过程，板演推理过程和课件展示解题过程以及对解题过程中书写的规范要求和注意点的强调，培养学生严谨的逻辑思维、语言表达能力和规范的书写能力．

14.2三角形全等的判定

1.两边及其夹角分别相等的两个三角形

教学目标

1.知识与技能

理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”定理，深化证明思维。

2过程与方法

经历探究“边角边”判定两个三角形全等的定理的过程，能进行有条理的思索。

3情感态度与价值观

培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值

教学重点

运用“边角边”判定定理解决实际问题

教学难点

如何寻找适合“边角边”来证明全等的两块三角形

教学过程

一.复习回顾

1.上节课我们学习了全等三角形的有关性质是什么？

全等三角形的对应边相等.对应角相等

2.如图，如果△ABC≌△DEF请说出对应边、对应顶点、对应角。

二、新课讲解

三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？

1.只给定一个元素

一条边长为4cm

一个角为45°

若只给一条边时，C点可任意，能画很多不同的三角形,

若只给一个角时，线段BC无法确定，可以画很多不同的三角形。

2．若给定两个元素

两条边长为4cm、5cm.

一条边长为4cm,一个角为45°.

两个角分别为45°.

①

②③

结论：

给定两个条件仍不能确定一个三角形的形状和大小。

3．若给三个条件

三个角

两边一角

两角一边

三条边

4．研究两边一角的情况

利用尺规作图画出已知角和已知边

已知△ABC

⑴⑵

求作：

△A1B1C1，A1B1=AB，∠B1=∠B，B1C1=BC

作法：

①作∠MB1N=∠B

②在B1M上截取B1A1=BA，在B1N上截取B1C1=BC,

③连接A1C1

则△A1B1C1（图⑵）就是所求作的三角形.

同学们将这两个三角形重叠，看能否完全重合？

三角形全等判定定理1：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.记为“边角边”或“SAS”（S表示边,A表示角）

注意：

边角边中的角要是两边的夹角.

三、例题分析

1.例.已知：

如下图所示，在AB﹑AC上各取一点E﹑D，使AE=AD.连接BD﹑CE相交于点O，∠1=∠2连结，求证：

∠B=∠C.

分析：

要证明两个角相等，学过的方法有：

⑴两直线平行，同位角相等或内错角相等；⑵利用三角形全等的性质，本题利用方法二证明.

证明：

在△AEO与△ADO中

AE=AD

∠1=∠2

AO=AO

∴△AEO≌△ADO（SAS）

∴∠AEO=∠ADO（全等三角形对应角相等）

又∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠ADO=∠DOC+∠C,

∵∠EOB=∠DOC（对顶角相等）

∴∠B=∠C.

评析：

在分析问题时要把条件分析透彻，如该题先证得

△AEO≌△ADO后，推出OD=OE,∠AEO=∠AOD,∠EOA=∠DOA,这些结论在进一步证明中不一定全用到，但当分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思索.

2.阅读课本P98-99例1、例2

指导学生分析例题，并从中归纳出证明的思路、方法.

四.课堂练习

P100练习1，2，3

五.小结

1.边角边定理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

2.在应用定理时要注意：

对应的两边及这两边所夹的角相等.

六.作业布置

P111习题14.2第1题

七.反思：

2．两角及其夹边分别相等的两个三角形

教学目标

1．掌握三角形全等的判定“ASA”，并能应用它判别两个三角形是否全等，以及运用该条件解决一些简单的实际问题；（重点）

2．经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯及理性思维；（难点）

3．敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．

教学过程

一、情境导入

小林在帮姥姥做清洁时不小心打碎了装饰柜门上的一块三角形玻璃（碎后形状如图所示），小林决定用自己积攒的零花钱到玻璃店给姥姥买一块一样大小的玻璃，请父亲给安装好．

请用尺规作图帮小林在下面的方框中作出与原三角形全等的图形（不写作法，保留作图痕迹）．

二、合作探究

探究点一：

利用“ASA”判定三角形全等

如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，AE＝AC，则（　　）

A．△ABC≌△AFE

B．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFC

D．△ABC≌△ADE

解析：

∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAF＝∠CAE＋∠DAF，即∠BAC＝∠DAE.∵∠E＝∠C，AE＝AC，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE（ASA）．故选D.

方法总结：

在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．

如图，已知∠BAC＝∠DAC，要利用“ASA”判定△ABC≌△ADC，则应添加的条件是________．

解析：

题目中已有条件∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，要用“ASA”判定△ABC≌△ADC还缺少一个角相等的条件，因此应该添加∠ACB＝∠ACD.故答案为∠ACB＝∠ACD.

方法总结：

“AAA”、“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

探究点二：

三角形全等的判定（“ASA”）与性质的综合运用

如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD.求证：

AE＝FC.

解析：

根据BE∥DF，可得∠ABE＝∠D，再利用“ASA”求证△ABE和△FDC全等即可．

证明：

∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠D.在△ABE和△FDC中，∠ABE＝∠D，AB＝FD，∠A＝∠F，∴△ABE≌△FDC（ASA），∴AE＝FC.

方法总结：

此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质证明△ABE和△FDC全等．

探究点三：

实际应用

某家装公司的员工在安装玻璃时，不小心将一块三角形玻璃打碎．要求他只带其中一块碎片到玻璃店去，就能配一块与原来一样的回来．请根据图形回答问题：

（1）碎片如图①，他应该带________去，原因是____________________________；

（2）碎片如图②，他应该带________去，原因是____________________________．

解析：

（1）带B去，原因是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

（2）带A去，原因是两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．

方法总结：

分别根据三角形全等的判定方法解答即可．本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

三、板书设计

教学反思

本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．

14.2三角形全等的判定

2.两角及其边角分别相等的两个三角形

教学目标

1.知识与技能

理解“角边角”判定两个三角形全等的方法。

2过程与方法

经历探究“角边角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索。

3情感态度与价值观

培养严谨的表述能力，体会几何中逻辑推理的应用价值

教学重点

学会运用“角边角”判定两个三角形全等的方法

教学难点

如何进行推理分析

教学过程

一.复习回顾

回忆“边角边”定理

由两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗？

为什么？

如右图：

AB=AB,∠B=∠B,AB1=AC

但△ABB1与△ABC不全等

二、新课讲解

已知△ABC

求作：

△A1B1C1，使∠B1=∠B，B1C1=BC，∠C1=∠C

作法：

①作线段B1C1=BC

②在B1C1的同旁，分别以B1,C1为顶点作∠MB1C1=∠ABC,∠NC1B1=∠C,B1M与C1N交于点A1.

则△A1B1C1就是所求作的三角形

（学生用剪刀剪下拼凑看能否重合）

全等三角形判定定理2：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，记为“角边角”或“ASA”

三、例题分析

1.例1.已知：

如下图所示，∠1=∠2,∠3=∠4,

求证：

△ADC≌△BCD

证明：

∵∠1=∠2,∠3=∠4（已知）

∴∠1+∠3=∠2+∠4

即∠ADC=∠BCD

在△ADC和△BCD中

∴△ADC≌△BCD（ASA）

归纳：

在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的条件

2．阅读课本P10