基于模糊层次分析法贫困生等级认定模型.docx
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基于模糊层次分析法贫困生等级认定模型
数学建模竞赛论文
论文题目：
贫困生等级认定问题
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2011年5月2日
基于模糊层次分析法的贫困生等级认定模型
摘要
本文利用层次分析法和模糊数学方法建立数学模型，利用MATLAB、LINGO、EXCEL软件求解，完成贫困生等级认定。
本文根据题目要求，认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内，所以全部的贫困生人数应该要控制在207人。
根据附件一有申报贫困生总人数为291人。
由于资金和政策的限制，并不是每位申报者都能得到贫困资助，2010年12月，国家提高大学生的资助标准，国家助学资助标准从原来生均2000提高到3000。
因此，贫困生等级认定工作突现了新的问题，给与不给相差悬殊，一般贫困和不贫困很难界定等等。
为了避免这种尴尬，本模型通过公平分配的方法很好的解决了问题。
根据附件一的申报者的自述，所给出的说明并不是很具体，为此本组对所给数据进行分析、细化、归类，在借助聚类分析理论，建立了估算家庭可供给该学生生活费的金额模型，通过估算家庭收入的权重、支出（包括生活支出、教育支出、医疗支出、意外支出等）的权重，得到该学生生活费的权重，应用聚类分析，判定该生的贫困情况。
本文将其转化为具体的数据，通过权值和“钱值”这两个概念的转换，利用excel和层次分析法的MATLAB的求解得到了了一组数据（附表三）。
根据这组数据的大小，本文采取从高到低取值，得到家庭情况相对贫困的207位同学的具体信息。
根据最小二乘法的原则，利用LINGO软件进行求解，得到A等助学金为62人，B等为104人，C等41人。
根据数据的大小来确定贫困生等级的认证，附表一得到结余的“钱值”和附表二层次分析法得到的数值设立它们的权值为
，再一次利用层次分析法得到数据，根据A、B、C等助学金人数多少来确定贫困生等级的具体信息。
关键词：
助学金，等级认定，“钱值”，权值，模糊数学，层次分析法
问题重述
每年9月下旬，贫困生认定工作在全校启动。
该项工作根据学校“家庭经济困难学生认定工作实施办法”（东华理工发【2008】27号）具体实施。
该项工作由学生资助管理中心负责，具体由各学院的认定工作领导（工作）小组进行认定。
认定对象涉及在校就读的二本、三本、高职所有年级的学生。
认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内。
2010年12月，国家提高了资助标准，国家助学资助标准从原来生均2000提高到3000。
因此，贫困生等级认定工作突现了新的问题，给与不给相差悬殊，一般贫困和不贫困很难界定等等。
假设贫困生的等级为3档，A等（一般贫困，约占贫困生的30%），B等（比较贫困，约占贫困生的50%），C等（特别贫困，约占贫困生的20%），尝试用数学建模的方法给出一种定量的，且易于实施的贫困生等级评定方法，并根据附件1所给各年级家庭经济困难情况表，对申请者进行贫困等级认定（各年级总人数见表一）。
表一各年级的总人数汇总表
年级
2004级
2005级
2006级
2007级
2008级
2009级
2010级
总人数
62
62
123
137
140
189
118
问题分析
本文要用到的数学方法是层次分析法，故先对一些概念做如下定义：
定义一若矩阵
满足
（Ⅰ）
（Ⅱ）
则称之为正互反矩阵（
=1）
定义二满足关系式（
）的正互反矩阵成为一直矩阵。
本文讨论的是贫困生等级认证问题。
作为贫困生，本文主要根据其家庭的具体情况分析。
家庭情况包括：
家庭年收入，家庭老、中、少各有多少人，家庭成员接受教育与否，家人患病具体情况，家处区域，是否遭受天灾人祸，是否低保，单亲还是孤儿，家庭债务情况等各个方面进行具体分析。
本文对以上各个方面都进行了非常具体的分析。
对家庭收入、消费支出、教育支出、医疗支出本文利用“钱值”代替权值，这对于本文的数据处理非常方便，而且能更清晰的表达出贫困程度。
家庭成员的具体组成本文细化为老中少三种类型，由于这些人的消费情况各不相同，本文给出老人的年均生活消费为1500元，成人年均生活消费为2500元，未成年人的年均生活消费为2000元。
根据附件1给出的描述得到每个家庭的人员组成情况，得到以下表达式
（1），
为家庭年均消费支出：
家庭成员的接受教育情况，本文考虑的为高等教育，高中，初中及以下教育情况。
根据教育程度的不同，它们的学费情况也有所差异，大学为6000元每人每年，高中4000元，初中及以下2000元。
据此，有表达式2，
为教育支出：
对于贫困家庭的医疗支出也是一笔很大的消费，本文分三种等级来讨论家庭成员的患病情况，并且给出了医疗费用。
老人为2000元每年，父母为3000元，其他成员为1500元每年。
得到表达式（3），
为医疗支出：
每位家庭的收入情况根据题目附件1的具体描述，同时参考统计年鉴得到的尽可能符合该家庭的收入数据。
以上的各种数据的处理结果见附表
（1）。
由于这些数据都是用钱值表示的，本文根据excel中的常用函数可以得到每个家庭当中消费余额。
本文用的是消费总数减去收入得到的结余，得到的数越大说明该家庭越困难，值越小或者撒负值越大则该家庭相对富裕。
对于另外的六种因素，分别为老少边穷地区（a）、遭受自然灾害（b）、低保（c）、单亲（d）、孤儿（e）、负债情况（f），本文给出了它们之间的权值，得到如表一的矩阵
然后通过层次分析法得到了具体的数值。
它们之间的权值表二：
表二
a
b
c
d
e
f
a
1
1/2
1/3
1/2
1/3
2/5
b
2
1
2/3
1
2/3
4/5
c
3
3/2
1
3/2
1
6/5
d
2
1
2/3
1
2/3
4/5
e
3
3/2
2/3
3/2
1
6/5
f
5/2
4/5
5/6
5/4
5/6
1
在表一的各个权值中，
，且
，该矩阵为正互反矩阵。
本文的分级较多，因此还要进行一致性检验：
满足该式则为一致矩阵。
经过MATLAB软件的运行，得到一致性指标CI=0.0112,一致性比例为CR=0.009.当CR<0.1时认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
通过层次分析法得到的结果见附录一。
附录一与附表一的数据进行层次分析法，它们之间的权重本文设定如下表三：
表三
a
b
a
1
5/2
b
2/5
1
利用MATLAB求解得到它最大特征值为2，特征向量为：
。
模型假设
1．每位学生的描述都是真实的，符合该生家庭的实际情况；
2．假设所有的贫困生学生都具有贫困生认定资格；
3．假设在认定期间，每个家庭不会有很大的变化；
4．假设本文所设权重是符合标准的；
5．假设所给数据真实、有效，符合每位学生家庭的具体情况；
6．本文所给的家庭年收入数据符合实际情况。
符号说明
学生家庭的第i项消费总和
家庭的资金结余与其他家庭的相对权重
代表影响家庭贫困的其他因素得值
a代表农村或者边远地区对家庭贫困的影响
b代表意外灾害或者是意外事故对家庭贫困的影响
c代表低保对家庭贫困的影响
d代表单亲家庭对家庭贫困的影响系数
e孤儿在评定家庭贫困中所在的比重
f家庭所欠债务的多少相对与其他家庭的比重
家庭收入、生活支出、教育支出、医疗支出对家庭贫困的影响
低保、孤儿、单亲、债务情况、贫困地区、其他状况对家庭贫困的影响
每一个学生的贫困度或贫困系数
W2家庭的资金结余与影响家庭贫困的其他因素的比重向量
D2每一个学生的贫困度或贫困系数
W4贫困地区、其他状况、低保、孤儿、单亲、债务情况的权重向量
D4每一个学生其他影响家庭贫困程度因素的相对权重的的值
CI权重矩阵的一致性指标
CR一致性比率
A获得A等奖学金的人数
B获得B等奖学金的人数
C获得C等奖学金的人数
模型建立
本文分为两个部分来建模，第一部分为可以用“钱值”来代替权值的一部分，比如日常消费支出，教育支出，医疗支出，年均收入；另外一部分为比较抽象的部分，本文设定了它们之间的权值权值见表二，它们为：
老少边穷、天灾人祸、单亲、孤儿、低保和债务情况。
然后将两者之间重新设立一个权值（表三），利用层次分析法得到一组数据，根据这组数据和A、B、C等助学金人数确定贫困生等级认定的具体情况。
（图一）
根据图一的各种因素来确定贫困等级。
由最下面的因素确定
（家庭收入、生活支出、教育支出、医疗支出）的各占有多少；由
确定
（结余）的值，由
（低保、孤儿、单亲、债务情况、贫困地区、其他状况）确定
（其他因素）的值；最后确定
和
之间的权值；利用层次分析法得到
的权值。
此时根据对
的权值的大小进行分析，确定具体的是学生的贫困等级，结果见附录。
模型求解
本文根据excel、lingo和matlab软件对模型求解。
本文的求解主要分为三个阶段，首先由
确定
，通过excel的求和统计得到需求结果，此时的
权重得到。
可由
确定，通过
权重的层次分析得到
的值。
与
之间权衡其大小，得到它们之间的权值，再一次通过层次分析法得到
的权值。
结果生成一组数据，本文代入到excel表格中应用简单的降序排序，通过权值的大小，从最大值往小取，得到207名贫困生的具体分配名额。
在这207名贫困生中进行具体的等级划分，其中A等助学金62人，B等助学金104人，C等助学金41人。
在excel中得到具体的三种等级的贫困生在各个年级的分布情况，得到最终答案。
结果分析
依据题目给定假设计算得到不同等级的不同人数，结果如表
申请贫困
A等贫困
B等贫困
·等贫困
总贫困生
人数
291
62
104
41
207
经过建模，求解得到不同等级的贫困生的编号（结果见附录二）。
将得到的结果进行分析、比较、分类、处理，将291名申请贫困的同学进行划分得到以下情况（如下表）
2004级
2005级
2006级
2007级
2008级
2009级
2010级
非贫困生
8
7
14
12
14
16
13
A等贫困生
9
6
5
9
11
10
12
B等贫困生
6
8
19
20
17
26
8
C等贫困生
1
2
6
6
8
12
6
通过分析以上结果，A等贫困生有62个，其中2004级的学生有9个，2005级的学生有6个，2006级的学生有5个，2007级的学生有8个，2008级的学生有11个，2009级的学生有10个，2010级的学生有12个。
B等贫困生有104个，其中2004级的学生有6个，2005的学生有8个，2006级的学生有19个，2007级的学生有20个，2008级的学生有17个，2009级的学生有26个，2010级的学生有8个。
C等贫困生有41个，其中2004级的学生有1个，2005级的学生有2个，2006级的学生有6个，2007级的学生有6个，2008级的学生有8个，2009级的学生有12个，2010级的学生有6个。
对贫困生进行抽查，比较不同等级的贫困生，与家庭状况贫困程度相符合。
他的贫困系数与实际情况相差不大，符合实际情况，是一种合理的结果。
在抽查中我们发现，对于某些特别贫困的学生（如有低保证明，家中没有收入等），结果把他们评定为C等贫困生。
抽查A等或B等贫困生时也发现数据基本符合实际情况。
但是对于个别没有将家庭情况表明清楚的学生，由于无法得到其具体情况的有效数据，则以平均数据处理，导致个别情况有差别。
模型评价
本文通过对附件一进行数据处理，能够非常具体的表达出每个家庭的基本境况，对建立数学模型帮助很大，使得数据分析很简单。
同时对一些不能用“钱值”来体现的抽象因素，本文采用两两对比产生权值，利用层次分析法模型，生成正负反矩阵，并判定一致性矩阵。
根据结果我们可以得到得到A等奖学金为62人；B等104人；C等41人。
显然，本文对于贫困生的认定工作只是根据学生的自述产生的，真实性有待考虑。
得到的数据仅仅是参考那些笼统的文字描述，结果取决于本文的主观臆断，准确性有待商榷；对于那些负债较多的家庭（人为因素导致负债）和其他情况一起考虑有失公平。
因为本文主要侧重于因不可抗因素导致的家庭贫困现象，这种情况没有分离出来考虑有失妥当。
虽然如此，本文还是有很多的可取之处的，通过“钱值”来代替权值来表述贫困生家庭的收入、支出情况，能够比较好的反应出这些家庭的真实水平。
对于那些不好用“钱值”表示的因素本文采用的是取其权值，利用层次分析法得到结果。
最后又是通过层次分析法得到最终需求的数据。
得到的数据根据大小确定贫困生的等级，非常清晰明了。
总之，本文能够在相对公平且人性化方面完成贫困等级的确定，
参考文献
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[3]周义仓,赫孝.数学建模实验.西安;西安交通大学出版社,1999.
[4]唐有文.模糊层次分析法[J].青海师范大学学报（自然科学版）,2002（3）.
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[6]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解.北京;清华大学出版社，2004.
附录
附录一：
model:
min=（A-207*0.3）^2+（B-207*0.5）^2+（C-207*0.2）^2;
!
A代表A等奖学金的人数，B代表B等奖学金的人数,C代表C等奖学金的人数;
L=（62+62+123+137+140+189+118）*0.25;
A+B+C@GIN（A）;
@GIN（B）;
@GIN（C）;
End
A62.00000-56.60000
B104.0000-55.00000
C41.00000-56.40000
附录二：
序号
未被认定为贫困生编号
A等贫困生编号
B等贫困生编号
C等贫困生编号
1
S200613
S201030
S200844
S200745
2
S200715
S200719
S200747
S200706
3
S200825
S201005
S200636
S200957
4
S200929
S200810
S200936
S200916
5
S200843
S200515
S200923
S200510
6
S200501
S200937
S200705
S200903
7
S200708
S200743
S200812
S200960
8
S200934
S200413
S200629
S200606
9
S200938
S200417
S201019
S200814
10
S200728
S200418
S200603
S201027
11
S200842
S200419
S200948
S200802
12
S200514
S200420
S200803
S200847
13
S200808
S200618
S200402
S200736
14
S200909
S200623
S200915
S201016
15
S200632
S201002
S201035
S200813
16
S200422
S200522
S200503
S200945
17
S201020
S200729
S200620
S200956
18
S200410
S200614
S200424
S201014
19
S201023
S200964
S200961
S200932
20
S200633
S201038
S200953
S200602
21
S200949
S200739
S200612
S200942
22
S200416
S200811
S200732
S200626
23
S200841
S201007
S200912
S200421
24
S201032
S200726
S200913
S200946
25
S200617
S200838
S200805
S200625
26
S200609
S200737
S200963
S200954
27
S200955
S200408
S200716
S200511
28
S200516
S200504
S200850
S200615
29
S200902
S200406
S200827
S200704
30
S200904
S201022
S200631
S200849
31
S200713
S200835
S200933
S200710
32
S201024
S200801
S200919
S200643
33
S200735
S201017
S200943
S201001
34
S200610
S200839
S200714
S201012
35
S200621
S200505
S200744
S200722
36
S200823
S200921
S200604
S200831
37
S200833
S200924
S200930
S200928
38
S201031
S200947
S200935
S200829
39
S201015
S200952
S200702
S200911
40
S201034
S200409
S201033
S201009
41
S201011
S201018
S200718
S200830
42
S200401
S200917
S200742
43
S200724
S201021
S200939
44
S200414
S200721
S200908
45
S200822
S200940
S200711
46
S200605
S201013
S200624
47
S200723
S200821
S200523
48
S201026
S200641
S200906
49
S200922
S201036
S200727
50
S200717
S200918
S200502
51
S200512
S200730
S200404
52
S200733
S201025
S200405
53
S200411
S200806
S200707
54
S200824
S200815
S201010
55
S200941
S200701
S200509
56
S200828
S200507
S200920
57
S200836
S200809
S201037
58
S200734
S200926
S200816
59
S200837
S200826
S200914
60
S200519
S200634
S200637
61
S200506
S200518
S200820
62
S200703
S200407
S200725
63
S201003
S200517
64
S201006
S200639
65
S201008
S201039
66
S200508
S200520
67
S200415
S200848
68
S201029
S200628
69
S200638
S200950
70
S200423
S200738
71
S200644
S200819
72
S200630
S200619
73
S200944
S200834
74
S200907
S200412
75
S200962
S200910
76
S200601
S200951
77
S200731
S201028
78
S200807
S200817
79
S200804
S200818
80
S200931
S200925
81
S200958
S201004
82
S200616
S200901
83
S200927
S200845
84
S200622
S200513
85
S200959
86
S200521
87
S200607
88
S200712
89
S200640
90
S200746
91
S200608
92
S200709
93
S200720
94
S200846
95
S200627
96
S200635
97
S200741
98
S200403
99
S200642
100
S200905
101
S200740
102
S200840
103
S200611
104
S200832
附录三：
clc;clear
n=6;
W4=[1,2,3,2,3,5/2;
1/2,1,3/2,1,3/2,5/4;
1/3,2/3,1,2/3,2/3,5/6;
1/2,1,3/2,1,3/2,5/4;
1/3,2/3,1,2/3,1,5/6;
2/5,4/5,6/5,4/5,6/5,1]';
[v,d]=eig（W4）
CI=（max（eig（W4））-n）/（n-1）
CR=CI/1.24
v=0.1760,0.3521,0.5281,0.35521,0.4985,0.4401
d=5.9439
CI=
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