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《学习数学的方法》读书笔记

学习数学的方法

绘制函数图形和制作数学动画的数学软件（如Maple、Mathematica、MathCad、Matlab）

数学思想、推理方法、研究方法和求知能力

智力是一个整体，它由观察力、注意力、记忆力、思维能力和语言

表达能力等组成，它是认识活动的综合能力，

能力，是影响一个人的活动效果的基本因素

能力，是人的一种个性心理特征，是人掌握和运用知识的表现和思维方法，是调节行

动和活动的相应心理过程的概括化的结果，它的迁移范围较广．

知识，是人对客观现实的反映，属于认识的范畴．它是对相应经验的概括，只能迁移到

与其相似的场合中去；

技能，是由于练习而巩固了的行为方式，亦属于认识的范畴，它是相应行为方式的概

括化的结果，其迁移范围较窄；

类似地直线的无限性，极限，有理数的稠密性，实数的连续性等概

念，也都是理性思维的结果，不可能直接为人们所感知．

复数（虚数）的几何表示，帮助人们直观地理解了它的真实意义，随后又在流体力

学中得到了应用

经过比较、分类、抽象、概括、分析、综合、论证而上升为理性知识

思考总结分析提炼

1）数学以及相关硬知识

数学专业知识

基础理论（如极限、导数、微分、积分、代数的一些抽象概念等）

基本思想（如形数结合、变量代换、问题转换、结构特征等）

算术中的数，代数中待定的未知数，几何中以点、线、面组成的图形，三角中角的三角函数值及相应关系变量数学-高等数学辩证逻辑思维能力

微积分时会遇到三个著名的定理：

络尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

李代数、谱理论、交换代数、微分流形

大学各科知识占比

1）第一类基础理论知识占70%左右

由于大学期间，主要是学习前人积累下来的间接知识，学习上应

力求达到“基础扎实，知识广博”．根据数学及大学理科各专业目前的要求，这部分知识在

学生的知识结构中宜占70%左右．它主要包括：

1）专业基础理论知识，它是理科专业知识的主干内容．在课程设置上可分为专业基础课、

专业课和作为扩充学生知识面而设的“概论课”

2）管理和教育基础理论知识，诸如教育学、心理学、现代的科学管理知识等等．

3）语言知识，如中国语言、外国语言和计算机语言等知识．

2）第二类横向相关知识占30％

这部分知识在学生的知识结构中目前宜占30％左右．

1）相关学科知识．诸如政治学、哲学、经济学、逻辑学、史地知识、社会学、法律学、

美学、音乐及军事学等方面的基础知识或常识．

幻现代科学新成就的基本常识．诸如现代教育、计算机、新的数学边缘学科、生物工程、

系统论、控制论、信息论等新成就的常识性了解

丰富的学科

物理数学、经济数学、数学地震学，数学地质学、计算水力学、数学语言学、数学教育学、数学心理学，数学社会学、数学历史学、数学考古学

哲学、逻辑学、神经生理学、语言学、心理学、美学、控制论、信息论、人工智能、计算机软件技术、图象识别技术等多种学科的研究对象

知识更新速度加快

比过去2千年的总和还要多．在19世纪人类知识总量每隔50年翻一番，到了本世纪40年代则每隔20年增加一倍，而目前增长的速度更快，每隔5年至10年，知识总量就要翻一番，其中某些学科的知识，甚至3年或不到3年就翻一番照此下去，50年后人类知识总量将是今天的32倍．仅就数学学科而言，现在全世

界大约有2600多种数学杂志，用将近100种语言出版．美国的文摘性杂志《数学评论》

2）数学学习方法

观察力是基础，记忆力是桥梁，思维力是核心，实践力是检验能力掌握的客观

标谁．

数学思维与能力分类

具体思维、抽象思维（包括分析思维，逻辑思维、空间思维）、函数思维和直觉思维．

正确地使用自然语言来描述数学，并借助数学概词，数学符号、命题等将这种自然语言准确、无误地“翻译”成公式语言以及有关的数学语言。

运算能力空间想象抽象概括逻辑推理

思维沿着“发散（求异）一收敛（求同）一再发散一再收敛”的途径循环进展

思维方法

3）对比

4）类比（熟悉的东西去比较）

5）分析

6）综合

7）逻辑推理：

归纳（概括）+演绎（普通的原理推出特殊的结论）

演绎这种方法只能推出更低一层次的新知识，而不能发现同一层次

或更高一层次的新的结论，它主要用于数学的逻辑证明之中，其主要形式是“三段论”，常

用的“三段论”格式是：

一切M都是P（大前提），S是M（小前提），所以，S是P（结论）．

8）完全归纳法:

可以当作证明方法使用，因为完全归纳法是根据对某类事物的

全部对象的分析而作出的概括推理方法．这种方法也称为“穷举法”或“枚举法”

第一，归纳的正确性主要取决于所得出的结论是否具有“稳定性”，即能否“稳定地”

从一个已经研究过的特例递推到其它尚未研究过的特例，这是归纳递推能否进行下去的保

证；

第二，为了保证结论的正确性，所说的关于“稳定性”的分析不能遗漏任何一个特例，

这就要求所考虑的对象应是“可数”的一—可按自然数顺序予以编号，以保证能按自然数序

逐一去研究结论的稳定性．因此，数学归纳法用于含有自然数n的命题时特别有效；

9）分析证法（简称“分析法”）

是从未知到已知的证明方法,其证明过程是由“题断”出发，逐步逆追这个结论成立的条件，直到最后找到已知的“题设”．由于它是从结果逆追到产生这一结果的原因的一种思维方法，故也可称为“执果索因法”，由于它的思考顺序是执果索因，因而它是从结论出发去步步寻找结论成立的充分条件。

从结果到原因其证明模式为“要证…，只须证…，”解应用题、证明几何题和证明三角

函数恒等式时用得较多

10）证明与反驳

直接证法

根据给定的条件和已知的论据（已知的定义、公理、定理、法则等），去

直接断定论题的真实性的证明方法．它包括演绎法、完全归纳法、数学归纳法、综合法、分

析法等间接证法，则是不去直接证明原命题，而是去证明原命题的等价命题，从而使原命题

间接获证的一种方法．它包括反证法，同一法等．

反证法的一般步骤：

反设：

假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；

归谬：

将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知

的公理。

定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；

结论：

因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，

从而肯定了结论成立．

反证法是在中学平面几何中出现得最早的一种证明方法，在讲到直线性质：

“两条直线

相交，只有一个交点”时，就用了反证法来证明。

一般，反证法常用来证明“否定性”命题，“唯一性”命题，“至多”、“至少”命题，某

些定理的逆命题和某些‘无限”命题．它在初等数学和高等数学的学习中都是一种重要的证

明方法，应当牢固掌握

反驳

用已知为真的命题去揭露或证实另一命题的虚假性的逻辑思维方法进行

反驳时，思想上必须明确：

反驳什么？

用什么去反驳？

怎样去反驳？

在数学中主要使用的反

驳方式有两种：

举出反例和推出悖论．

不禁使人想起俄国文学评论家赫尔岑的一

例子

个生动的小故事：

有一次，赫尔岑应邀参加

一个宴会，在宴会上，他听到轻挑的音乐，厌恶地用手捂住其耳．主人见状向他解释：

“演

奏的是流行乐曲．”赫尔岑反问道：

“流行的乐曲就一定高尚吗？

．主人争辩道；‘不高尚的

东西怎么能流行？

’赫尔岑笑着说：

“那么，流行的感冒也是高尚的了？

”说罢，扬长而

去．实际上，这里主人讲的话可表示成一个全称命题：

“（每个）流行的东西都是高尚的．”

赫尔岑则只举出一反例，就对之作了有力的驳斥．

构造反例需要逻辑思维的技巧训练，更需要“直觉”等创造性思维能力的素养．

直觉：

运用直觉大胆假设

诚然，举反例带有一定程度的技巧性，有时也是费力的，从解题经验得知，用“走极端”

的办法，易于寻得反例．因为一到极端，事物常常会发生转化．因此，走极端是举反例的一

个常用方法．

11）综合证法（简称“综合法”）

从已知到未知的证明方法，其证明过程是由“题设”出发，逐步推导到这个题设可能得出的结论，直到最后推出未知“题断”为止由于它是从原因推导到由原因产生的结果的一种思维方法，故也可称为“由因导果法”．由于它的思考顺序是“由因导果”，因而它是从题设和已知的正确命题出发，步步寻找其必要条件直至得到探求的正确结论，其证明模式为：

“因为……，所以…”，鉴于从平几学习开始，这种综合法我们已作过许多次的训练，较为熟悉，就不再赘述．

学习过程

12）计划：

目标

拟定一个学习的目标，如多2个月完成高等数学的学习，达到概念理解，会做基本的习题。

并能够运用数学思维方法解决实际生活中的问题。

13）搜集资料

搜集学习的书本教材，习题集，视频等

14）预习vs自学

粗读-〉精读

阅谈一分析一思索一再阅读－思索

自学重要性：

一个大学生在校学习期间，只能获得需用知识的百分之十左右，其余的百分之九十的知识，都要在工作中不断学习，独立摄取第一个教大学的，必定是从来没有上过大学的人．实际上，直到13世纪，大学才真正产生。

15）上课

提问:

从（公式，定理，解题方法）入手，数学问题分两类：

常规问题和反常规问题．

理解：

抽象具体化

讨论：

疯子集会

思考：

读数学书之始，必须从基本概念、公理、定理开始，逐一细读深思，自疑行答，反复练习，练中反思

笔记：

划记

划记符号

直线段“－－”标明较为重要的内容；

红色线段“－－”或波浪线段“﹏﹏﹏”标明特别重要的内容；

问号“？

”标明自己的疑点、难点；

“△”标明知识空白点，留待补充；

“*”标明暂时跳过去未看的内容；

16）复习

回忆基本的概念，做题，联系生活应用

17）评估学习效果

剖析自己：

看概念是否弄懂，是否具备基本的解题思路，一道题是否用多种方法解决。

是否圆满完成学习目标。

找出改进学习效果的方法，重新制定计划。

九条学习心理学原则

第一，适当的步子，从小步逐渐过渡到大步；

第二，当时知道结果；

第三，铺垫原则；

第四，从展开到压缩；

第五，直接揭露本质特征；

第六，尽量采取变式复习，避免机械性复习；

第七，按步思维的原则；

第八，运算根据外化；

第九，可逆联想．

创造性的数学思维能力的培养

正如科学哲学家波普尔所言：

科学发现无逻辑！

18）学会发散思考求异思维

收敛思维：

综合法、归纳法、演绎法、反证法

19）学中求变

由于事物的质和量是由多种因素决定的，如改变其中某一因素，就可能产生新的思路．在求解数学问题中，使用的“代换法”解题

“变量代换法”在数学中应用很广，在解高次方程，三角方程以及微积分、函数论、

微分方程中都经常应用．

20）思考受阻，立即转向逆向思维的方法

21）学会形象思维

逻辑思维常可用形象思维来开辟思路．对形象思维的深人研究，必将

促进人们数学学习和数学研究的深化

22）学会激发灵感

灵感（或顿悟），是显意识与潜意识通融交互的结晶。

第一，突发性灵感发生于出其不意的瞬间，如散步、闲谈、赏花、观光、

娱乐活动中，……在触景生情中灵感大多来自长期紧张的思索而暂时松弛之时．因为灵感的产生与潜意识推论有关，潜意识推论是一种信息同构和脑神经系统功能结构的建构的整合式推论这种推论结果从“潜式”到“显式”，是一种信息跃迁现象。

因此，在紧张思考时，思维高度集中在一点上，对单点深入见效，对全面贯通则少功；暂时的松弛则有利于消化，利用和沟通已得到的全部信息，使大脑的疲劳得到恢复，从而再次高度兴奋，促成这种信息跃迁．

第二，偶然性．而这种偶然性中却隐蔽着一种必然性．因为长期有意识（显意识）的对某一课题的思索，发散式地提供相近的若千课题信息，从中说不定有某一信息的闪现，一下打开了思维的大门，爆发了灵感．但绝不会有一无所思，守株待免式的灵感到来

第三，独创性。

从灵感思维的功能和作用卜看，它具有区别于其它思维形式的本质特

征—独创性事实上。

第四，模糊性

如何激发灵感

第一，追捕热线法．

第二，暗示右脑法

人的右脑主管着许多高级功能．比如音乐、图画、图形等感觉能力，几何学和空间性能力，以及综合化、整体化功能，都优越于左脑用“暗示法”启示潜意识，调动大脑两半球不同功能的积极性，收到良好的效果．

第三，寻求诱因法

如自由的想象，科学的幻想，发散式的联想，大胆的怀疑，多向的反思等等．

第四，暂搁问题法

辅之以体育活劝、文艺活动或散步、赏花、谈心、下棋、看戏、沐浴、洗衣等等,

第五，西托梦境法为有利的“作梦”提供机会

第六，养气虚静法．采取练气功方式可达到“养气”的目的．

第七，跟踪记录法．灵感象个精灵，来去匆匆，稍纵即逝必须跟踪记录，随身携带笔和

小本子，只要灵感火花一现，就即刻把它捕获记下

点线面方法

一般在读书时，应攻其一“点”，由“点”连成“线”，由“线”构成“面”，由“面”再组成“体”．纵、横联系，形成一个完整的整体．若积以时日，必学有大成．

五步学习法

浏览、发问、阅读、复述、复习五步学习法

制定计划一－课前自学一－专心上课一－及时复习－一独立作业一－解决疑难－

一系统小结一－课外学习

科学记忆方法

23）用脑与血流量

当人处于清醒和安静状态时：

额叶血流量最大，颞叶和枕叶血流量最小；

作有意运动时：

大脑皮层躯体感觉区和运动区血流量都增多，而以感觉区及其邻近部位的血流量最大；

当人说话时：

运动区、感觉区、运动前区、顶叶与枕叶交界处血流量都明显增多；阅读时，除上述区域外，后枕叶的血流量也增多；

进行心算时：

前额叶和运动前区的血流量增多．可见，人脑对氧的消耗量很大，尽管人

的脑重仅占体重的四十几分之一，但它的耗氧量却占全身用氧的四分之一相应地对脑的供血

量也就较大，即使是在安静状态下，脑部的血流量也相当f心脏排出血量的五分之一，当大脑工作时血流量则将大大增加．这是因为脑细胞工作时比肌肉细胞工作时所需的血液要多十五倍至二十倍之故．

24）功能分布

神经细胞的数量约为1011（千亿）

左脑主管语言和抽象思维，担负着分析、读、写、算、逻辑思维等功能；右脑则主管音乐、绘画等形象思维材料的综合活动

长时间的听觉集中不如视觉集中好．由于自学是以视觉分析器为主，

而视觉分析器是主动的分析器

人的语言中枢位于左脑半球

①左脑皮层的中央前回下部的前方区域——语言中枢；

②额叶的额中回后部区域一—书写性语言中枢；

③顶下叶的角回附近区域——视觉性语言中枢；

④颞叶上回的后部区域一一听觉性语言中枢

第一类信号是指现实的具体信号；第二类信号是指

现实的抽象信号，是第一信号的信号，例如语言、文字就是这种信号

25）用脑与健康

他挑选了欧美出现的400名杰出人物，按其从事的不同职业分类排队，发现其中寿命最长的是大量用脑的学者，他们的平均年龄为79岁．国外还有人对1500名早期用脑的“超常儿童”，进行过30年的追踪观察，发现他们成年以后，并未曾因早期用脑而提前衰老．相反，其健康状况却比同年龄的其他人要好．可见，早期用脑非但不会影响健康，反而能推迟衰老。

人推算人脑可容纳的信息量平均值为1012一1016波特

（一个信息量单位叫1波特），然而一个十分勤奋的科学家，即便每秒钟能接受25波特信息量，70年中每夭接受10小时信息，也只能接受3x109波特，还不到大脑最低可容量的1%．大脑真可谓用不完的智力仓库

26）如何科学用脑

一、学习要全面用脑．多感官刺激

二、学习要调节用脑

恰当地穿插散步、做操、打拳、料理生活、欣赏音乐、弹琴拉琴

课程交替学习（同一时期常读几本书）

看、读、写适当轮换

三、学习要把握最佳用脑时间一般人在上午s点左右达到最高潮期，下午4-6点又出现第二次高潮

四、第四，学习要利用‘脑风暴”获得灵感脑风暴一般至少需要全神贯注地连续地思考1-2小时或2-3小时后才能逐渐形成

厉害人物

达．芬奇（Vinci,L.da.1452-1519，意大利）在文艺复兴时代被称为“巨人时代的巨人：

从14岁起，就被父亲送到画室去学艺．自学、业余研究和实践，使他不仅成为伟大的画家、

雕塑家，而且又是工程师、建筑师、物理学家、生物学家和哲学家；