等腰三角形的性质 答案版.docx
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等腰三角形的性质答案版
2018年09月21日等腰三角形的性质
一．选择题（共10小题）
1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°
2．若（a﹣2）2+|b﹣3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．7或8
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B=（ ）
A．40°B．36°C．80°D．25°
（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）
4．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ ）
A．90°﹣∠AB．90°﹣
∠AC．180°﹣∠AD．45°﹣
∠A
5．如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC=BC，若∠A=70°，则∠C=（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
6．如图，在△ABC中，∠ABC=110°，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=（ ）
A．25°B．30°C．35°D．45°
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ）
A．45°B．135°C．45°或67.5°D．45°或135°
8．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠AED=70°，则∠DCB=（ ）
A．70°B．165°C．155°D．145°
（第8题）（第9题）（第10题）
9．如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB=BC=CD=DE，若∠A=20°，则∠MDE的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
10．如图，在3×3的网格中（每一个小正方形的边长为1），直角△ABC的顶点均在格点．若△ABC的面积为
，则满足条件的直角三角形有（ ）
A．12个B．16个C．20个D．24个
二．填空题（共7小题）
11．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为 ．
12．如图，P、M、N分别是△ABC三边上的点，BM=BP，CP=CN，∠MPN=40°，则∠A= ．
（第12题）（第13题）
13．如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An．
记∠BA1A=∠1，∠C1A2A1=∠2，……，以此类推．若∠B=30°，则∠n= °．
14．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 ．
（第14题）（第15题）
15．设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．如图所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
已知：
AA1=A1A2=A2A3=1．则θ= 度，记第n根小棒A2n﹣1A2n的长度为an（n为正整数，A1A2=a1，A3A4=a2，…）写出an= （用含n的式子表示）．
16．如图，点M1、M2、…M8在∠O的边上，若OM1=M1M2=M2M3=…=M6M7=M7M8=M8O，则∠O的度数是 度．
（第16题）（第17题）
17．有一个三角形纸片ABC，∠C=36°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 ．
三．解答题（共8小题）
18．“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的．如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC．
求证：
∠APB=
∠AOB．
19．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形．求∠C的度数．
20．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为直线BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，
（1）如图
（1）若D为BC的中点，求证：
DE+DF=CH．
（2）如图
（2）若D为BC延长线上一点，其他条件不变，线段DE．DF．CH之间有何数量关系，请证明你的结论．
21．如图所示，设∠BAC=α（0°＜α＜90°），现把等长的小棒依次向右摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上，从点A1开始，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1．
（1）若已经摆放了3根小棒，则α1= ，α2= ；（用含α的式子表示），若∠A4A3C=92°，求∠BAC的度数．
（2）若只能摆放5根小棒，求α的范围．
22．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：
如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．
（1）在图2的△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图2中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明∠DBC角度；
（2）已知∠C=20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：
①∠C为最小角；②存在关于点B的伴侣分割线．请标出所画△ABC得各个内角的度数．
23．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
24．如图在△ABC中，AB=BC，M、N为BC上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．
25．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？
答：
．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ= 度；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°
【解答】解：
（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°
（2）当80°为底角时，得顶角=180°﹣2×80°=20°；
故选：
D．
2．若（a﹣2）2+|b﹣3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．7或8
【解答】解：
∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，
∴a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是2+2+3=7；
②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是3+3+2=8．
故选：
D．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B=（ ）
A．40°B．36°C．80°D．25°
【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
设∠B=α，
则∠BDA=∠BAD=2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴α×2α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠B=36°．
故选：
B．
4．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ ）
A．90°﹣∠AB．90°﹣
∠AC．180°﹣∠AD．45°﹣
∠A
【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C°，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣
=90°+
∠A，
则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣
∠A．
故选：
B．
5．如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC=BC，若∠A=70°，则∠C=（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【解答】解：
∵BE垂直平分AD，
∴AB=DB，
∴∠ABE=∠DBE，
又∵∠A=70°，
∴∠ABE=20°，
∴∠ABD=40°，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
又∵DC=BC，
∴∠C=180°﹣2×40°=100°，
故选：
A．
6．如图，在△ABC中，∠ABC=110°，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=（ ）
A．25°B．30°C．35°D．45°
【解答】解：
∵∠ABC=110°，
∴∠A+∠C=180°﹣110°=70°．
∵AM=AN，CN=CP，
∴∠ANM=
，∠CNP=
，
∴∠MNP=180°﹣
﹣
=180°﹣90°+
∠A﹣90°+
∠C
=
（∠A+∠C）
=
×70°
=35°．
故选：
C．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ）
A．45°B．135°C．45°或67.5°D．45°或135°
【解答】解：
①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°．
故选：
D．
8．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠AED=70°，则∠DCB=（ ）
A．70°B．165°C．155°D．145°
【解答】解：
∵AD=AE，∠AED=70°，
∴∠ADE=70°，
∵AB∥ED，
∴∠BAD=70°，
∵AB=AC=AD，
∴∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠ADC，
∴∠DCB=∠ACB+∠ACD=（360°﹣70°）÷2=145°．
故选：
D．
9．如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB=BC=CD=DE，若∠A=20°，则∠MDE的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【解答】解：
∵AB=BC=CD=DE，且∠A=20°，
∴∠ACB=∠A=20°，∠CBD=∠CDB=2∠A=40°，∠DCE=∠DEC=∠A+∠BDC=3∠A=60°，
∴∠MDE=∠A+∠DEC=4∠A=80°．
故选：
C．
10．如图，在3×3的网格中（每一个小正方形的边长为1），直角△ABC的顶点均在格点．若△ABC的面积为
，则满足条件的直角三角形有（ ）
A．12个B．16个C．20个D．24个
【解答】解：
设直角三角形的两直角边是a和b
∵△ABC的面积为
∴
ab=
∴ab=3
又：
直角△ABC的顶点均在格点上，小正方形的边长为1．
∴它的两直角边的长度为1和3满足条件．
如图所示，取线段AB，可构造两个符合要求的三角形．
类似图中线段AB的线段共有12条，每条线段可以构造两个三角形
所以，总共可以找到的三角形个数是：
12×2=24（个）
故选：
D．
二．填空题（共7小题）
11．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为 50°或130° ．
【解答】解：
当为锐角时，如图
∵∠ADE=40°，∠AED=90°，
∴∠A=50°，
当为钝角时，如图
∠ADE=40°，∠DAE=50°，
∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°．
故答案为：
50°或130°．
12．如图，P、M、N分别是△ABC三边上的点，BM=BP，CP=CN，∠MPN=40°，则∠A= 100° ．
【解答】解：
∵∠MPN=40°，
∴∠BPM+∠CPN=140°，
∵BM=BP，CP=CN，
∴∠BMP=∠BPM，∠CPN=∠CNP，
∴∠BMP+∠CNP=140°，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠A=100°．
故答案为：
100°．
13．如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An．
记∠BA1A=∠1，∠C1A2A1=∠2，……，以此类推．若∠B=30°，则∠n=
°．
【解答】解：
∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B，
∴∠BA1A=
=75°，
∵A1A2=A1C1，∠BA1A是△A1A2C1的外角，
∴∠C1A2A1=
×∠BA1A=
×75°；
∴∠C2A3A2=
×
×75°=
×75°，∠C3A4A3=
×75°，
∴∠n=
×75°=
，
故答案为：
．
14．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 15 ．
【解答】解：
格点C的不同位置分别是：
C、C′、C″，
∵网格中的每个小正方形的边长为1，
∴S△ABC=
×4×3=6，
S△ABC′=20﹣2×3﹣
=6.5，
S△ABC″=2.5，
∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．
故答案分别为：
3；15．
15．设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．如图所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
已知：
AA1=A1A2=A2A3=1．则θ= 22.5 度，记第n根小棒A2n﹣1A2n的长度为an（n为正整数，A1A2=a1，A3A4=a2，…）写出an=
（用含n的式子表示）．
【解答】解：
∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°，
∴∠AA2A1+∠θ=45°，
∵∠AA2A1=∠θ，
∴∠θ=22.5，
故答案为22.5°；
②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3
∴A2A3=1，AA3=1+
，
又∵A2A3⊥A3A4
A1A2∥A3A4
同理；A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5
∴AA3=A3A4，AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
，
a3=AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=
a2，
∴a3=A5A6=AA5=a2+
a2=（
+1）2，
∴an=（
+1）n﹣1．
故答案为：
22.5；（
+1）n﹣1．
16．如图，点M1、M2、…M8在∠O的边上，若OM1=M1M2=M2M3=…=M6M7=M7M8=M8O，则∠O的度数是 20 度．
【解答】解：
设∠O的度数是x度，
∵OM1=M1M2，
∴∠OM2M1=∠O=x，
∴∠M2M1M3=2x，
同理∠M4M2M3=3x，
同理∠M4M3M5=4x，
∵M4M3=M4M5，
∴∠M4M5M3=4x，
同理∠M4M5M6=4x，
∴x+4x+4x=180，
解得x=20．
故∠O的度数是20度．
故答案为：
20．
17．有一个三角形纸片ABC，∠C=36°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 18°或36°或54°或72° ．
【解答】解：
由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
①BC=CD，此时∠CDB=∠DBC=（180°﹣∠C）÷2=72°，
∴∠BDA=180°﹣∠CDB=180°﹣72°=108°，
AB=AD时，∠ABD=108°（舍去）；
或AB=BD，∠A=108°（舍去）；
或AD=BD，∠A=（180°﹣∠ADB）÷2=36°；
②BC=BD，此时∠CDB=∠C=36°，
∴∠BDA=180°﹣∠CDB=180°﹣36°=144°，
AB=AD时，∠ABD=144°（舍去）；
或AB=BD，∠A=144°（舍去）；
或AD=BD，∠A=（180°﹣∠ADB）÷2=18°；
③CD=BD，此时∠CDB=180°﹣2∠C=108°，
∴∠BDA=180°﹣∠CDB=180°﹣108°=72°，
AB=AD时，∠A=180°﹣2∠ADB=36°；
或AB=BD，∠A=72°（舍去）；
或AD=BD，∠A=（180°﹣∠ADB）÷2=54°．
综上所述，∠A的度数可以是18°或36°或54°或72°．
故答案为：
18°或36°或54°或72°．
三．解答题（共8小题）
18．“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的．如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC．
求证：
∠APB=
∠AOB．
【解答】证明：
∵OC=PC，
∴∠P=∠COP，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∵∠ACO是△PCO的一个外角，
∴∠ACO=∠P+∠COP=2∠P，
∴∠CAO=∠ACO=2∠P，
∵∠AOB是△PAO的一个外角，
∴∠AOB=∠CAO+∠P=3∠P，
∴∠APB=
∠AOB．
19．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形．求∠C的度数．
【解答】解：
∵△BDE是正三角形，
∴∠DBE=60°；
∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，
∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，则∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，∠BEC=90°；
∴∠EBC+∠C=90°，即∠C﹣60°+∠C=90°，
解得∠C=75°．
20．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为直线BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，
（1）如图
（1）若D为BC的中点，求证：
DE+DF=CH．
（2）如图
（2）若D为BC延长线上一点，其他条件不变，线段DE．DF．CH之间有何数量关系，请证明你的结论．
【解答】证明：
（1）如图
（1），过点D作DG⊥CH，交CH于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，DG⊥CH，
∴四边形DGHF为矩形，∴DF=GH，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∠DCG+∠ABC=90°，∠CDE+∠ACB=90°，
∴∠DCG=∠CDE，
又∵DG⊥CH，DE⊥AC，
∴∠DGC=∠CED=90°，
又∵DC为公共边，
∴△DGC≌△CED，（AAS）
∴DE=CG
∴DF+DE=HG+CG=CH．
（2）DF=DE+CH
如图
（2），过点C作CG⊥DF，交DF于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，CG⊥DF，
∴四边形CGFH为矩形，∴CH=GF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠CDG+∠ABC=90°，∠DCE=∠ACB=∠ABC，
∠CDE+∠ABC=90°，
∴∠CDE=∠CDG，
又∵DE⊥AC，CG⊥DF，
∴∠CGD=∠CED=90°，
又∵CD为公共边
∴△CED≌△CGD，
∴DE=DG，∴DF=FG+DG=CH+DE．
21．如图所示，设∠BAC=α（0°＜α＜90°），现把等长的小棒依次向右摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上，从点A1开始，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1．
（1）若已经摆放了3根小棒，则α1= 2α ，α2= 3α ；（用含α的式子表示），若∠A4A3C=92°，求∠BAC的度数．
（2）若只能摆放5根小棒，求α的范围．
【解答】解：
（1）根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得α1=2α，则α2=3α，α3=4α，
因为∠A4A3C=92°，
则∠BAC=92°÷4=23°．
（2）由题意得：
，
解得15°≤α＜18°．
故答案为：
2α，3α．
22．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：
如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．
（1）在图2的△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图2中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明∠DBC角度；
（2）已知∠C=20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：
①∠C为最小角；②存在关于点B的伴侣分割线．请标出所画△ABC得各个内角的度数．
【解答】解：
（1）如图所示：
（2）如图所示：
23．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【解答】解：
（1）∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°，
∴∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=180°﹣35°﹣30°﹣75°=40°；
（2）∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，
∴∠E=75°﹣18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°，
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α，
∴
，
（1）﹣
（2）得2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，
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