多边形讲义.docx

多边形讲义.docx

《多边形讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多边形讲义.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

多边形讲义

多边形

知识点一：

多边形及其有关概念

（1）多边形定义：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n条线段组成的多边形就叫做n边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.

三角形是最简单，边数最少的多边形.

（2）多边形的边：

组成多边形的线段叫做多边形的边．

（3）多边形的内角、外角：

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B，∠C，∠D，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．

（4）多边形的对角线：

①

定义：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线．

②拓展理解：

一个n边形从一个顶点可以引（n－3）条对角线，把n边形分成（n－2）个三角形．一个n边形一共有

条对角线．

（5）凸多边形和凹多边形：

①在图

（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；

②在图

（2）中，画出DC（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的

多边形称为凹多边形．

【例1】填空：

（1）十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．

（2）从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．

变式1：

过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是（　　）．

A．8B．9C．10D．11

变式3：

一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．

知识点二：

正多边形

（1）定义：

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．

（2）特点：

不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．

注：

正多边形外角的特征　因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．

【例2】下列说法正确的个数有（　　）．

（1）由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；

（2）各边都相等的多边形是正多边形；

（3）各角都相等的多边形一定是正多边形；

（4）正多边形的各个外角都相等．

知识点三：

多边形的内角和

（1）公式：

n边形内角和等于（n－2）×180°.

（2）探究过程：

如图，以五边形、六边形为例．

①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；

②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；

③从n边形的一个顶点出发，可以画（n－3）条对角线，它们将n边形分成（n－2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n－2）．

所以多边形内角和等于（n－2）×180°.

（3）应用：

①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；

②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．

【例3】选择：

（1）十边形的内角和为（　　）．

A．1260°B．1440°

C．1620°D．1800°

（2）一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有（　　）．

A．6条B

．7条C．8条D．9条

（3）多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是（　　）．

A．7B．8C．9D．10

变式1：

若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．

变式2：

一个多边形的内角和等于1440°，则它的边数为__________．

变式3：

一个多边形的内角和不可能是（　　）．

A．1800°B．540°

C．720°D．810°

知识点四：

多边形的外角和

（1）公式：

多边形的外角和等于360°.

（2）探究过程：

如图，以六边形为例．

①外角和：

在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．

②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1080°－180°×（6－2）＝360°.

③n边形外角和＝n×180°－（n－2）×180°＝360°.

（3）拓展理解：

①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．

②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．

【例4】填空：

（1）一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；

（2）多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．

变式1：

如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.

变式2：

如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于（　　）．

A．140°B．40°

C．260°D．不能确定

变式3：

在多

边形的内角中

，锐角的个数不能多于（）

　　A．2个B．3个C．4个

D．5个

知识点五：

正多边形知识的应用

正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：

（1）已知内角（或外角）能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角（或内角）的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．

（2）因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长（因较简单所以考查较少）．

【例5】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．

变式1：

一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．

变式2：

一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．

知识点六：

将多边形截去一个角问题的探讨

在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题．在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？

因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：

（1）当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°.

（2）当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.

（3）当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°.

【例6】一个多边形截去一个角后，

变为十六边形，则原来的多边形的边数为（　　）．

A．15或17B．16或17

C．16或18D．15或16或17

变式1：

一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，

那么原多边形的边数是（　　）．

A．13B．15C．17D．19

变式2：

如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2880°，那么原来的多边形的边数是（　　）．

A．10B．9C．8D．7

知识点七：

多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索

因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式（n－2）×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此：

①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；

②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数．

破疑点多边形内

角和与边数的关系　内角和除以180°所得到的整数并不是边数（或角的个数）n，而是n－2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意．

【例7】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．

变式：

若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．

知识点八：

平面镶嵌

1.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行________，彼

此之间不留空隙、不_______地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌.

2.取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要求以其中一个顶点处的各个内角之和为__________.

例8：

（2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）

（A）正十边形（B）正八边形（C）正六边形（D）正五边形

注：

只用同一种正多边形能够进行密铺的，只有三种正多边形，即

正三角形、正方形、正六边形．

变式1：

如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是___度．

变式2：

（1）如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．

（2）用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b个正方形，则a＝__________，b＝__________．

【随堂检测】

1．若多边形的边数由3增加到n（n是正整数，且大于3），则其外角和的度数（）

　　（A）增加（B）减少

（C）不变（D）不确定

2．一个多边形共有5条对角线，这个多边形内角和等于（）

　　（A）360°（B）540°

（C）720°（D）900°

3.已

知一个多边形的内角和与外角和的比为

，则它的边数是_____．

4．一个凸n边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角等于（）

　　A．90°B．15°C．120°D．130°

5．不能够铺满地面的正多边形的组合是（　　）

Ａ．正三角形与正方形Ｂ．正五边形与正十边形

Ｃ．正六边形与正三角形Ｄ．正六边形与正八边形

6、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:

n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数（用m,n表示）及n的值.

【课后强化练习】

一、选择题

1.一个多边形的每个内角都等于120°，这个多边形的边数为（）条

A.5B.6C.7D.8

2.用正四边形一种图形进行平面镶嵌时，它在一个顶点周围的正四边形的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么它的一个外角为（）

A.30°B.36°C.40°D.45°

4.多边形的内角和不可能是（）

A.810°B.540°C.1800°D.180°

5.如果多边形的边数增加1，则多边形的内角和、外角和分别（）

A.增加180°，增加180°B.不变，增加180°

C.不变，不变D.增加18

0°，不变

6.能够铺满地面的正多边形组合是（）

A.正八边形和正方形B.正五边形和正十边形

C.正四边形和正六边形D.正四边形和正七边形

*7.在n边形一边上取一点与各顶点相连，可得三角形的个数为（）

A.n个

B.（n－2）个C.（n－1）个D.（n＋1）个

*8.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数为（）条

A.9B.10C.11D.12

二、填空题

9.在正六边形ABCDEF中，∠A＝120°，AB＝2cm，则∠D＝__________，DE＝__________．

10.一个

正多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形．

11.n（n为整数，且n≥3）边形的内角和比（n＋1）边形的内角和小__________度．

12.从n边形的一个顶点出发共引出了5条对角线，则这个n边形是__________边形，这5条对角线把n边形分成了__________个三角形．

*13.如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．

**14.用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b个正方形，则a＝__________，b＝__________．

三、解答题

15.若一个多边形的各边都相等，周长为63，且内角和为900°，求它的边长．

16.如图所示，

（1）四边形共有__________条对角线，五边形共有__________条对角线，六边形共有__________条对角线；

（2）你能说出七边形共有多少条对角线吗？

（3）由

（1）、

（2），请猜想n边形的对角线的总条数，说说你的理由．

*17.将五边形截去一个角后所得的多边形有几条对角线？

*18.小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求：

（1）这个多边形是几边形？

（2）这个内角是多少度？

四、拓广探索

**19.

（1）填表：

正多边形

3

4

5

6

…

n

正多边形每个内角的度数

…

（2）如果限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？

（3）从正三角形、正四边（方）形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出这两种不同的正多边形进行平面镶嵌的草图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．

参考答案

一、选择题

1.B2.C

二、填空题

9.120°，2cm10.正五11.180

三、解答题

15.解：

设该多边形有n条边，则（n－2）×180°＝900°，解得n＝7．因为63÷7＝9，所以这个多边形的边长为9．

16.解：

（1）2，5，9（

2）14．因为过七边形的一个顶点可引4条对角线，故过7个顶点可引28条对角线，由于

每条对角线均重复计算一次，所以七边

形共有14条对角线（3）n边形共有

条对角线，理由与

（2）类似．

17.解：

因为将五边形截去一个角后可能得到四边形、五边形、六边形三种（如图所示）多边形．当得到四边形时，有

×4×

（4－3）＝2条对角线；当得到五边形时，有

×5×（5－3）＝5条对角线；当得到六边形时，有

×6×（6－3）＝9条对角线．

18.解：

（1）设这是一个n边形，则（n－2）·180°＝1125°，n

＝8.25，故这个多边形

是九边形；

（2）135°．设这个内角为x°，则（9－2）×180°＝1125°＋x°，解得x＝135．