有关路程和时间的计算例题.docx
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有关路程和时间的计算例题
有关路程和时间的计算例题
【例1】甲骑自行车以16km/h速度从某地出发沿平直路面运动，
追甲。
（1）乙经多少时间后追上甲？
（2）此时甲运动了多少路程？
【分析】本题有两个物体运动，速度与时间都不相同，但追上时两者路程相同。
【解答】设乙追上甲时间t（h），则甲运动时间为t+0.5（h）．由
s甲=s乙，或v甲t甲=v乙t乙，
得v甲（t乙+0.5）=v乙t乙，
或16km/h（t乙+0.5）h=40km/h·t乙
答
（1）20min后乙追上甲。
（2）追上甲时，甲运动路程是13.3km．
【说明】本题有多种解法。
如：
根据两车速度可知乙速度比甲快
甲为参照物时，乙速度为24km/h，运动距离8km。
【例2】南京长江大桥正桥长1600m，一列长250m的火车匀速行驶通过正桥的时间为3min5s，求该火车全部在正桥上行驶的时间。
【分析】火车过桥时间应以火车头上桥开始计时到火车尾下桥为止，实际路程是L桥+L车。
火车全部在桥上时间应以火车尾上桥开始计时到火车头下桥为止，实际路程是L桥-L车。
答火车全部在正桥上行驶时间135s．
=135s．用比例方法解可简化运算，还可以不需具体计算出火车的速度。
【例3】一列火车以54千米/时的速度完全通过一个1100米长的铁桥，用时1分20秒。
求这列火车的长度。
【分析】本题属于一类“车辆过桥、钻洞问题”，特点是：
题目给出车辆长度，“路程”不能直接代人“桥（洞）的长度”[若是这样代人，车辆行完计算出的路程后，并未完全通过桥（洞），此时整个车辆还在桥上（洞里）！
]，而是路程=桥（洞）长+车长。
【解答】v=54千米/时=15米/秒，t＝1分20秒=80秒，l桥=1100米，求：
l车
根据题意s=l桥+l车
则l车=vt-l=15米/秒×80秒-1100米=100米
答：
这列火车的长度是100米。
【例4】地铁列车环城一周，正常运行的速度是84千米/时，若实际列车迟开6分钟，司机把速度提高到90千米/时，则列车正点到达。
求：
（1）环城一周的路程；
（2）列车实际运行时间。
【分析】本题乍看上去似乎“条件不足”，其实题目中隐含着一个不变量——环城一周的路程s，发现这一点后，问题就不难解决了。
（2）根据题意s正常=s实际=s而s=vt……①
则v正常t正常=v实际t实际……②
由t正常-t实际=0.1时
得t正常=t实际+0.1时
代入公式②v正常（t实际+0.1时）=v实际t实际
代入数据84千米/时×（t实际+0.1时）90千米/时×t实际
解得t实际=1.4时
（1）代入①式s=v实际t实际=90千米/时×1.4时=126千米
答：
（1）环城一周的路程是126千米；
（2）列车实际运行时间是1.4小时。
【例5】北京和天津相距约140千米，有一辆汽车和一辆摩托车同时分别从两地出发相对行驶，48分钟后两车相遇，汽车的速度是105千米/时，求摩托车的速度是多大？
【分析】本题是典型的“相遇问题”，特点是：
（1）全程=两车路程之和；
（2）两车行驶时间相等，请注意初中物理与小学数学解决此类问题的不同方法。
【解答】s=140千米，t=48分=0.8时，v汽车＝105千米/时。
[注：
同一题目中相等的量（如本题中的时间t）可以不写下标]
根据题意s=s汽车+s摩托车=v汽车t+v摩托车t
则v摩托车=（s-v汽车t）/t
=（140千米/时-105千米/时×0.8时）/0.8时
=70千米/时
答：
摩托车的速度是70千米/时。
【例6】甲乙丙三人分别用跑步、竞走和慢跑绕操场一周，他们的速度之比是3:
2:
1，则他们所用的时间之比是：
[]
A．6:
3:
2B．3:
2:
1
C．1:
2:
3D．2:
3:
6
【分析】本题的隐含条件是三人路程相等（都是“绕操场一周”）。
由t=s/v可知，当s相等时，t与v成反比，三人的速度之比是3:
2:
1，其反比就应该是1:
2:
3了，应该选“C”！
…不幸的是，这恰恰是一个“陷阱”，请看下述解题过程：
【解答】根据题意t=s/v，而s1=s2=s3
则t与v成反比
又v1:
v2:
v3=3:
2:
1
所以t1:
t2:
t3=1/v1:
1/v2:
1/v3
代入=1/3:
1/2:
1/1
通分=2/6:
3/6:
6/6
化简=2:
3:
6
所以，正确答案是“D”。
【例7】甲、乙两同学从跑道一端前往另一端，甲在全部时间的一半内跑，另一半时间内走，乙在全部路程的一半内跑，另一半路程内走。
如果他们跑和走的速度分别相等，则先至终点的是：
[]
A．甲 B．乙
C．同时至终点D．无法判定
【解答】1．作图法．设B为路程中点，C为甲一半时间内到达的位置，分析可知，甲、乙从A跑至中点时间相等，同理，两者从C点走到D点的时间相同，而甲从B跑至C比乙从B走至C的时间短，故选A．
2．比较通过全路程所用时间
设甲通过全路程所用时间为t甲，乙通过全路程所用时间为t乙，全程为s。
因为v跑＞v走＞0，s＞0，∴t甲-t乙＜0，故选A。
3．比较平均速度
4．比较在相等时间内通过的路程
设乙通过全部路程所需时间为t乙，由2可知，
不等式两边同加4v跑v走，∴（v跑+v走）2＞4v跑v走，由分子和分母的关系可见
【说明】以上四种方法，第一种作图法形象直观，明了简便，避免了繁杂的数学运算，后三种是运用物理知识和数学手段，严密推导得出的，本题对初二学生有一定的难度，所以把这四种方法介绍给学生，共同商讨。
【例8】一辆汽车从甲城开往乙城的过程中，前三分之一路程内的平均速度是60千米/小时，后三分之二路程内的平均速度是30千米/小时，求在全程内汽车的平均速度。
乙的总路程除以从甲到乙的总时间，就是全程的平均速度。
设全路程为s．
全程的平均速度为：
【说明】变速运动的平均速度不等于速度的算术平均值
【例9】一辆货车第一小时行驶20千米、第二小时行驶30千米、第三小时行驶40千米的路程。
求前两小时、后两小时、全程的平均速度。
【解答】求平均速度要用指定的时间去除这段时间内通过的路程。
前两小时的平均速度：
后两小时的平均速度：
全程的平均速度：
【说明】
①本题说明在不同的路程中平均速度是不同的，在不同时间内平均速度也是不同的。
②相同时间内，通过的路程越长，平均速度就越大。
③全程的平均速度是30千米/小时，不是说每小时物体通过的路程都是30千米。
④全程的平均速度乘以时间，即30千米/小时×3小时=90千米，就是全程实际通过的路程，说明平均速度就是把变速运动当作匀速运动处理的速度。
⑤70千米路程中的平均速度是35千米/小时，而90千米的路程中的平均速度是30千米/小时，说明平均速度越大的路程不一定长；同理，平均速度越大，时间不一定越少。
【例10】做匀速直线运动的A、B、C三辆汽车，它们通过的路程之比是1:
2:
3，求三辆汽车所用时间之比为①1:
1:
1；②1:
2:
3；③3:
2:
1时的速度之比。
速度与路程成正比；路程一定，速度与时间成反比。
①在时间一样时，速度与路程成正比。
因此，
s1:
s2:
s3=1:
2:
3
v1:
v2:
v3=1:
2:
3
②s1:
s2:
s3=s:
2s:
3s
t1:
t2:
t3=t:
2t:
3t
③s1:
s2:
s3=s:
2s:
3s
t1:
t2:
t3=3t:
2t:
t
【例11】匀速直线运动的甲乙两车正在平行行驶。
60米长的甲车速度是25千米/小时，80米长的乙车速度是15千米/小时。
求①相对行驶时，②同向行驶时，错车的时间。
【解答】①如图1所示，从车头相遇到车尾离开，两车通过的总路程为60米+80米=140米（乙车假设不动，甲车通过的路程），两车速度之和是25千米/小时+15千米/小时=40千米/小时（乙车假定为参照物，甲车相对乙车的速度）。
②如图2所示。
从图2中可以看出，从甲车头追上乙车尾开始到甲车尾离开乙车头止，甲车头与乙车尾离开乙车头止，甲车头与乙车尾之间的距离拉开为60米+80米=140米，每小时甲超过乙车25千米-15千米=10千米，如果把乙车当作参照物（静止），甲车对乙车的速度是10千米/小时，错车通过的路程是140千米。
因此，错车的时间为
【例12】比较下列情况时两人速度的大小：
①百米赛跑，甲比乙用的时间少；
②半天时间里，甲走的路程比乙多；
③甲10秒钟跑20米，乙2小时跑7.2千米。
①路程相同时，用的时间越少的人，速度越快，因此甲的速度较快。
②在时间相同时，通过的路程较多的人，速度较大，因此，甲的速度较大。
③用的时间和通过的路程都不相同的情况下，就要比单位时间通过的路程。
甲的速度比乙大。
【说明】本题告诉我们，比较速度的快慢，可以通过比时间或比路程，但更多的是比这两个物理量的比值。
因为这个比值反映了速度的快慢，它更深刻地揭示了速度的意义。
【例13】试分析下列各题以谁作参照物。
①上升的电梯里的人是静止的；
②静止的汽车有人感到它在运动；
③下降的电梯上的人看到墙向上运动；
④同向行驶的汽车里的人看对面的汽车时，感觉自己向后退。
【解答】分析参照物的方法是，先根据题意弄清楚是谁相对于谁运动或静止，那么后一个谁（物体）便是参照物。
①“上升的电梯”应为电梯对地面上升，因此地面为参照物，而“人是静止的”，应是人对电梯静止，因此，电梯是参照物。
②“静止的汽车”是以地面作参照物，而“有人感觉它在运动”应为汽车对观察的人在运动，因而，人是参照物。
③“下降的电梯”是以地面作参照物，“墙向上运动”应是墙对人是向上运动的，因此，人（或电梯）是参照物。
④“同向行驶的汽车”是以地面为参照物，而“感到自己向后退”应是“自己对于对面的汽车向后退”，因此，对面的汽车是参照物。
【说明】运动或静止都是相对于参照物说的，参照物不同，运动的描述也就不同了。
【例14】声音在空气中传播的速度是340米/秒，火车的速度是25米/秒，火车A行驶到车站前某处鸣笛，5秒钟后车站的人B听到火车的鸣笛声，求：
①再过多少时间火车经过车站；
②若车站的人听到笛声后，立即沿平行铁轨的公路以5米/秒的速度向火车跑去，火车与人相遇之处距车站多远。
【解答】画简图3，表示题意及各量的关系。
要抓住两“同时”，即声音传播的同时火车也在行驶、人迎着火车跑的同时火车也在向人的方向行驶。
因此，这两“同时”的时间必然相等。
解法一
火车鸣笛处距车站多远：
s1=v1t1=340米/秒×5秒=1700米
人听到笛声时，火车与人相距多远？
s2=1700米-25米/秒×5秒=1575米
再过多少时间火车经过车站？
人经过多少时间与火车相遇：
相遇时距车站多远？
s3=v3×t3=5米/秒×52.5秒=262.5米
解法二
找出相等的数量关系，列方程求解。
车与人之间的总路程等于笛声传播时火车行驶的路程和人听到笛声后火车与人同时行走的路程之和。
设人行走的时间为t秒：
340米/秒×5秒
=25米/秒×5秒+25米/秒×t+5米/秒×t
∴t=52.5秒
再过多少时间火车经过车站：
人与火车相遇时距车站多远：
s＝v×t=5米/秒×52.5秒=262.5米
【例5】甲、乙两车同时匀速向东行驶，甲的速度是15米/秒，乙的速度是20米/秒，乙车的司机看甲车，正确的说法是[]
A．以15米/秒的速度向东运动
B．以20米/秒的速度向东运动
C．以35米/秒的速度向西运动
D．以5米/秒的速度向东运动
E．以5米/秒的速度向西运动
【解答】速度的大小与运动的方向和参照物有关，同向行驶时。
以速度小的物体作参照物，另一物体速度大小等于两速度之差，方向不变；若以速度大的物体作参照物，另一体的速度大小等于两速度之差，方向相反。
乙车司机看甲车，是以乙车为参照物，乙车的速度较大因而甲车应向反向行驶（向西）速度为20米/秒与15米之差，即5米/秒。
本题应选择E．
【例6】甲乙两车在同一平直公路上同向行驶，甲车速度为10千米/小时，乙车的速度是30千米/小时，乙车发现到追上甲车行驶了15千米，求乙车发现甲车时两车相距多少千米？
【解答】本题用比例解题简便。
如图4所示，乙车追赶甲车，两车行驶时间相同，为什么乙车行驶的路程较多呢？
因为乙车的速度较大，
用这个比例解题简便。
其中s1和v1是甲车的路程与速度。
追及前两车相距15千米-5千米=10千米。
【说明】用比例解题可以减少解题步骤，使解答简捷。
路程一定时，
【解答】速度的大小与运动的方向和参照物有关，同向行驶时。
以速度小的物体作参照物，另一物体速度大小等于两速度之差，方向不变；若以速度大的物体作参照物，另一体的速度大小等于两速度之差，方向相反。
乙车司机看甲车，是以乙车为参照物，乙车的速度较大因而甲车应向反向行驶（向西）速度为20米/秒与15米之差，即5米/秒。
本题应选择E．
【例6】甲乙两车在同一平直公路上同向行驶，甲车速度为10千米/小时，乙车的速度是30千米/小时，乙车发现到追上甲车行驶了15千米，求乙车发现甲车时两车相距多少千米？
【解答】本题用比例解题简便。
如图4所示，乙车追赶甲车，两车行驶时间相同，为什么乙车行驶的路程较多呢？
因为乙车的速度较大，
用这个比例解题简便。
其中s1和v1是甲车的路程与速度。
追及前两车相距15千米-5千米=10千米。
【说明】用比例解题可以减少解题步骤，使解答简捷。
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