专题29压轴题.docx

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专题29压轴题

2015年江苏省各地中考数学模拟优质试题分项版解析汇编

专题29：

压轴题

解答题

1.【昆山市一模】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx－3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（－3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．

（1）求a和b的值；

（2）求t的取值范围；

（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

2.【昆山市二模】已知：

如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，－1），B（3，－1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；

（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；

（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）求出S与t的函数关系式．

3.【泰兴市二模】如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线y=

x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OA中点；

（1）求直线BC解析式；

（2）动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段OA向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段CB以每秒

个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QM∥AB交x轴于点M，若线段PM的长为y，点P运动时间为t（s），求y于t的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下，以PC为直径作⊙N，求t为何值时直线QM与⊙N相切．

4.【无锡市崇安区一模】已知：

如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=

，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AE和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．

（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？

若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

5.【南京市建邺区一模】问题提出

如图①，已知直线l与线段AB平行，试只用直尺作出AB的中点．

初步探索

如图②，在直线l的上方取一个点E，连接EA、EB，分别与l交于点M、N，连接MB、NA，交于点D，再连接ED并延长交AB于点C，则C就是线段AB 的中点．

推理验证

利用图形相似的知识，我们可以推理验证AC=CB．

（1）若线段A、B、C、d长度均不为0，则由下列比例式中，一定可以得出b=d的是

 A．

 B．

 C．

 D．

（2）由MN∥AB，可以推出△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，△FND∽△CAD．

所以，有

，

所以，AC=CB．

拓展研究

如图③，△ABC中，D是BC的中点，点P在AB上．

（3）在图③中只用直尺作直线l∥BC．

（4）求证：

l∥BC．

6.【盐城市滨海县一模】如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12．动点E从点B出发，沿线段BC（不包括端点B、C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段CD（不包括端点C、D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E、F同时出发，同时停止．连接AF并延长交BC的延长线于点M，再把AM沿AD翻折交CD延长线于点N，连接MN．设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，△ABE∽△ECF；

（2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使AE⊥AN？

若存在请求出t的值，若不存在请说明理由；

（3）在运动的过程中，△AMN的面积是否变化？

如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

7.【盐城市滨海县一模】如图，点A（－2，5）和点B（－5，a）在反比例函数y=

的图象上，直线y=x+b分别交x轴的正半轴于点D，交y轴的负半轴于点C，且AB=CD．二次函数的图象经过A、C、D三点．

（1）求A、k的值及直线AB的函数表达式；

（2）求点C、D的坐标及二次函数的表达式；

（3）如果点E在第四象限的二次函数图象上，且∠OCE=∠BDC，求点E的坐标．

8.【扬州市宝应县一模】如图，抛物线y=ax2+bx－4a经过A（－1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

9.【扬州市江都市一模】如图，正方形ABCD中，以BC为直径作半圆，BC=2cm．现有两动点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动，点F沿折线A－D－C以2cm/秒的速度向点C运动．当点E到达A点时，E、F同时停止运动，设点E运动时间为t．

（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？

（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？

（3）如图2，将图形放在直角坐标系中，当1＜t＜2时，设EF与AC相交于点P，双曲线y=

（k≠0）经过点P，并且与边AB交于点H，求出双曲线的函数关系式，并直接写出

的值．

10.【南京市高淳区一模】

（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：

EF=EG；

（2）如图2，将

（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB=m，BC=n，试求

的值；

（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的长．

11.【南京市建邺区二模】如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．

（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；

（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：

画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）

②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？

如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．

（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

12.【苏州市一模】如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•

（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；

（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：

①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；

②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？

若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．

13.【苏州市一模】如图，己知抛物线y=k（x+1）（x－3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，0为坐标原点．

（1）用k表示点C的坐标（0，）；

（2）若k=1，连接BE，

①求出点E的坐标；

②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；

（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．

14.【徐州市二模】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

15.【仪征市一模】如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=

，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．

（1）若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；

（2）若点P在该抛物线上移动，当点p在第一象限内时，过点p作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为定点的三角形与以B、C、E为定点的三角形相似，直接写出点P的坐标；

（3）若点M（﹣4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？

若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

16.【常州市武进区一模】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x的正半轴交于点A，与x的负半轴交于点B，与y轴交于点C．△PAC中，P（1，﹣1），∠P=90°，PA=PC．

（1）求点A的坐标．

（2）将△PAC沿AC翻折，若点P的对应点Q恰好落在函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象上，求a与b的值．

（3）将△ACO绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，在x轴上取一点M，将∠PMD沿PM翻折，若点D的对应点F恰好落在x轴上，求点M的坐标．

17.【宿迁市泗阳县一模】已知，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，点E是线段OB上一动点，过点E作DE⊥x轴，交抛物线于点D，若直线CD与以OE为直径的⊙M相切，试求出点E的坐标；

（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，垂足为F，过点F作FG∥BC，交线段AC于点G，连接FC，使△BCF∽△CFG？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18.【江阴市要塞片二模】阅读材料：

如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp－x1=x2－xp，得xp=

，同理yp=

，所以AB的中点坐标为（

，

）．由勾股定理得AB2=

，所以A、B两点间的距离公式为AB=

．

注：

上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．

解答下列问题：

如图2，直线l：

y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；

（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

19.【盐城市大丰市一模】如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于点A（－1，0），B（5，0）两点，直线y=－

x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？

若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20.【泰州市姜堰区一模】二次函数y=x2－2mx+3（m＞

）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n＞0且n为整数），与y轴交于C点．

（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；

（2）求证：

a=m－

；

（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．

21.【铜山县】如图，抛物线y=

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

22.【苏州市吴江区一模】如图所示，已知点C（－3，m），点D（m－3，0）．直线CD交y轴于点A．作CE与X轴垂直，垂足为E，以点B（－1，0）为顶点的抛物线恰好经过点A、C．

（1）则∠CDE=；

（2）求抛物线对应的函数关系式；

（3）设P（x，y）为抛物线上一点（其中－3＜x＜1－或－1＜x＜1，连结BP并延长交直线CE于点N，记N点的纵坐标为yN，连结CP并延长交X轴于点M．

①试证明：

EM•（EC+yN）为定值；

②试判断EM+EC+yN是否有最小值，并说明理由