[对点训练]
6.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )
A.(2,4)B.(2,-4)
C.(4,-2)D.(4,2)
解析:
选C 由iz=2+4i,可得z=
=
=4-2i,
所以z对应的点的坐标是(4,-2).
7.已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解:
设z=x+yi,x,y∈R,如图,A(1,2),B(-2,6),C(x,y).
∵OA∥BC,|OC|=|BA|,
∴kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|,
即
解得
或
∵|OA|≠|BC|,∴x=-3,y=4(舍去),故z=-5.
复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面上的点Z,则复数的模|z|=|OZ―→|=
,即Z(a,b)到原点的距离.
[典例6] 已知复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-3-2i|的最小值.
解:
法一:
设z=x+yi(x,y∈R),
则|x+yi+2-2i|=1,
即|(x+2)+(y-2)i|=1.
∴(x+2)2+(y-2)2=1.
∴|z-3-2i|=
=
=
,
由(y-2)2=1-(x+2)2≥0,得x2+4x+3≤0.
∴-3≤x≤-1,∴16≤-10x+6≤36.
∴4≤
≤6.
∴当x=-1时,|z-3-2i|取最小值4.
法二:
由复数及其模的几何意义知:
满足|z+2-2i|=1,
即|z-(-2+2i)|=1的复数z所对应的点是以C(-2,2)为圆心,半径r=1的圆,而|z-3-2i|=|z-(3+2i)|的几何意义是:
复数z对应的点与点A(3,2)的距离.
由圆的知识可知|z-3-2i|的最小值为|AC|-r.
又|AC|=
=5,
所以|z-3-2i|的最小值为5-1=4.
[对点训练]
8.在复平面内,点P,Q分别对应复数z1,z2,且z2=2z1+3-4i,|z1|=1,则点Q的轨迹是( )
A.线段B.圆
C.椭圆D.双曲线
解析:
选B ∵z2=2z1+3-4i,∴2z1=z2-(3-4i).
∵|z1|=1,∴|2z1|=2,
∴|z2-(3-4i)|=2,由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3,-4)为圆心,2为半径的圆.
9.已知复数z,且|z|=2,求|z-i|的最大值,以及取得最大值时的z.
解:
法一:
设z=x+yi(x,y∈R),
∵|z|=2,∴x2+y2=4,
|z-i|=|x+yi-i|=|x+(y-1)i|=
=
=
.
∵y2=4-x2≤4,∴-2≤y≤2.
故当y=-2时,5-2y取最大值9,
从而
取最大值3,此时x=0,
即|z-i|取最大值3时,z=-2i.
法二:
方程|z|=2表示以原点为圆心,以2为半径的圆,而|z-i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离.
如图,连接AO并延长与圆交于点B(0,-2),显然根据平面几何的知识可知,圆上的点B到点A的距离最大,最大值为3,
即当z=-2i时,|z-i|取最大值3.
(时间:
120分钟满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知
=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
解析:
选D 由
=1+i,得z=
=
=
=-1-i,故选D.
2.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.-1-iB.-1+i
C.1-iD.1+i
解析:
选A ∵z=i(i+1)=-1+i,∴
=-1-i.
3.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:
选D 由已知,得z1-z2=3-4i-(-2+3i)=5-7i,则z1-z2在复平面内对应的点为(5,-7).
4.设a是实数,且
+
是实数,则a等于( )
A.
B.1C.
D.2
解析:
选B
+
=
+
=
+
i,
由题意可知
=0,即a=1.
5.a为正实数,i为虚数单位,
=2,则a=( )
A.2B.
C.
D.1
解析:
选B 由已知
=2得
=|(a+i)·(-i)|=|-ai+1|=2,所以
=2,∵a>0,∴a=
.
6.复数
2=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a2-b2的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
解析:
选A
2=
=-i=a+bi,所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1.
7.已知f(n)=in-i-n(i2=-1,n∈N),集合{f(n)|n∈N}的元素个数是( )
A.2B.3C.4D.无数个
解析:
选B f(0)=i0-i0=0,f
(1)=i-i-1=i-
=2i,
f
(2)=i2-i-2=0,f(3)=i3-i-3=-2i,
由in的周期性知{f(n)|n∈N}={0,-2i,2i}.
8.复数z1=
2,z2=2-i3分别对应复平面内的点P,Q,则向量
对应的复数是( )
A.
B.-3-i
C.1+iD.3+i
解析:
选D ∵z1=(-i)2=-1,z2=2+i,
∴
对应的复数是z2-z1=2+i-(-1)=3+i.
9.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选A m=1时,z1=3-2i=z2,故“m=1”是“z1=z2”的充分条件.
由z1=z2,得m2+m+1=3,且m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,故“m=1”不是“z1=z2”的必要条件.
10.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于( )
A.2-2iB.2+2i
C.-2+2iD.-2-2i
解析:
选A ∵b2+(4+i)b+4+ai=0,
∴b2+4b+4+(a+b)i=0,
∴z=2-2i.
11.定义运算
=ad-bc,则符合条件
=4+2i的复数z为( )
A.3-iB.1+3iC.3+iD.1-3i
解析:
选A 由定义知
=zi+z,
得zi+z=4+2i,即z=
=3-i.
12.若1+
i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则( )
A.b=2,c=3B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1