安徽省十校联盟届高三摸底考试数学理试题Word版含答案.docx
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安徽省十校联盟届高三摸底考试数学理试题Word版含答案
联盟2018届高三摸底考
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知
是虚数单位，若复数
的实部与虚部相等，则实数
（）
A．-1B．0C．1D．2
3.已知向量
，若向量
与
平行，则实数
=（）
A．-4B．4C．
D．
4.函数
的图象大致是（）
A．
B．
C.
D．
5.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：
有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦荟的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？
其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）
A．
B．
C.
D．
6.已知函数
，其中
且
，若
，则
（）
A．5B．
C.
D．
7.执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为（）
A．4B．5C.6D．7
8.若实数
满足
，则
的最小值是（）
A．
B．
C.
D．
9.已知函数
的图象如图所示，若将函数
的图象向左平移
个单位，则所得图象对应的函数可以为（）
A．
B．
C.
D．
10.若两个正实数
满足
，且
恒成立，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
11.在平面直角坐标系
中，点
在抛物线
上，抛物线
上异于点
的两点
满足
，直线
与
交于点
，
和
的面积满足
，则点
的横坐标为（）
A．-4B．-2C.2D．4
12.已知函数
，若存在正数
，使得
，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在
的展开式中，
的系数为．（用数字作答）
14.已知
，则双曲线
的离心率的取值范围是．
15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中最大的面积为．
16.若有穷数列
满足
，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列
是项数为8的“相邻等和数列”，且
，则满足条件的数列
有个．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知递增的等比数列
和等差数列
，满足
，
是
和
的等差中项，且
.
（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.
18.如图，在
中，
，点
在
边上，且
.
（Ⅰ）求
的长；（Ⅱ）求
的值.
19.2017年《诗词大会》火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出60人的成绩（满分100分）作为样本.对这60名学生的成绩进行统计，并按
，
，
分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）若同一组数据用该组区间的中点值代表，估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩；
（Ⅱ）估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；
（Ⅲ）若规定80分以上（含80分）为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取3名，记其中成绩优秀的人数为
，求
的分布列与期望.
20.已知在四棱锥
中，底面
是菱形，
，
平面
，
分别是
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
21.椭圆
：
的离心率为
，椭圆
截直线
所得的弦长为
.过椭圆
的左顶点
作直线
与椭圆交于另一点
，直线
与圆
：
相切于点
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若
，求直线
的方程和圆
的半径
.
22.设函数
.
（Ⅰ）当曲线
在点
处的切线与直线
垂直时，求
的值；
（Ⅱ）若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12：
二、填空题
13.96
由题意知，
的系数为
14.
由题意知，双曲线的方程可变形为
，∵
，∴离心率
.
15.
由题意知，该三棱锥的直观图如图中的
所示，则
，
，
，
，故其四个面中最大的面积为
.
16.4
设
，由题意知，
，
，
.∵数列
各项都为正整数，∴
，则满足条件的数列
有4个.
三、解答题
17.（Ⅰ）由题意知，
，解得
，设等比数列
的公比为
，∴
，∴
；由题意知，
，则等差数列
的公差
∴
.
（Ⅱ）∵
，∴
.
18.（Ⅰ）在
中，∵
.∴
.
在
中，由正弦定理得
，即
，解得
.
（Ⅱ）∵
，∴
，解得
，∴
，在
中，
，在
中，
.
19.（Ⅰ）设样本数据的平均数为
，则
.则估计参赛学生的平均成绩为72.5分.
（Ⅱ）设样本数据的中位数为
，由
知
.则
，解得
，故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分.
（Ⅲ）由题意知，样本中80分以上（包括80分）的概率为
，则随机抽取一名学生的成绩是优秀的概率为
，∴
.∴
，
；
；
，故
的分布列为
0
1
2
3
∴
.
20.（Ⅰ）取
中点
，连接
.∵
为
的中点，
是菱形，∴
，且
，又
为
的中点，
为
的中点，∴
，且
，∴
，且
，则四边形
是平行四边形，∴
.又
平面
，
面
，∴
平面
.
（Ⅱ）取
的中点为
，∵
是菱形，
，∴
，以
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系
，则
，
，∴
，
，设平面的法向量为
，则
，即
，令
，则
，∴平面
的一个法向量为
，又平面
的一个法向量为
.∴
.即平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
21.（Ⅰ）由题意知，
，即
，∴
，∵由椭圆
截直线
所得的弦长为
，∴弦在第一象限的端点的坐标为
，∴
，将
代入上式，解得
.∴椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，设
，∵
，∴
，∴
，设直线
的方程为
，联立
，得
，∴
；联立
，得
，∵
，∴
，且
；∴
，解得
，∴
，∴
.
22.（Ⅰ）由题意知，函数
的定义域为
，
，∴
，解得
.
（Ⅱ）若函数
有两个零点，则方程
恰有两个不相等的正实根，即方程
恰有两个不相等的正实根.设函数
，∴
.
当
时，
恒成立，则函数
在
上是增函数，∴函数
最多一个零点，不合题意，舍去；当
时，令
，解得
，令
，解得
，则函数
在
内单调递减，在
上单调递增.易知
时，
恒成立，要使函数
有2个正零点，则
的最小值
，即
，即
，∵
，∴
，解得
，即实数
的取值范围为
.
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