食品加工的模型.docx
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食品加工的模型
食品加工的模型
队号6
关于食品加工的模型
摘要
本文首先充分分析了题意，然后根据对偶理论建立了基于对偶单纯形法的线性规划模型。
在处理存储费用的时候，我们给出存储费用价格等价引理，用此引理对用于生产加工的原料油的存储费用进行求解更具合理性，而且符合实际比较简便。
然后，我们用解决数学规划问题的专用软件lingo对问题进行了求解，并且给出了相应的灵敏度分析。
问题1中最优解是公司的最大利润为万元，其中销售额为405万元，购买原料油的成本费用为万元，存储费用为万元。
问题2中随着价格的参数x的增加，公司的利润开始下降，当x的值增加到9时，公司开始亏损。
在模型灵敏度分析中，我们发现对公司利润影响最大的是公司的生产能力。
在模型的改进中，我们想到用动态规划模型来求解。
在文章的最后，我们给出了模型的评价和模型的推广。
一问题的提出
优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。
一项食品加工业，对几种粗油精炼，然后加以混合成为成品食用油。
原料油有两大类，共5种。
两种植物油:
V1和V2;三种非植物油:
O1、O2和O3。
各种原料油均从市场采购，未来半年中原料油的市场价格（元/吨）如下
月份\油
V1
V2
O1
O2
O3
一
1100
1200
1300
1100
1150
二
1300
1300
1100
900
1150
三
1100
1400
1300
1000
950
四
1200
1100
1200
1200
1250
五
1000
1200
1500
1100
1050
六
900
1000
1400
800
1350
成品油售价1500元/吨。
植物油和非植物油要在不同的生产线精炼，每个月最多可炼植物油200吨，非植物油250吨。
精练过程中没有重量损失，精炼费用可以忽略。
每种原料油最多可存储1000吨备用。
存储费为每吨每月50元。
成品油和经过精炼的原料油不能存储。
对成品油限定其硬度在3至6单位之间。
假设硬度是线性地混合的。
各种原料油的硬度如下:
油
V1
V2
O1
O2
O3
硬度
为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案。
现存有5种原料油每种500吨，要求在6月底仍然有这样多存货。
研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。
考虑如下的价格变化方式：
2月份植物油价上升x%，非植物油上升2x%；3月份植物油价上升2x%，非植物油上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。
对不同的值x（直到20），就方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面计划。
二问题的分析
从题目我们可以看出这是线性规划问题。
食品加工业的工厂需要制定一种方案如何原料的购买和生产方案使得工厂在六个月内获利最大，对于这六个月的方案我们可以考虑以1个月为一个生产周期，在每个周期初购买这一个周期所需的原料，成品油和精炼油不能存储，生产出来之后马上卖掉。
我们的任务就是制定一种优化的采购和加工方案使得公司获得最大利润。
公司的利润要受到三个因素的制约，一是购买每一种原料油的成本费，二是卖掉成品油的销售费，三是没有炼制的原料油的存储费。
购买原料油的成本费与购买每一种原料油的数量和每一种原料油的价格有关系，应该是价格高的原料尽量少购买，价格低的原料多购买。
由于销售成品油的销售额的价格不变，所以销售额只与成品油的产量有线性关系，因此尽可能增加成品油的产量，以增加销售额。
要想增加成品油的产量就必须增加每一种原料油的购买量，这样又会引起成本的增加，因此这是矛盾的，但是在这过程中一定存在一个最优的方案使得这两个目标最大。
存储费用与存储原料油总数量存在一种线性关系，存储原料油的数量越少存储费用越少，尽量保证存储的原料油总量少，相应的购买的原料油的量应该尽量少。
这三个因素是互相影响的，既是矛盾的又是联系的。
所以我们建立线性规划模型来解决此问题。
三模型的基本假设
1.我们以一个月为一个生产周期；
2.在每个月初采购各种原料油；
3.精炼过程中没有重量损失，精炼费用可以忽略；
4.在每个月底剩余的各种原料油由于需要存储了整整1个月，存储费为每吨每月50元；
5.成品油和经过精炼的原料油不能存储，随时要卖出去；
6.成品油要求含有5中原料油；
7.在一个生产周期内每一天的生产方式、生产方法和生产数量基本相同；
四符号说明
：
第i种原料油在j月份的价格；
：
成品油的售价，1500元/吨；
：
单位存储费用，50元/吨·月；
：
第i种原料油在j月份初购买的数量；
：
第i种原料油在j月份一共销售的数量；
：
第i种原料油在j-1月份底的存储量即作为第i种原料油在j月份初的数量；
：
第i种原料油的硬度；
：
第j月份各种原料油的存储费用；
：
第j月份各种成品油的销售总额；
：
第j月份初购买各种原料油的成本费；
：
公司在第j月份的利润
五模型的建立
Ⅰ模型的预备
存储费用的确定：
由于存储费用是50元/吨.月，所以对那些留到月底的原料油来说从月初到月底一共存储了整整1个月，所以费用与数量成正比；对于用来精炼油的那一部分原料油的存储费用不是这么简单，我们必须单独考虑。
存储费用等价引理：
如果公司的每个月服从均匀生产规律，那么用来精炼油的原料油单位存储费用是存储整整一个月原料单位费用的。
证明：
假设每个月均匀生产，每个月一共生产Q吨,将贮存量表示为时间t的函数
，开始生产时刻记为t=0,那么在时刻t=0生产0件，贮存量
以速率
递减，直到
，如图1所示
图1存储量的周期生产图形
一个月生产Q,一个月以30天为准，则
平均每天每吨的存储费用为50/30，在一个周期即一个月内的存储费用是
相当于每个月每吨的存储费用是25元。
结论：
对于本题中用来精练成品油的原料油的单位存储费用按照25元/吨·月计算。
Ⅱ模型的建立
根据问题分析我们可以得到，公司的利润与三个因素有关即销售额、原料油的成本和原料油的存储费用，要使公司获得最大利润必须分别考察这三个方面的影响。
由于成品油的销售额与销售价格和销售量有关，而销售价格1500元/吨，不发生变化，所以销售额只取决于销售量，因此有
；对于原料油的成本的计算，由于每一种原料油的价格不同，所以购买所用的单位成本就不一样，特别是硬度在3-6之间而且单位价格比较便宜的，可能会有更大的影响。
但是我们可以将它用每一种原料油的价格和数量表示出来，成本费用为：
。
由于存储费用包括两部分，根据前面的分析有
。
这样，我们可以得到一个月的利润表达式，
根据以上分析，我们根据对偶理论建立了基于对偶单纯形法的线性规划模型：
六模型的求解
我们根据建立的线性规划模型，通过lingo软件编程（程序见附录1），得到了问题的最优解，公司的最大利润为万元，其中销售额为405万元，购买原料油的成本费用为万元，存储费用为万元。
具体的采购和加工方案见表1。
月份
原料油
购买量（吨）
对目标函数值的影响（元/吨）
生产量（吨）
对目标函数值的影响（元/吨）
一
月
V1
V2
O1
O2
O3
二
月
V1
V2
O1
O2
O3
三
月
V1
V2
O1
O2
O3
四
月
V1
V2
O1
O2
O3
五
月
V1
V2
O1
O2
O3
六
月
V1
V2
O1
O2
O3
表1采购和加工方案
结论：
1.购买方案与原料油的价格有关，尽量购买价格低的原料油，尽量减少价格高的原料油的购买量，甚至不够买；尽量在后几个月购买原料油，以减少原料油的存储费用；
2.加工方案中应该与原料油的硬度和购买的数量有关，在六个月中没有购买的不生产例如O1；两种植物油全部生产。
问题二的求解
现在我们需要考虑但原料油价格发生变化时采购与加工方案的变化，我们认为价格变化方式如下表2所示：
月份
1
2
3
4
5
6
植物油（x%）
1
1
2
3
4
5
非植物油（x%）
1
2
4
6
8
10
表2价格变化方式
现在我们将变量x从1以步长1变化直到20，得到了每一步的最大的利润（见表3）及采购和加工方案（见附录2）。
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
利润（元）
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
利润（万元）
表3
我们用Matlab数学软件作出最大利润随价格涨幅的变化曲线图，见图2。
图2
从图中不难发现，在x=8之前，最大利润随x的增大而基本呈线性的减小，且利润为正，而在x>8后利润变为负数，即由于价格上涨过多，公司开始出现亏损，但是减幅开始减小，最后曲线趋于平坦。
通过进一步的分析可知道，当x增达到一定程度时，从二月开始许多原料油价格将超过成品油价格，因此在这时公司肯定会避免购买这些原料油而是尽量购买较为便宜的原料以供继续生产，这样才可以保证亏损额不至于继续增加，当x继续增大时（x>20），二月份以后的所有原料油价格均将超过成品油价格，只有第一个月份的油价保持不变，小于成品油价格，因此公司只会在一月采购一些原料油以供生产来减少亏损额，这样公司生产方案就会固定下来，从而最大利润也固定下来。
通过计算可知，当x≥25时，公司所能得到的最大利润稳定在万元不再继续减少。
另外还可发现，在0-7之间公司的最大利润与x简单的成线性关系，因此在这断区间上可以拟合出一条直线用于计算x在0－7之间变动时的最大利润而不必再将x带入程序计算，从而简化计算。
以上是在成品油价格不变的情况下得到的结论，但是在实际生产中，若原料价格上涨，而企业为了保持盈利，必然会提高产品的价格。
为了计算方便，在这里我们只求公司应将成品油价格定为多少时才可保证不会亏损，即给公司一个决策购买和加工的依据，当成品油的市场价格为多少时，就停止购买和加工。
我们就公司随x值变化亏损时成品油的价格进行讨论。
计算x从9到20变化时的，允许生产的最低成品油价格见表4：
x
9
10
11
12
13
14
成品油价格（元）
1521
x
15
16
17
18
19
20
成品油价格（元）
表4
由于原料油的价格是线性增加的，但是要保证公司不亏损，允许生产的成品油的价格却不是随着原料油的价格成线性增加的，从图3成品油亏损价格随x变化的曲线图中可以看出。
实际上，成品油的最低价格决定于公司的亏损额，即图2与图3之间有很大的联系。
在9－14之间，由图2知，公司最大利润的下降幅度相对于后面的部分要快，因此在此之间成品油最低价格随x增长也较快。
而大约在14-20之间，成品油无亏损价格的变化开始缓慢下来，且与x成线性关系，对照图2的对应部分可发现这是由于在这段区间上最大利润近似成线性减少的缘故。
但是我们前面分析过，x从25继续增大时，最大利润将会稳定下来保持不变，因此从20开始成品油价格增幅将会继续减小，到x≥25时也将会固定下来不再增加。
从他们对应的原料油购买和生产方案中我们可以看出他们的原料油购买和生产方案一样，这之间有着某种不可忽略的联系。
我们可以利用图3为公司的决策者提供一些建议，当1到6月份的原料油价格在这个范围内变化时，比较现有的成品油价格与成品油无亏损价格，如果成品油价格低于成品油无亏损价格就采取相应的原料油的购买和加工方案。
图3
七模型的灵敏度分析
Ⅰ.在我们求解第一个问题的时候，我们得到了有关灵敏度的分析数值，表1中给出了购买量和生产量对公司总利润的影响，即对模型目标函数值的影响。
从表1中，我们可以看出：
（1）二月份的第四种、三月份第五种、五月份第一、五种、六月份第一、二、四种原料油的购买量对公司的总利润无影响，其他月份的其它类别的原料油购买量的增加将会导致公司总利润减少，实际上就没有购买这些原料油。
而这些无影响的原料油中除了五月份第一种原料油没有购买外，其他的原料油均购买了。
我们还可以发现购买的时间在后两个月，这可能是原来存储的原料油在前几个月内够用，在后两个月买是为了减少存储费用。
另外，我们发现单价低的原料油购买的量就较多；
（2）在生产量的影响中六个月份的两种植物油都参与生产了，六个月份的第一种非植物油没有一次参加生产，第二种非植物油在二月份和三月份没有参与生产，而第三种非植物油却只在二月份和三月份参与生产。
只有六月份的第一、三种非植物油对公司总利润有影响，其他月份的其他原料油的生产量不影响。
第三种非植物油的生产产量对总利润的影响比第一种非植物油要大，这与第三种植物油的价格比第一种非植物油价格要高有一定的联系。
Ⅱ.“DUALPRICE”（对偶价格）（见附录1）列出最优单纯形表中判别数所在行的松弛变量的系数，表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率，输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。
若其数值为x，表示对应约束中不等式右端项若增加一个单位，目标函数将增加x个单位（max型问题）。
（1）我们从结果中可以发现第2—13行的值不为零，其值从425到742不等，这是约束条件“每个月最多可炼植物油200吨，非植物油250吨”所引起的，即当约束条件“每个月最多可炼植物油201吨，非植物油251吨”时，公司的总利润将增加675+625+575+525+475+471+625+575+525+475+425+741＝6712元，如果约束条件增大10吨时，即每个月最多可炼植物油210吨或者非植物油260吨，则公司的总利润将增加万元，这样生产能力提高约
时，公司的总利润提高约
；
（2）我们在约束6月底存储量的时候要求等于500吨，但是当将6月底存储量的要求变为501吨时，公司的总利润将减少950+1050+1150+850+1150＝5150元，因此应该尽量使6月底原料油的存储量等于500吨，以减少存储费用，从而增加公司的总利润；
（3）硬度的变化对总利润的影响很微小，当硬度限制条件增加1时，总利润减小37元，这个影响因素对总利润的影响相对于生产能力的影响较小；
（4）我们在约束月底存储量的时候要求大于零，因为存储量不可能为负，但是当将月底存储量的要求变为1时，公司的总利润将减少500元，所以应该尽量使月底原料油的存储量减少，以减少存储费用，从而增加公司的总利润。
结论：
从长远的、根本的因素考虑，为了提高公司的总利润，应该扩大公司的规模，提高公司的生产能力，以此来增加公司的利润！
八模型的改进
我们的模型是线性规划模型，本题涉及到六个月的原料油的采购和加工方案，我们在假设的时候，将一个月作为一个生产周期，也就是一个生产阶段。
我们可以从另外一个角度考虑，这实际上也是一个多阶段生产计划问题。
多阶段生产计划属于离散动态优化问题，动态规划模型是解决这类问题的有效方法。
我们要解决的原料油的购买和加工方案就是最优化生产计划，可以将他转化为典型的动态优化模型—最短路问题，然后确定如何求解最优生产计划。
最短路问题为了更好的解决这类问题，我们将多阶段生产计划化为下面的最短路问题，见图4。
图4多阶段生产优化成的最短路径问题
每时段初的存储量看作各个路段的不同站点，路段1只有站点1，路段2有0，1，2，3共4个站点，路段3有0，1，2共3个站点，而时段3末的存储量为0看作路段4的站点0，图中这些站点用圆圈里的数字表示。
从一个路段的每一站点可以到达下一路段的那个站点，由时段初的存储量、本时段的生产量及需求量确定，图中用站点间的连线表示，在将本时段的生产费与存储费之和作为两站点间的距离，标在站点间的连线上，这样求各时段生产计划使总费用最小，就化为寻找从路段1的站点1到路段4的站点0的一条最短路径。
将此种思想用到本题中，将生产化为6个阶段，即每个月为一个生产阶段。
我们要求的问题是求公司的最大利润，这就需要从第6个月向前规划，保证每个月到6月的利润都是最大值。
其实这样求得的结果才是全局最优解。
九模型的评价
我们的模型优点是：
1.将存储费用分成两部分处理，一部分是存储完整的一个月，单价是50元/月·吨，另一部分是用来生产成品油而用去的原料油的存储费用。
我们把公司在一个月内的生产看作均匀生产，并且通过存储费用等价定理将这部分的单位存储费用转化为25元/月·吨，这样比较全面又很简便。
2.我们在模型求解的时候，利用了专门求解规划问题的lingo数学软件，求解速度很快，而起结果准确，最大的好处就是将我们的模型进行了灵敏度分析；
3.我们用MATLAB数学软件对求解的结果进行了检验，验证的结果是两者求解的结果一样；
4.在模型的改进中，我们采用了动态规划模型，利用最短路问题将其转化成为典型的动态规划模型，求解全局最优解。
5.我们对公司的总利润进行了灵敏度分析，并且对公司的购买和加工方案的决策提供一些参考依据即最好、最长远的方法就是提高公司的生产能力。
缺点：
1.在题目中，我们发现不同月份的不同种类原料油的价格不一样，一定有个优先级问题，这在我们求解的结果中体现出来这一点，但是我们没能给出这种优先的准则，而是通过数学软件来处理，这虽然减少了思维量，但是对于模型理论的研究是不利的；
2.我们从模型的求解中发现一些规律，但是没有能够用数学的方法从理论上证明这是为什么，当原料油的价格成线性增加时，无亏损成品油的价格与之有一定的关系，但是我们只是从表面进行给出大致的关系，没有从理论给出合理的解释；
3.我们只是从题目的六个月的数据进行求解，没能够从更长远比如1年甚至10年来考虑公司的利润，这是我们的缺点。
但是由于数据的限制，这也是不能很好的做到的一个客观原因；
4.我们没有考虑到公司的炼油设施会因为人为、自然等原因出现突然停产的情况，这种情况下需要维修机器或者购买新机器设备，维修机器的最佳时间和周期及购买新机器的型号（改进的新型号）、数量、时间和价格需要我们考虑，还有就是给出机器维修、购买的决策因素，在什么情况下需要对机器维修、购买等；
5.我们只考虑了公司生产一种成品油，如果公司同时生产几种类型或者不同规格的成品油，因为不同规格不同质量的成品油的原料要求不同，价格也不相同，这样做的好处是可以让有不同要求的顾客买到自己想要的成品油。
十模型的推广
本模型是一个典型的线性规划模型，用来求解最有目标函数值问题。
此类问题很多，也有很多的推广应用价值。
优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。
设计师要在满足强度要求下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场要求下确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券“下注”，使收益最大，而风险最小；生产轮胎的公司要决策如何进行生产轮胎才能保证收益最大，假如顾客的订单突然增加，可能导致缺货，假如机器需要检修或者购买新机器等因素，如何决策呢？
这种用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓优化模型。
虽然由于建模时要做适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。
如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。
在决策科学化、定量化的呼声日益高涨的今天，这无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。
参考文献
【1】数学模型（第三版）姜启源谢金星叶俊高等教育出版社2003年8月
【2】大学生数学建模竞赛辅导教材（三）叶其孝主编湖南教育出版社1998年5月
【3】数学建模优秀集轮胎生产方案中国矿业大学2002年10月
【4】用LINDO、LINGO解运筹学问题6工程计算及应用何仁斌重庆大学出版社2001年12月
【5】运筹学谷源盛重庆大学出版社2001年8月
附录
附录1
model:
sets:
m/1..6/:
;!
定义月份下标集;
n/1..5/:
;!
定义原料油种类下标集;
ajz（m,n）:
c,x,y;!
定义价格矩阵C,购买方案矩阵X和生产方案矩阵Y;
endsets
data:
c=11001200130011001150
1300130011009001150
1100140013001000950
12001100120012001250
10001200150011001050
900100014008001350;
enddata
max=@sum（m（i）:
@sum（n（j）:
（1825-50*i）*y（i,j）-50*（7-i）*x（i,j）-c（i,j）*x（i,j）））-750000;!
目标函数;
@for（m（i）:
y（i,1）+y（i,2）<=200）;
@for（m（i）:
y（i,3）+y（i,4）+y（i,5）<=250）;
@for（m（i）:
*y（i,1）+*y（i,2）*y（i,3）+*y（i,4）+*y（i,5）>=0）;
@for（m（i）:
*y（i,1）*y（i,2）+*y（i,3）+*y（i,4）+*y（i,5）>=0）;
@for（n（j）:
@sum（m（i）:
x（i,j）-y（i,j））=0）;
@for（n（j）:
x（1,j）<=500）;
@for（n（j）:
x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）<=500）;
@for（n（j）:
x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）<=500）;
@for（n（j）:
x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）<=500）;
@for（n（j）:
x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）-y（4,j）+x（5,j）<=500）;
@for（n（j）:
x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）-y（4,j）+x（5,j）-y（5,j）+x（6,j）<=500）;
@for（n（j）:
500+x（1,j）-y（1,j）>=0）;
@for（n（j）:
500+x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）>=0）;
@for（n（j）:
500+x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）>=0）;
@for（n（j）:
500+x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）
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