初中数学概念课教学设计案例.docx
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初中数学概念课教学设计案例
初中数学概念课教学设计案例
数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。
对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。
但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。
案例1：
前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长x。
这组题对于初二的学生来讲，能够很快的得到答案。
由于边长都非负，所以学生的第一反应说出的都是这组数的算术平方根，因为教师设计要讲平方根，所以要求学生写出计算过程，并强调
，然后取正舍负，再由这四个例子进行抽象概括出平方根与算数平方根的定义：
即
时，我们把
叫做
的平方根，其中正值又叫做
的算术平方根。
接下来就是根据定义求一些非负数的平方根与算术平方根的题组训练。
表面上看，教师似乎让学生经历了从特殊到一般的抽象概括的过程，但实质上，教师的设计只是形式化的，并没有使学生真正的参与到平方根的发生与形成过程中，没有使学生真正弄清楚为什么
叫做
的平方根，所以可以想到学生只是机械的接受概念，在此基础上照猫画虎式进行解题练习，这种做法一定会造成学生后期将平方根与算术平方根混淆。
案例2：
关于“同类项”的教学：
教师往往采用如下引入：
下面各式有何共同特点，请用简洁的语言叙述：
（1）
；
（2）
而后师生共同归纳出同类项的概念。
这样的教学只是揭示了“同类项是什么”，而没有揭示“为什么提出同类项的概念，为什么教学中这样定义同类项概念”。
这里涉及到科学分类的问题，分类是自然科学中的基本逻辑方法，通常是根据所研究的具体问题，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，把他们不重不漏地划为若干类别，再分别加以研究，从某种程度上说，概念是对客观事物按照某种需要进行分类的产物，仅仅以事实为基础形成的概念难以迁移。
在我们的日常教学中，类似于以上的概念教学并不是少数，我们将目前部分教师的概念教学模式进行简单的归纳，可以分为以下几类：
（一）开门见山，教师直接给出定义，归纳注意事项、举例让学生反复练习；
（二）认为概念教学=解题教学，所以通过大容量训练，使学生逐步认识概念；
（三）创设情境，但情境的选择并不能揭示概念的本质，只是为了设计情境而刻意安排的，让人感到前后不够协调；
（四）注意到让学生参与概念的形成过程，但在概念的分析过程中，缺乏与学生已有知识的联系，总感觉每个概念都是孤零零的，没有形成系统。
这些模式的教学，其效果往往事倍功半，耗费学生大量的时间与精力，但知识掌握的一知半解，吃夹生饭，对问题的解决，依靠简单的机械模仿，所有的训练都游离在知识的表层甚至知识之外。
长此以往，必将使学生成为并不优秀的“做题机器”，数学双基也无法落实。
鉴于此，反思我们的概念教学就显得尤为重要，到底什么样的概念教学模式可以称之为好的，有效的教学模式是什么呢？
我认为应该没有统一的模式，教学有法、教无定法，只要教师能重视基本概念蕴含的智力开发价值，注意充分挖掘基本概念蕴含的数学思想方法的教育价值，能够使学生掌握知识、发展能力的概念教学都是有效的、好的教学。
三、初中数学课堂概念教学的一些想法
从教育与发展心理学的角度出发，概念教学的核心就是“概括”：
将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同的本质属性，归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。
数学概念要讲背景、讲思想、讲应用，概念教学则强调让学生经历概念的概括过程，由于数学能力是以数学概括为基础的能力，因此重视数学概括过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性。
概念的课堂教学大致经历以下几个环节：
概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相关概念的联系与区别、概念应用举例、概念的巩固练习。
下面结合实例就其中关键环节谈谈在设计时的注意事项。
（一）概念的引入
我认为在概念课的引入上，要树立起让学生自己去发现的观念，如果能让学生产生认知冲突，对学习新概念的必要性产生需求，并主动发现新概念是最佳途径。
这样学生们在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，同时还能培养他们的探究精神，激发学生的潜能。
所以对于情境的设计，要结合概念的特点恰当地选取，特点不同，引入形式也就会存在差异：
我们提倡借助生动、丰富的实际问题引入概念，能够与学生的生活密切结合，这样往往比较具体、形象，学生容易理解，也比较容易从中提炼出概念的本质属性，比如数与代数中的同类项、分式等，空间与图形中的角、平行线、三角形等；但并非所有的数学概念都适宜用这种方法，比如前面提到的平方根，我认为从数学内部的运算关系角度入手，更容易理解（后面会具体分析）。
下面介绍概念引入的三种想法：
1.联系概念的现实原理引入新概念。
在教学中引导学生观察有关实物、模型、图示等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。
例如：
在平面几何平行线的教学中，可以让学生观察单线练习本中的一组平行线，分析这组线的位置特点，再利用相交线作对比，然后概括出平行线的定义；在圆的概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的一端固定，另一端栓一支铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是什么？
学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。
2.从具体到抽象引入新概念。
数学概念有具体性和抽象性双重特性。
在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念。
例如：
在讲线线垂直的概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再模拟出线线垂直的模型，抽象出其本质特征，概括出线线垂直的定义，并画出直观图，即沿着实例、模型、图形直至想像的顺序抽象成正确的概念，再比如对于一元一次方程的概念，可以借助一些简单的实例，让学生列方程，然后观察这些具体方程的共同点，从具体到抽象归纳概括出一元一次方程的定义。
3.用类比的方法引入概念。
类比不仅是一种重要形式，而且是引入新概念的重要方法。
例如：
可以通过同类项的定义类比地归纳出同类二次根式的定义，通过类比分数得到分式的概念，类比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函数等概念。
作这样的类比更有利于学生理解和区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆。
案例3：
设计如下：
教师首先利用竞赛的形式，给出两组练习，要求学生口答后，观察两组题目的区别与联系：
这种引入概念的方法，是建立在新旧知识的联系上，充分考虑学生已有的知识经验，使学生在具体数值的计算中，发现规律：
第一组题已知底数、指数，求幂，第二组已知幂、指数，求底数，在此基础上学生能够从特殊推广到一般。
当学生由具体到抽象得到
时，教师可以提出：
此时将已知数a仍叫做幂、x叫做底数合适吗？
学生回忆加减法互逆后以及乘除法互逆后各数的名称都发生了变化，所以
中各部分的名称也应相应改变。
教师可以不急于给出平方根的概念，而让学生结合式子的特点给x命名，由于a是已知数，此式从形式上看是一元二次方程，而求x就相当于求方程中的未知数，结合已有知识，学生能够想到诸如“二次方程的根（解）”“平方的根”等，在此基础上，教师再规范成“平方根”，这样会更有利于学生对平方根的理解，因为在参与命名时，学生就要认真分析式子以及结果的特点，对理解概念有帮助，在此基础上，创设生活中的实例，使学生感受到生活中更多的是应用平方根中那个非负的，顺势提出非负的平方根如何命名？
学生结合小学学的都是算术，很容易说出算术平方根。
这也保证与数学结果唯一的特性一致了。
此外，在分析
时，也可以引导
学生总结出，式子中的三个量，知其二，可以求第三个，为后续高中学习奠定基础。
案例4：
首先借助几何画板：
师：
如图，四边形ABCD是平行四边形，那么它的边、角、对角线有什么性质？
他有什么样的对称性？
生（齐答）：
对边相等、对角相等、对角线互相平分；是中心对称图形。
师：
它具有稳定性吗？
那么，若把一个内角A变成一个直角，（如图，拖动点A，使角A变成90度）。
这时，平行四边形ABCD是我们熟悉的什么图形？
生：
正方形！
我知道了，当平行四边形有一个角是直角时，这个四边形就是长方形或正方形。
从而引入矩形的概念。
在这个教学案例中，教师充分考虑了所教内容的系统性及学生的已有知识及认知水平，概念的形成给人水到渠成的感觉。
此外，函数概念的教学一直是初中教学中的难点，因其抽象性而令学生“望而却步”。
函数的特点是什么？
学生感到困难的主要原因是什么？
我们在进行概念教学时，都要考虑到。
函数从学科角度看，研究对象由定到动，思维方式由静止到运动，而学生的困难主要源于函数概念的高度抽象性以及函数表达形式的多样性和思维方式的变化。
教学时，就要考虑到这些问题，生活中存在大量的函数实例，在选择时要注意所选实例不仅应该是学生熟悉的、感兴趣的，还要考虑到实例中要包含函数的三种表示形式----解析法、列表法、图像法，使学生从不同的角度，多方位地理解函数概念---从变化、对应到形成概念，继而概念辨析，分层次使学生逐步加深对函数本质的认识。
对于三角形中位线概念的教学设计，有老师可能利用生活中的实例引入，也有的老师利用它与三角形中线的区别与联系引入，其实还可以借助学生动手实验引入。
案例5：
事先让每位学生准备一张三角形纸片和剪刀，课上让学生思考，只剪一刀，将剪成的两张纸片拼成一个平行四边形。
学生很乐于参与这种动手操作的活动，根据生活经验也不难完成活动（如图），但当教师提出“说说你的裁剪方法”时，学生只能用生活语言，如“沿三角形的中间剪的”，说不出准确的数学语言。
此时教师引导学生观察裁剪线的端点具有什么样的特征？
有实物模型加上学生动手剪拼，可以得到D、E均为各边的中点。
那么，它能叫中线吗？
如果不能，我们可以给它起个什么名字？
让学生尝试命名，根据它位置的特殊性，学生在教师的启发下，可以得到中位线的概念。
这样的设计激发了学生的探究欲望，而且为后续探究中位线的性质埋下了伏笔，可谓一举多得。
由上面的分析可以看出，概念的引入方式没有统一的模式，总的原则是通过教师创设典型、丰富的具体实例（可以让学生自己举例），引导学生展开分析、比较、综合等活动，在此基础上，概括出共同本质特征，得到概念的本质属性。
为了激发学生的学习兴趣，促进学生的思考，引入的形式应该多种多样，可以是问题导入、游戏导入、史话导入等等。
（二）概念的剖析及辨析
概念生成之后，应用概念解决问题之前，往往要进行概念剖析，即用实例（包括正例与反例）引导学生分析关键词的含义，包括对概念特性的考察，可以达到明确概念、再次认识概念本质的目的，还可以从中体会概念中所呈现的转化问题的方法，这是最基本、最重要的方法。
案例6：
函数定义：
在某一变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，y叫作x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。
教师引导学生分析概念中的关键词：
两个变量；对应；x的每一个值；y唯一确定.
关键词中的“每一个”、“唯一确定”是指对于x取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，不能有两个或者两个以上与其对应。
在此基础上，给出一些具体问题，让学生尝试利用概念进行辨析练习，进一步加强对概念的理解。
如
有一位学生的考试情况是这样的：
让学生分析每次考试的分数与序号之间是否具有函数关系？
再比如：
在
中，y是不是x的函数？
那么反过来x是不是y的函数呢？
还可以给出右图，让学生对图像中y与x的关系进行判断，是否具有函数关系然后利用两个图像进行对比，从中体会“唯一”的含义。
还可以让学生自己举出一些例子，大家一起判断所举例子是否存在函数关系。
在概念剖析练习中，进一步体会概念的内涵与外延，认识函数的本质。
此外，在剖析概念时通常要对概念的多种表示语言进行转化，数学语言主要是文字叙述、符号表示、图形表示，要会三者的翻译，同时更重要的是强调符号感。
三种语言的转换在空间与图形的教学中体现得较为充分。
例如：
在讲三角形的中位线的概念时，得到定义“联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”后，往往会要求学生根据定义画出与之相对应的图形，然后，要求学生尝试用符号语言来表示定义。
即：
在△ABC中，
∵D为AB边中点，E为AC边中点，
∴DE为△ABC的中位线。
（三角形中位线定义）
反之，已知：
∵DE为△ABC的中位线，
∴D为AB边中点，E为AC边中点。
（三角形中位线定义）
两个角度的描述，体现定义的双重性（性质、判定），然后让学生画出三角形中所有的中位线，进一步体会它的位置特征。
往往还会要求学生将中位线与三角形的中线进行对比，找相同点与差异，在对比中进一步熟悉三角形的中位线。
再比如案例7：
全等三角形的概念：
引入全等形的概念“能够完全重合的两个图形叫做全等形”后,给出一组判断题：
判断下列三组图形是否是全等形：
第一组：
两个三角形；
第二组：
两面中国国旗
第三组：
两个六边形
其中第三组图片，教师根据学生回答，利用几何画板动态演示其中一个图形通过平移、旋转后是否与另一个图形重合的过程，从而验证学生的判断，巩固全等形的概念.
提问：
你认为两个图形是全等形应具备哪几个条件？
教师引导学生归纳总结出：
（1）形状相同；
（2）大小相等。
你还能再举出生活中具有全等形的例子吗？
学生在思考问题的过程中，进一步认识全等形的概念。
其中对于概念中所涉及到的图形，要注意采用图形变式，加强对概念的理解。
比如，圆中直径的概念，有的教师教学中一般画出的图形如图1，忽视了其他的情况，造成有些不爱动脑筋的学生的定势思维，认为只有满足图1的情形，AB才叫直径，对于变式图形中的直径识别不出来。
所以在概念教学中图形的变式训练，有利于突出概念的本质，只要抓住概念的本质，就可以保证无论图形如何改变，都能从中找到研究的对象。
三）相关概念的区别与联系
数学概念不是孤立存在的，概念间都有着千丝万缕的联系，概念教学还应该承担着建立与相关概念的联系的任务，教学时，要引导学生试着对概念进行适度的联系与发散，努力找出概念间一些体现共性的东西，以使学生形成功能良好的认知结构。
案例8：
对于三角函数的教学，我们先对函数概念的本质特征进行逐层剖析，再通过类比，来学习锐角三角函数：
①如图，在锐角
（不妨令∠BAC=
）的一边上任取一点B，作BC⊥AC，垂足为点C，当
确定时，三个相应的比值
、
、
随之确定，与点B的位置无关；而当锐角
变化时，三个相应的比值随之变化——说明变量的存在性——“存在某个变化过程”；②“在某个变化过程中有两个变量
”（不妨令
，以此为例）——说明三角函数同样是研究两个变量之间的依存关系；③“对于
在某一范围内的每一个确定的值”——说明变量
的取值是有范围限制的，即在锐角范畴内研究它们；④“
有唯一确定的值和它对应”——说明有唯一确定的对应规律，由以上类比剖析可知，锐角三角函数概念的本质同样是一种对应关系，这种对应关系不能像一次函数那样用解析式表示，只能用特定的符号来表示，这也是它与以前所学代数函数的区别所在。
另外，教学中还要使学生明白：
①锐角三角函数概念的建立，是对函数概念的一种升华，即从对应的角度来认识函数。
②对应的角度的认识：
可以是一对一，也可以是多对一（如二次函数），但不能是一对多的，掌握了这一点，我们可以据此进行一些训练，概念通过这样的联系与发散，同学们一定会对三角函数有进一步的认识。
再比如，对于二次函数的教学，可以类比一次函数进行定义，此外还要引导学生分析它与二次方程、二次不等式以及二次代数式四者之间的关系。
使学生对它们有全面的认识，知识点串成线，最后结成网，必然有利于知识的理解与应用。
再有，对于梯形的教学，教师首先要认识到，它是一个组合图形，是由特殊的平行四边形和三角形组合而成的，所以它基本上没什么性质，而是通过图形分解，转化为平行四边形和三角形来解决问题的。
其次教师要将这一点传递给学生，学生如果明确了，那么也就能自觉地添加辅助线解决问题了。
如果进一步能够弄清四边形与三角形如何拼成梯形，那么，对于如何添加辅助线将梯形转化为特殊的平行四边形以及三角形就不是特别困难了。
（四）概念的应用举例与训练巩固
概念的形成是一个由个别到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。
通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。
因此在数学教学中不仅要注意概念的形成过程，也要注意概念的应用。
根据不同概念的特点，采用恰当的教学手段，激励学生实现对概念的理解，才能使学生学得好、学得牢。
这一阶段，主要是选用有代表性的简单例子，使学生形成用概念做判断的具体步骤。
例如：
在全等三角形的教学中，对于定义不难理解，但是在应用定义的性质解决问题时，学生往往由于找不准对应边与对应角而出现问题，为了突破这个难点，可以安排如下例题：
（1）指出对应顶点、对应边和对应角；
（2）在此图形中，你还能得到哪些结论？
阐述你的理由。
预案：
AB∥FD，AC∥FE，BD=CE等等。
（3）教师拖动三角形的一个顶点，学生观察图形的变化情况，引导学生得出结论：
两个三角形形状虽然改变了，但它们全等的关系仍旧保持不变。
得出结论后，教师继续引导学生观察对应边、对应角的变化，并得出结论：
虽然长度和角度发生了变化，但对应边相等、对应角相等这一结论却始终保持不变。
这一环节通过改变三角形的形状，让学生感受到全等三角形对应边、对应角在图形变换中相等这一关系始终保持不变的性质，从而树立“对应”思想。
（4）教师将△FDE进行平移，改变两个全等三角形的位置关系，让学生观察对应边、对应角的变化，并引导学生思考在图形的运动变换过程中还有哪些关系保持着不变的性质。
通过改变两个全等三角形的位置关系，让学生体会全等变换，培养学生的识图能力。
接下来可以让学生自己动手操作：
两人一机，利用几何画板操作平台探究并完成实验报告（见下表）.
要求：
1．对实验报告中的由全等三角形图形变换得到的组合图形进行探究，指出对应边和对应角；
2．通过几何画板课件动态操作演示，研究每组图形所具有的特殊的数量关系或位置关系，将结论填写在实验报告上，然后全班交流、师生共同评价，并对学生给予及
时的鼓励。
通过学生的小组合作探究，培养学生的交流能力和语言表达能力，几何画板的动态演示可帮助学生识别对应边、对应角，从而突破教学难点。
例2：
已知:
如图，长方形ABCD沿AM折叠，使点D落在BC上的N点处
如果AD=10，∠DAM=25°，则AN=________,∠NAB=_________
通过此题的解决，教师引导学生反思得出：
全等三角形的性质提供了相等的线段和相等的角，为今后的证明开拓了解题的思路。
通过例题配备，对所学知识进行及时反馈，使学生能够利用全等的概念和性质解决问题。
再比如，对于二次函数概念教学中的例题配备，要注意梯度与层次。
练习1：
下面各函数中，哪些是二次函数？
练习2：
已知函数
是二次函数，则m=____________；若x=5，则y=____________。
练习3：
抢答练习
练习4：
如图：
求周长增大部分C（cm）和面积增大部分Q（cm2）与p（cm）的函数解析式，
判定它们的类型；如果是二次函数，写出解析式中a、b、c的值.
练习1至4，从根据定义对二次函数进行识别，到确定二次函数各项的系数，到结合具体问题确定二次函数解析式，由易到难，逐步加深对概念的理解及应用。
当学生在解决问题的过程中遇到困难时，让学生养成“不断回到概念中去，从基本概念出发思考问题、解决问题”的习惯，另外，加强概念联系性的教学，从概念的练习中寻找解决问题的新思路。
五、初中数学概念的教学的几点注意事项：
1.概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一；
2.数学概念的高度抽象性，决定了其认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升，在已有认知基础上再概括的过程；
3.人类认识数学概念具有渐进性，因此学习像函数这样的核心概念时，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、关系说、对应说等），这也是“教学要与学生认知水平相适应”的原因所在；
4.为了更利于学生开展概括活动，教师要重视让学生能够自己举例，“一个好例子胜过一千条说教”；
5.“细节决定成败”，必须安排概念的辨析、概念间联系的分析等过程，即要对概念的内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生通过对概念的正例、反例作判断，更准确的把握概念的细节；
6.在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念做判断的“操作步骤”，同时建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程。
总之，对于初中数学概念的教学，没有固定的模式，正所谓教无定法，好的概念教学课没有统一的标准，可谓百花齐放，但不好的概念教学课却有统一的特征：
学生只是知道某某概念，但对于其怎么来的以及如何使用并没有明确的认识。
希望我们大家一起努力，使小小的概念教学中，能折射出我们教师大大的智慧。
最后把前苏联数学家辛钦的一句话送给大家：
我想尽力做到在引进新概念、新理论时，能尽可能的看到新概念、新理论的引入是自然的，甚至是不可避免的。
我认为只有利用这种方法，在学生方面才能非形式化的理解并掌握所学到的东西。
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