中考二次函数综合运用.docx

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中考二次函数综合运用

二次函数的综合运用

1、（2017·重庆B卷25题）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；

（3）第

（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：

S1=S？

若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

1、分析：

（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点（1，0）；

（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=-1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x-3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标（4，21）或（-4，5）；

②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD=．

2、（2017•丹东）己知：

二次函数（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根．

（1）请直接写出点A、点B的坐标．

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．

（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

2、分析：

（1）A（-2，0），B（6，0）；

（2），顶点坐标（2，8）；

（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′y=x+2，交抛物线对称轴于P点（2,4）；

（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=．

3、（2017•珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）．

（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；

（3）在满足

（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

3、

（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，y=-x2+2mx+m；

（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m-x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，-3m），根据抛物线l与线段CE相交，（4m，-8m2+m）列出关于m的不等式组，求出解集即可；（3）根据二次函数的性质，结合

（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解p．

4、（2017•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？

②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

4、

（1）点B的坐标为（0，2）；

（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；

（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，，将代入，即可求出二次函数的表达式；

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．

m的值为8或-8．

5、（2017•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：

△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：

在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

5、

（1）y=-x+1；

（2）；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；

（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．

如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．

6、（2017•增城市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点

（1）写出点C的坐标；

（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；

（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

6、

（1）由直线y=-x+3可求出C点坐标C（0，3）；

（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程y=x2-4x+3，从而求出抛物线的对称轴x=2和A（1，0）

（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF=2，从而求出P点坐标点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．

7、（2017•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？

若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是

（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

7、

（1）y=x2-4x+3；

（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式y=x-1，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D（2,1）；

（3）根据直线AC的解析式y=x+m，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线y=x，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解面积,F坐标．

8、（2017•安顺）如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

8、分析：

（1）由于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．y=-x2+2x+3

（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答（2，3）．

9、（12分）如图,已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

解：

（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C（0,－1）

∴

解得：

b=－c=－1-------------------2分

∴二次函数的解析式为--------3分

（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）

∴OD=m∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得，--------------4分

∴

∴DE=-----------------------------------5分

∴△CDE的面积=××m

==

当m=1时，△CDE的面积最大

∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分

（3）存在由

（1）知：

二次函数的解析式为

设y=0则解得：

x1=2x2=－1

∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）

设直线BC的解析式为：

y=kx＋b

∴解得：

k=-1b=-1

∴直线BC的解析式为:

y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900OA=2OC=1

由勾股定理得：

AC=

∵点B（－1,0）点C（0，－1）

∴OB=OC∠BCO=450

①当以点C为顶点且PC=AC=时，

设P（k,－k－1）

过点P作PH⊥y轴于H

∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中

k2+k2=解得k1=，k2=－

∴P1（，－）P2（－，）---10分

②以A为顶点，即AC=AP=

设P（k,－k－1）

过点P作PG⊥x轴于G

AG=∣2－k∣GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中AG2＋PG2=AP2

（2－k）2+（－k－1）2=5

解得：

k1=1,k2=0（舍）

∴P3（1,－2）----------------------------------11分

③以P为顶点，PC=AP设P（k,－k－1）

过点P作PQ⊥y轴于点Q

PL⊥x轴于点L

∴L（k,0）

∴△QPC为等腰直角三角形

PQ=CQ=k

由勾股定理知

CP=PA=k

∴AL=∣k-2∣,PL=｜－k－1｜

在Rt△PLA中

（k）2=（k－2）2＋（k＋1）2

解得：

k=∴P4（,－）------------------------12分

10、（本题满分12分）已知抛物线交x轴于A（1,0）、B（3,0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．

（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；

（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．

求证：

四边形ODBE是等腰梯形；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的