衡量精度的指标.docx

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衡量精度的指标

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教学内容及过程设计

（教学组织、教学内容、教学方法、时间分配）

§2-3衡量精度的指标

本小节阐述误差概念及几种精度指标

对一系列观测值而言，不论其观测条件如何，也不论是对同一量还是不同量进行观测，只要这些量是在相同条件下独立观测的，则产生的一组偶然误差必然具有上述4个特性。

如前所述，偶然误差服从正态分布，其概率密度函数为：

或记为：

~

。

根据概率密度函数可见，最大值为

。

其大小与σ成反比，由于对于一个必然事件，概率值为1，即概率密度曲线与横轴围成的面积值为1，因而f（0）越大，概率密度曲线形状越陡峭，反之则越平缓。

而σ小则f（0）大，σ大则f（0）小，所以σ决定了曲线的形状，σ为方差的平方根，称标准差，其估值在测量平差中称为中误差。

对于形状陡峭的图形，很显然随着误差绝对值的加大，概率值迅速地减小，也可说偶然误差更集中地分布在真值（0）附近，称误差分布离散度小、反之，对于形状平缓的图形，偶然误差分布较为分散，或者说离散度大。

不难理解，离散度小时，对应的观测值质量较好，或说精度高。

反之，离散度较大时，对应的观测值质量较差，精度较低。

由此可见，精度又可以定义为误差分布的离散程度。

两个（组）观测值对应的误差分布相同，则称同精度观测值，同理若误差分布不同，则是精度不同。

在相同观测条件下进行多个观测量的观测，各观测量对应同一种误差分布，各观测值都是同精度观测值。

注意：

同精度观测值不等于真误差相同，这是因为真误差不可知，因而不可能以真误差大小定义精度，我们只能定义观测条件相同，精度相同。

所以对应于同一种误差分布的各观测值，尽管真误差不同，但都称为同精度观测值。

由于用观测值对应的误差分布来衡量精度高低，麻烦而且困难，测量上采用能描述其误差分布离散程度的数字指标作为衡量精度的指标。

教学内容及过程设计

（教学组织、教学内容、教学方法、时间分配）

下面介绍几种常见的精度指标。

一、方差和中误差

方差即真误差平方的理论平均值，表达式为：

。

（

）如前所述，σ决定误差分布曲线的形状，反映误差的离散程度，所以可作为精度指标。

此外，根据方差的定义，可见方差实际上是偶然误差平方的理论平均值，或者说是以概率值为权，无穷观测条件下的加权幂平均。

对等精度的观测值而言，方差的计算可按下式进行：

。

（A）

对于观测值有限的实际情况：

只能求得标准差的估值中误差

。

今后不再区分标准差和中误差，统称中误差，用

表示。

注意公式（A）中等号

（1）根据定积分的定义，在n,

时成立。

等号

（2）成立是根据观测值数（样本数）n时，频率即等于概率的原理，用

代替了

，等号右边累计号上限大写N，是划分的区间数。

等号（3）成立是将

展开的结果，如果将

解释为每个误差出现的概率，不等于绝对值大小的误差出现的机会相同（概率相等），因为较小的

出现的次数较多。

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一、平均误差

在一定的条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称平均误差，设以

表示，则有：

.同理可有：

定义中一定条件下，在这里实指消除了系统误差法的相同观测条件下。

独立的偶然误差指各个误差的大小、符号互不影响，一般而言，独立观测，误差独立。

对照中误差是偶然误差平方的理论平均值的算术根，知平均误差与中误差定义的出发点都是避免偶然误差直接取理论平均值为0，下式可以证明两者之间存在固定的比例关系：

可见两种精度指标是完全等价的，即分别用两种精度指标衡量观测值及其函数的精度，结果相同。

同理，在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。

二、极限误差

极限误差本身不是一种误差指标，而是在一定观测条件下，以中误差为标准确定的，不大可能出的误差绝对值。

根据标准正态分布概率积分表，

落入区间（-

，

）、（-2

，2

）、（-3

，3

）的概率分别为：

68.3%、95.5%、99.7%。

由此可见，出现绝对值大于2-3倍中误差的偶然误差属于小概率事件。

通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生的，所以在测量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而以二倍或三倍中误差作为外业成果检核的标准，超过即视为不合格。

三、相对误差

观测值或其函数值的中误差作分子、观测值或其函数值作分母的比值。

一般而言，一些与长度有关的观测值或其函数值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常用相对误差。

相对误差没有单位，测量中一般将分子化为1，即用

表示。

对应的，真误差、中误差、极限误差等都是绝对误差。

思考

及

作业

教学

效果

分析

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