学案11集合Word版含答案.docx
《学案11集合Word版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学案11集合Word版含答案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
学案11集合Word版含答案
第一节 集合
1．集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：
确定性、无序性、互异性．
（2）元素与集合的两种关系：
属于，记为∈，不属于，记为∉．
（3）集合的三种表示方法：
列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
A⊆B且B⊆A
⇔A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A
∅B（B≠∅）
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
1.集合运算性质
（1）并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：
A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.
2．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
3．两个防范
（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
（2）在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．
1．（基础知识：
元素与集合）若集合A＝{x∈N|x≤
}，a＝2
，则下面结论中正确的是（ ）
A．{a}⊆AB．a⊆A
C．{a}∈AD．a∉A
答案：
D
2．（基本能力：
运算）已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁RA＝（ ）
A．{x|x≥±4}B．{x|－4＜x＜4}
C．{x|－4≤x≤4}D．{x|x≤－4或x≥4}
答案：
D
3．（基本方法：
定义、数形结合）设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x＜3}B．{x|－3＜x≤1}
C．{x|x＜2}D．{x|－2＜x≤1}
答案：
D
4．（基本应用：
应用A∪B求集合）已知集合A＝{0，1，2}，集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．
答案：
8
5．（基本应用：
应用集合相等求参数）设集合A＝{1，3}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A＝B，则m＝________．
答案：
3
题型一 集合的概念
1．（元素与集合）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8C．5 D．4
解析：
由题意可知A＝{（－1，0），（0，0），（1，0），（0，－1），（0，1），（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}，故集合A中共有9个元素．
答案：
A
2．（集合的表示法）已知集合M＝
，N＝
，则M∩N＝（ ）
A．∅B．{（3，0），（0，2）}
C．[－2，2]D．[－3，3]
解析：
因为集合M＝{x|－3≤x≤3}，N＝R，所以M∩N＝[－3，3].
答案：
D
3．（元素与集合的表示法）设集合A＝
，B＝{|a－2|，－2}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
解析：
因为4∈A，即4∈
，所以
a2－3a＝4或a＋
＋7＝4.
若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；
若a＋
＋7＝4，即a＋
＋3＝0，a2＋3a＋2＝0，
则a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋
＋7互异，得a≠－1，
故a＝－2或a＝4.
又4∉B，即4∉{|a－2|，－2}，
所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
答案：
{4}
4．（集合表示的意义）集合{x|x2＋ax＝0}有两个元素，分别为0和1，则a的值为________．
解析：
∵0和1为方程x2＋ax＝0的两根，
∴0＋1＝－a，∴a＝－1.
答案：
－1
方法总结
与集合中的元素有关的问题的求解策略
（1）确定集合中的元素是什么．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）注意元素的三个特性，特别是互异性．
题型二 集合间的基本关系
[典例剖析]
[典例]
（1）（判断关系）已知集合A＝
，B＝
，集合A与B的关系描述为________．
答案：
AB
（2）（应用关系）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
审题互动：
“B⊆A”在数轴上如何表示？
A、B的端点有什么关系？
解析：
因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.
②若B≠∅，则
解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].
答案：
（－∞，3]
方法总结
1．判定集合间的基本关系的方法：
（1）化简集合，从解析式中寻找两集合的关系；
（2）用列举法（或图示法等）表示各个集合，从元素（或图形）中寻找关系．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
提醒 在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
[对点训练]
1．已知集合A＝{x|y＝
，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（ ）
A．AB B．BA
C．A⊆BD．B＝A
解析：
∵A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|0≤x≤1}，故BA.
答案：
B
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为（ ）
A．7B．8
C．15D．16
解析：
A＝{x|（x－3）（x＋1）≤0，x∈N*}＝{1，2，3}，
真子集个数为23－1＝7.
答案：
A
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∩B＝B，则实数m的取值集合是________．
解析：
A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
由A∩B＝B，知B⊆A.
当B＝∅时，m＝0，满足题意．
当B≠∅，即m≠0时，B＝
，
可得－
＝2或－
＝－3，所以m＝－
或m＝
.
综上，m的取值集合为
.
答案：
4．（母题变式）将本例
（2）中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，如何求解？
解析：
因为B⊆A，
所以①当B＝∅，即2m－1＜m＋1时，
m＜2，符合题意．
②当B≠∅时，
或
解得
或
即m＞4.
综上可知，实数m的取值范围为（－∞，2）∪（4，＋∞）.
答案：
（－∞，2）∪（4，＋∞）
题型三 集合的运算
[典例剖析]
类型1 基本能力
[例1]
（1）（数轴分析法）（2019·高考全国卷Ⅰ）已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2解析：
由x2－x－6＜0，得（x－3）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜3，即N＝{x|－2＜x＜3}，画出数轴，
∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}．
答案：
C
（2）（概念分析法）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{－1，1}B．{0，1}
C．{－1，0，1}D．{2，3，4}
解析：
由题意得A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}，又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C＝{－1，0，1}．
答案：
C
（3）（Venn图分析法）设集合A＝{－1，0，1，2}，B＝
，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{1}B．{0}
C．{－1，0}D．{－1，0，1}
解析：
由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩（∁RB）.∵B＝{x|y＝
}＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁RB＝{x|－1＜x＜1}，∴A∩（∁RB）＝{0}．
答案：
B
类型2 利用运算求参数
[例2]
（1）已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝（ ）
A．3B．2
C．2或3D．3或1
解析：
∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意．综上，a＝3.
答案：
A
（2）已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝（ ）
A．－2B．0
C．1D．2
解析：
因为A＝{0，1，2，4，5}，B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，
所以
或
当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}（舍）；
当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}．
综上，x＝0.
答案：
B
（3）已知集合A＝{4，a}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，若A∩（∁ZB）≠∅，则实数a的值为（ ）
A．2B．3
C．2或4D．2或3
解析：
因为B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，所以∁ZB＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2，3}．又集合A＝{4，a}，若A∩（∁ZB）≠∅，则a＝2或a＝3.
答案：
D
方法总结
1．一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点取舍的情况．
2．运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
[题组突破]
1．设集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2－2x＜0}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∩N＝MB.M∪（∁RN）＝M
C．N∪（∁RM）＝RD．M∪N＝M
解析：
由题意可得，N＝（0，2），M＝（－∞，4），N⊆M，所以M∪N＝M.
答案：
D
2．已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}．若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于（ ）
A．9B．8
C．7D．6
解析：
由x2－4x＜0得0＜x＜4，所以M＝{x|0＜x＜4}．又因为N＝{x|m＜x＜5}，M∩N＝{x|3＜x＜n}，所以m＝3，n＝4，m＋n＝7.
答案：
C
3．设集合A＝{（x，y）|x＋y＝1}，B＝{（x，y）|x－y＝3}，则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
由题意可知，集合A表示直线x＋y＝1上的点，集合B表示直线x－y＝3上的点，联立
可得A∩B＝{（2，－1）}，M为A∩B的子集，可知M可能为{（2，－1）}，∅，所以满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是2.
答案：
C
（2019·高考全国卷Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.5B．0.6
C．0.7D．0.8
解析：
法一（求频数）：
设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
＝0.7.
法二（集合思维）：
用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图所示：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
＝0.7.
答案：
C
1．（2021·中原名校联考）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝
，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为（ ）
A．{0，1}B．{1，4}
C．{0，4}D．{0，1，4}
解析：
当a＝0时，B为空集，满足B⊆A，此时A与B构成“全食”；当a＞0时，B＝
，由题意知
＝1或
＝
，解得a＝1或a＝4.故a的取值集合为{0，1，4}．
答案：
D
2．定义：
设有限集合A＝{x|x＝ai，i≤n，i∈N*，n∈N*}，S＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，则S叫做集合A的模，记作|A|.若集合P＝{x|x＝2n－1，n∈N*，n≤5}，集合P含有四个元素的全体子集为P1，P2，…，Pk，k∈N*，则|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝________．
解析：
依题意知，集合P＝{1，3，5，7，9}，则集合P含有四个元素的全体子集为{3，5，7，9}，{1，5，7，9}，{1，3，7，9}，{1，3，5，9}，{1，3，5，7}．
由条件中“模”的定义知，|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝（3＋5＋7＋9）＋（1＋5＋7＋9）＋（1＋3＋7＋9）＋（1＋3＋5＋9）＋（1＋3＋5＋7）＝100.
答案：
100
升级会员 