四川省南充市第一中学学年度第二学期期中考试高二文科数学试题.docx
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四川省南充市第一中学学年度第二学期期中考试高二文科数学试题
四川省南充市第一中学2020-2021学年度第二学期期中考试高二文科数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）．
A．B．C．D．
2．已知是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知角终边上一点的坐标为，则（）．
A．B．C．D．
4．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：
粮仓开仓收粮，粮农送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约（）
A．右B．石C．石D．石
5．已知，，则“”是“”成立的（）．
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．设为等差数列，公差，，则（）
A．8B．10C．12D．14
7．设，，，则，，的大小关系是（）．
A．B．C．D．
8．已知实数满足约束条件，则的最大值为（）
A．B．2
C．7D．8
9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
10．直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．设是双曲线C：
的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为（）
A．3B．2C．D．
12．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，则（）．
A．B．
C．D．
二、填空题
13．已知菱形的边长为2，且为60°，则______．
14．在中，若（其中内角，，的对边分别为，，），则______．
15．在等比数列中，，，则的前5项和为______.
16．意大利数学家列昂纳多·斐波那契以“兔子繁殖”为例，引入“兔子数列”：
即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…
即，．
此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用．若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为______．
三、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值.
18．国际奥委会将于2021年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
80
年龄大于50岁
10
合计
70
100
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名女性，其中2名是女教师．现从这6名女性中随机抽取2名，求恰有1名女教师的概率．
附：
，，
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
19．如图，在三棱锥中，，．，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
（Ⅲ）在图中作出点在底面的正投影，并说明理由．
20．已知椭圆：
的离心率为，且短半轴长为．
（1）求椭圆的方程：
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于、两点，且满足．若存在，求出直线的方程：
若不存在，请说明理由．
21．己知函数，
（1）求的最大值：
（2）已知，若对于任意的．不等式恒成立，求整数的最小值．（参考数据：
，）
22．已知曲线的参数方程为（为参数，）,直线经过且倾斜角为.
（1）求曲线的普通方程、直线的参数方程.
（2）直线与曲线交于A、B两点，求的值.
23．已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
由集合，，
所以.
故选：
B
【点睛】
本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．A
【分析】
首先求出，再利用复数的几何意义即可求解.
【详解】
由，
所以复数在复平面内对应的点为，
所以复数在复平面内所对应的点在第一象限.
故选：
A
【点睛】
本题考查了复数的几何意义、复数的运算，属于基础题.
3．D
【分析】
利用三角函数的定义求出、，再利用二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
角终边上一点的坐标为，
则，，
所以.
故选：
D
【点睛】
本题考查了三角函数的定义、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.
4．B
【分析】
根据粒内夹谷粒，可得比例，即可得出结论．
【详解】
由题意，抽得样本中含谷粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量约为石．
故选：
B．
【点睛】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
5．C
【分析】
根据的取值是否为0，即可得答案；
【详解】
当时，取时，推不出；
反之，；
“”是“”成立的必要不充分条件，
故选：
C.
【点睛】
本题考查必要不充分条件，考查对概念的理解，属于基础题.
6．B
【分析】
利用等差数列的性质计算即可.
【详解】
由已知，得，即，解得．
故选：
B
【点睛】
本题考查等差数列的定义及性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
7．D
【分析】
利用指数函数与对数函数的性质即可比较大小.
【详解】
由，，，
所以.
故选：
D
【点睛】
本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
8．C
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值．
【详解】
作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，
如下图表示：
由，得，
由此可知要取最大值，则直线在轴上的截距最大
作直线，将此直线向上平移经过点C时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故选：
C．
【点睛】
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识，属于中档题．
9．B
【分析】
函数，根据平移规则，得到答案.
【详解】
因为函数，
所以为得到得到函数的图象，需向右平移个单位
从而得到
故选：
B.
【点睛】
本题考查描述正弦型函数图像的平移过程，属于简单题.
10．B
【分析】
根据，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于，从而可得关于的不等式，即可求得结论.
【详解】
，设圆心到直线的距离为，则，
，，解得.
故选：
B.
【点睛】
本题考查利用弦长求直线斜率的取值范围，一般转化为弦心距进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
11．D
【分析】
设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率．
【详解】
设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．
∴．
设，则，
∴，即．
∵，
又，
在△MF1F2中，由余弦定理可得：
，
即，
∴双曲线的离心率e．
故选D．
【点睛】
本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．
12．D
【分析】
由已知条件构造函数并判断其单调性，利用单调性即可判断出正确选项.
【详解】
解：
，，.令，则为上的单调递增函数.，即
，故选项正确，选项错误.又，即，所以，故选项错误.
故选：
.
【点睛】
本题考查抽象函数的单调性应用，属于中档题.
13．0
【分析】
利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
由为菱形，
则，
所以.
故答案为：
0
【点睛】
本题考查了利用向量数量积定义求向量数量积，属于基础题.
14．
【分析】
利用余弦定理即可求解.
【详解】
由，
则，即，
所以，所以，
故答案为：
【点睛】
本题考查了余弦定理、需熟记定理的内容，属于基础题.
15．
【分析】
利用等比数列的通项公式可求得，再代入前项和公式，即可得答案；
【详解】
，，，，
的前5项和.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式和前项和公式的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
16．2
【分析】
由题意可得：
，，，，，；，，，，，，．可得数列是周期为6的数列，由，，，计算，可得数列从第三项开始为周期是6的周期数列．即可得出．
【详解】
解：
由题意可得：
，，，，，；，，，，，，．
数列是周期为6的数列，
由，，，
则，，，，，，，，，，，，，，．
数列从第三项开始为周期是6的周期数列．
．
故答案为：
2．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．
（1）；
（2）增区间，，减区间，函数的极大值为，极小值为.
【分析】
（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数的单调区间和极值.
【详解】
（1），，则，.
因此，曲线在处的切线方程为；
（2）令，得，列表如下：
极大值
极小值
所以，函数的增区间为，，减区间，
极大值为，极小值为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.
18．
（1）表格见解析；
（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关；（3）.
【分析】
（1）根据已知数据即可填表.
（2）根据列联表求出观测值，再根据独立性检验的基本思想即可求解.
（3）记6人为，其中表示教师，列出基本事件个数，再根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
（1）
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
20
60
80
年龄大于50岁
10
10
20
合计
30
70
100
（2），
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关；
（3）记6人为，其中表示教师，
从6人任意抽2人的所有等可能事件是：
，，，，，
，，，，，，，，，共15个，
其中恰有1位教师有8个基本事件：
，，，，，，，，
所以所求概率是．
【点睛】
本题考查了列联表、独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.
【分析】
（Ⅰ）利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理可以证明出平面；
（Ⅱ）利用等腰三角形三线合一的性质，可以证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理，可以证明出线面垂直，最后根据面面垂直的判定定理，可以证明出平面平面；
（Ⅲ）通过面面垂直的性质定理，可以在△中，过作于即可.
【详解】
（Ⅰ）证明：
因为，分别是，的中点，
所以．
因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：
因
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