届山西省忻州一中等四校高三第四次联考理科数学试.docx

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届山西省忻州一中等四校高三第四次联考理科数学试

试题类型：

A

2018届高三年级第四次四校联考

数学试题（理）

命题：

忻州一中临汾一中康杰中学长治二中

（满分150分，考试时间120分）

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）

1.设全集集合，，则

A.B.C.D.

2.复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为

A.B.3C.D.

3.已知双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为

A.B.

C.D.

4.执行如图所示的算法，则输出的结果是

A.1B.2C.3D.4

5.把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若的图象关于对称，则

A.B.C.D.

6.从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是

A.B.C.D.

7.在三棱锥中，是边长为的正三角形，面,,则三棱锥外接球的表面积为

A.B.C.D.

8.已知，，则有

A.B.

C.D.

9.某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是

A.B.

C.D.

10.设椭圆的左右焦点分别为，点，

设直线与椭圆交于M、N两点，若=16，则椭圆的方程为

A.B.

C.D.

11.已知定义在上的函数满足，当时，

，设在上的最大值为,且的前项和为，则=

A.B.C.D.

12.设函数，若存在,,使得

成立（其中为自然对数的底数），则正实数的取值范围是

A.B.

C.D.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上）

13.的展开式中的系数是.

14.已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为.

15.已知M为线段BC上一点，且

则的最大值为.

16.在中，角的对边分别为，

，则的最小值为.

三、解答题（本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）

17.（本题满分12分）

已知等差数列的公差，；等比数列满足：

，，

（1）求数列和的通项公式；

（2）设的前项和为，令，求.

18.（本题满分12分）

如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点

（1）求证：

平面；

（2）求锐二面角的余弦值.

19.（本题满分12分）

某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：

日产量

400

500

批发价

8

10

概率

0.4

0.6

概率

0.5

0.5

（1）设随机变量X表示生产这种零件的日利润，求X的分布列及期望；

（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率.

（注：

以上计算所得概率值用小数表示）

20.（本题满分12分）

已知抛物线，过焦点且斜率为1的直线交抛物线C于两点，以线段为直径的圆在轴上截得的弦长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交抛物线C于F、G两点，交轴于点D，设

试问是否为定值？

若是，求出该定值；若不是，说明理由.

21.（本题满分12分）

已知函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，若对任意实数，当时，函数的最小值为，求实数a的取值范围.

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B．C，的平分线分别交AB．AC于点D．E．

（1）证明：

.

（2）若AC=AP,求的值.

23.（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，直线的参数方程为.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线的极坐标方程；

（2）若为曲线C上的动点，求点P到直线的距离d的最大值和最小值.

24.（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

已知关于的不等式的解集是

（1）求的值；

（2）若均为正实数，且，求的最小值.

2018届高三年级第四次四校联考

数学试题答案（理）A卷

一、选择题

1-5:

DDCAC6-10:

CBADB11-12:

BA

二、填空题:

13．-2014．915．16．

17．解：

（1）公差，

………2分

∴∴

∴………4分

设等比数列的公比为

∵∴即∴

即………6分

（2）由得：

∴即………8分

∴=………10分

=

=………12分

18.

（1）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.

又三棱柱为直三棱柱，

∴面面，

∴面，.………2分

设，则.

∴，∴.………4分

又，∴平面.………6分

（2）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，

则，

，.

………8分

由（Ⅰ）知，平面，

∴可取平面的法向量.

设平面的法向量为，

由

∴可取.………10分

设锐二面角的大小为，则

.

∴所求锐二面角的余弦值为.………12分

19．解：

（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200

随机变量X可以取：

4000,3000.，2200………1分

P（X=4000）=0.6×0.5=0.3P（X=2200）=0.4×0.5=0.2

P（X=3000）=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5………4分

X

4000

3000

2200

P

0.3

0.5

0.2

∴X的分布列为:

EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140………6分

（2）由

（1）知：

该厂生产1天利润不少于3000的概率为：

P=0.8

∴～………8分

∴EY=3=2.4DY=3×0.8×0.2=0.48………10分

至少有2天利润不少于3000的概率为：

………12分

20.解：

（1）由已知:

直线的方程为，代入

得：

设，则

且线段的中点为，………3分

由已知，

解得或（舍去）

所以抛物线的方程为：

………6分

（2）设直线：

y=kx+2（k0），则，与联立得

由得,设

则………8分

所以………10分

则

将代入上式得

即为定值………12分

21.解：

（1）由已知，

则………1分

所以当和时，单调递减；

当时，单调递增；………2分

所以当时，有极小值为，

当时，有极大值为.………4分

（2）由已知.

①当时，，于是和时，单调递减；时，单调递增；又因为，要对任意实数，当时，函数的最小值为，只需要，即，解得，因为所以………7分

②当时，，，在上，恒有，且仅有，故在上单调递减.显然成立.………8分

③当时，，于是和时，单调递减；时，单调递增；

要对任意实数，当时，函数的最小值为，只需要，即……10分

令，，所以在上单调递减，，所以此时

综上所述：

………12分

22．解：

（1）∵PA是切线，AB是弦，

∴∠BAP=∠C，………2分

又∵∠APD=∠CPE,

∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,

∴∠ADE=∠AED．………5分

（2）由

（1）知∠BAP=∠C,又∵∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA,∴,………7分

∵AC=AP,∴∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°,∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．

在Rt△ABC中，=,∴=．………10分

23．解：

（1）曲线C的直角坐标方程为………2分

直线的直角坐标方程为4x-3y+12=0

则其极坐标方程为………5分

（2）

则

所以最大值为，最小值为。

………10分

24．解：

（1）不等式可化为………1分

所以，即…………2分

又因为原不等式解集为，所以，解得.…………5分

（2）由

（1）可知

（方法一：

利用基本不等式）

因为，所以………8分

所以当且仅当时，的最小值是.………10分

（方法二：

利用柯西不等式）

因为，所以………10分

（方法三：

消元法求二次函数的最值）

因为，

所以，………8分

所以当且仅当时，的最小值是.………10分