初三数学圆的常见考点.docx
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初三数学圆的常见考点
圆的常见考点
考点1:
圆的有关概念和性质
一、考点讲解:
1.圆的圆的有关概念:
(1)圆:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中,定点为圆心,定长为半径.
(2)圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角.
(3)圆周角:
顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.
(4)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.
(5)弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
2.圆的有关性质:
(1)圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
(2)垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
(3)弧、弦、圆心角的关系:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推论:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;90”的圆周角所对的弦是直径.
3.三角形的内心和外心
(1)确定圆的条件:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(2)三角形的外心:
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
(3)三角形的内心:
和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心
二、经典例题剖析:
【例题1-1】如图1-3-l,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60○,AC=3,则△ABC的周长是____________.
【例题1-2】如图1-3-2,在⊙O中,弦AB=1.8cm,圆周角∠ACB=30○,则⊙O的直径等于=_________cm.
三、针对性训练:
1.如图l-3-3,MN所在的直线垂直平分弦AB,利用这样的工具最少使用__________次,就可找到圆形工件的圆心.
2.如图1-3-4,A、B、C是⊙O上三个点,当BC平分∠ABO时,能得出结论_______(任写一个).
3.在△ABC中,∠A=62°,点I是外接圆圆心,则∠BIC=___________
4.下列命题正确的是()
A.相等的圆心角所对的弦相等B.等弦所对的弧相等C.等弧所对的弦相等D.垂直于弦的直线平分弦
5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题:
“
今有圆材,埋在壁冲,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”.用数学语言可表述为如图1-3-5,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为()
A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸
6.如图1-3-6,已知AB是半圆O的直径,弦AD和BC相交于点P,那么
等于()
A.sin∠BPDB.cos∠BPD
C.tan∠BPDD.cot∠BPD
7.⊙O的半径是5,AB、CD为⊙O的两条弦,且AB∥CD,AB=6,CD=8,求AB与CD之间的距离.
8.在半径为1的圆中,弦AB、AC分别是
和
,则∠BAC的度数为多少?
考点2:
与圆有关的角
一、考点讲解:
1.圆心角:
顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
2.圆周角:
顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角.
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
3.圆心角与圆周角的关系.
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半.
4.弦切角:
圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角.
弦切角的度数等于它所夹得弧的度数的一半.
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角.
5.圆内接四边形
顶点都在国上的四边形,叫圆内接四边形.
圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角.
二、经典例题剖析:
【例题2-1】如图1-3-7,A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=30°则∠BOC的大小是()
A.60○B.45○
C.30○D.15○
【例题2-2】如图1-3-8,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上.如果∠P=50○,那么∠ACB等于()
A.40○B.50○C.65○D.130○
三、针对性训练:
1.如图1-3-9,已知AB是⊙O的直径,AD∥OC,∠ADB的度数为80°,则∠BOC=_________.
2.如图1-3-10,⊙O内接四边形ABCD中,AB=CD则图中和∠1相等的角有______
3.如图1-3-l,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在
上,则∠C的度数是________-.
4.如图l-3-12,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=100°,则∠DAB的度数为()
A.50°B.80°C.100°D.130°
5.如图1-3-13是中国共产主义青年团团旗上的图案,点A、B、C、D、E五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是()
A.180°B.150°C.135°D.120°
6.如图1-3-14所示,直线AB交圆于点A,B,点M的圆上,点P在圆外,且点M,P在AB的同侧,∠AMB=50°.设∠APB=x°,当点P移动时,求x的变化范围,并说明理由.
考点3:
点与圆,直线与圆的位置关系
一、考点讲解:
1.点和圆的位置关系有三种:
点在圆外,点在圆上,点在圆内,设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点在圆外
d>r.点在圆上
d=r.点在圆内
d<r.
2.直线和圆的位置关系有三种:
相交、相切、相高.
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则直线与圆相交
d<r,直线与圆相切
d=r,直线与圆相离
d>r
二、经典例题剖析
【例题3-1】Rt△ABC中,∠C=90°,∠AC=3cm,BC=4cm,给出下列三个结论:
①以点C为圆心1.3cm长为半径的圆与AB相离;②以点C为圆心,2.4cm长为半径的圆与AB相切;③以点C为圆心,2.5cm长为半径的圆与AB相交.上述结论中正确的个数是()
A.0个B.l个C.2个D.3个
【例题3-2】已知半径为3cm,4cm的两圆外切,那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有______个.
三、针对性训练:
1.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm,大圆的弦AB与小圆相切,那么AB=()
A.
B.2
C.3D.4
2.在△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,CM是中线,以C为圆心,以3cm长为半径画圆,则对A、B、C、M四点,在圆外的有_________,在圆上的有________,在圆内的有________.
考点4:
圆与圆的位置关系
一、考点讲解:
1.同一平面内两圆的位置关系:
(1)相离.如果两个圆所包含的区域没有公共部分,那么就说这两个圆相离.
(2)内含:
如果一个圆在另外一个圆的里面,那么就说这两个圆内含。
(3)相切.如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切.
(4)相交:
如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.
2.圆心距:
两圆圆心的距离叫圆心距.
3.设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R和r,则
⑴两圆外离
d>R+r;有4条公切线;
⑵两圆外切
d=R+r;有3条公切线;
⑶两圆相交
R-r<d<R+r(R>r)有2条公切线;
⑷两圆内切
d=R-r(R>r)有1条公切线;
⑸两圆内含
d<R—r(R>r)有0条公切线.
(注意:
两圆内含时,如果d为0,则两圆为同心圆)
二、经典例题剖析:
【例题4-1】已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5cm,两圆的圆心距是6cm,则这两圆的位置关系是()
A.内含B.外离C.内切D.相交
【例题4-2】已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm,则两圆的圆心距是____cm.
三、针对性训练:
1.已知半径为3cm,4cm的两圆外切,那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有_________个.
2.已知⊙O1和⊙O2相外切,且圆心距为10cm,若⊙O1的半径为3cm,则⊙O2的半径为________cm.
3.已知两圆半径分别为4cm和2cm,圆心距为10cm,则两圆的内公切线的长为_________cm.
4.已知两圆的半径分别为3cm和4cm,圆心距为1cm,那么两圆的位置关系是()
A.相离B.相交C.内切D.外切
5.两圆既不相交又不相切,半径分别为3和5,则两圆的圆心距d的取值范围是()
A.d>8B.0<d≤2
C.2<d<8D.0≤d<2或d>8
6.如图1-3-15,⊙O1和⊙O2外切于点A,直线BD切⊙O1于点B,交⊙O2于点C、D,直线DA交⊙O1于点E.求证:
(1)∠BAC=∠ABC+∠D
(2)AB2=AC·AE.
考点5:
切线的性质和判定
一、考点讲解:
1.切线的定义:
直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时,这条直线叫做圆的切线.
2.切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的直径.
3.切线的判定:
经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
二、经典例题剖析:
【例题5-1】如图1-3-16,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为()
【例题5-2】如图l-3-17,已知PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC度数是()
A.70°B.40°C.50°D.20°
三、针对性训练:
1.如图1-3-18,已知两同心圆,大圆的弦AB切小圆于M,若环形的面积为9π,求AB的长.
2.如图l-3-19,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,
∠APB=90°,OP=4,求⊙O的半径.
3.如图l-3-20,⊙O半径为1,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,PA=1,AB是⊙O的弦,且AB=
,求PB的长.
考点6:
弧长扇形的面积
一、考点讲解:
1.弧长公式:
(n为圆心角的度数上为圆半径)
2.扇形的面积公式S=
(n为圆心角的度数,R为圆的半径).
3.圆锥的侧面积S=πRl,(l为母线长,r为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积.
二、经典例题剖析:
【例题6-1】制作一个底面直径为30cm,高40cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为(),
A.1425πcm2B.1650πcm2C.2100πcm2D.2625πcm2
【例题6-2】如图1-3-21,在在⊙O中,AB是直径,半径为R,
求:
∠AOC的度数.
三、针对性训练:
1.在半径为3的⊙O中,弦AB=3,则弧AB的长为()
2.扇形的周长为16,圆心角为?
,则扇形的面积为()
A.16B.32C.64D.16π
3.如图1-3-23,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B′C″的位置,设BC=1,AC=
,则顶点A运动到A″的位置时,点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________(计算结果不取近似值)
4.如图1-3-24,阴影部分是某一广告标志,已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm,10cm、∠AOB=120㎝,求这个广告标志面的周长.
5.已知圆锥的底面半径为r=20cm,高h=
cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发。
在侧面上爬行一周又回到A点,求蚂蚁爬行的最短距离。
6.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD。
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果BDE=60,PD=
,求PA的长。
(9分)
A
B
O
D
P
E
7.如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0).
⑴求线段AD所在直线的函数表达式.
⑵动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?
O
x
y
B
C
D
P1
P2
P3
P4
1
2
3
4
A