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9机械振动机械波
一.简谐振动
振动的质点称为振子，振子和轻质弹簧的一端连接，弹簧的另一端固定，这样的系统称为弹簧振子。
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐振动。
振子离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。
做简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期。
单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率。
简谐运动的位移一时间图像通常称为振动图像。
所有简谐运动的振动图像都是正弦或余弦曲线。
1.机械振动
（1）对机械振动的理解：
物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动叫做机械振动。
机械振动的突出特点就是“中心位置”和“往复运动”，这也是判断物体是否做机械振动的依据。
中心位置又叫平衡位置。
在此位置，物体受力不一定平衡。
产生机械振动的条件是物体受到回复力的作用并且阻尼足够小。
回复力是振动物体受到的使振动物体回到平衡位置的作用力，因它的方向总是指向平衡位置而得名。
很显然，回复力是一个按力的作用效果命名的力，可以是几个力的合力，也可以是某一个力的分力。
如果阻尼不是很小，往复运动不能完成，也不能称其为机械振动。
（2）表征机械振动的物理量
位移（s）：
从平衡位置指向物体所在位置的有向线段。
一般要选取正方向，所以物体的位移可以取正值，也可以取负值。
振幅（A）：
振动物体离开平衡位置的最大距离，它等于振动位移的最大值。
反应了振动的强弱和振动能量的大小。
周期（T）：
振动物体完成一个全振动所需的时间，反映了振动的快慢程度。
频率（f）：
单位时间内振动物体完成全振动的次数，反映了振动快慢程度、频率和周期互为倒数关系。
在振动较慢时，习惯上常用周期表示快慢；在振动较快时，习惯上常用频率表示快慢。
2.简谐振动的力学特征
（1）动力学特征：
振动物体离开平衡位置，受到的回复力与位移大小成正比，方向始终相反，即F=-kx
回复力产生的加速度为
以上两式中的“-”表示F（a）与x方向相反。
（2）运动学特征：
简谐振动是周期性运动，位移、加速度、动量等都随时间按正弦或余弦规律变化。
各物理量关于平衡位置均有一定的对称性。
在关于平衡位置两侧的对称点上，加速度大小、速度大小、动量大小都是相等的。
对称性还表现在过程量——时间上，从某点到平衡位置（或最大位移处）和从平衡位置（或最大位移处）再返回这一点所需的时间相等。
（3）能量特征：
振动能量与振幅有关，随着振幅的增大而增大。
振动系统的动能和势能相互转化，机械能总量保持恒定。
3.简谐振动的图像
（1）简谐振动图像的特点：
横轴表示时间t，纵轴表示某时刻质点的位移x。
由图可以看出，图像为余弦曲线，但如果当质点运动到平衡位置开始计时时，图像就是正弦曲线了。
（2）简谐振动图像的应用：
由图像直接读出周期和振幅。
确定任一时刻质点的位移。
判断振动物体的速度方向和加速度方向。
判断某段时间内，速度、加速度、动能、势能的变化情况。
【难点突破】
弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其所在的位置无关、与其振动的振幅无关。
一个弹簧振子在地球表面上振动周期为T，那么不管将它放到月球上，还是宇宙飞船中；不管是处在超重状态下，还是失重状态下，它的周期均不变，仍为T。
【例题】一弹簧振子做简谐振动，周期为T，下述正确的是：
（全国）
A.若t时刻和（t+Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t+Δt）时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则Δt一定等于
的整数倍
C.若Δt=
，则在t时刻和（t+Δt）时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt=
，则在t时刻和（t+Δt）时刻弹簧的长度一定相等
【分析】
【题解】
【答案】C
【例题】如图所示，M、m静止在光滑水平面上，将弹簧拉离平衡位置x，然后放手，设M、m始终相对静止，则最小摩擦力为_____，最大静摩擦力为_____。
【分析】
【题解】
【答案】
二.单摆单摆的周期公式
在一条不可伸长的、忽略质量的细线上端固定，下端拴一可视为质点的小球，构成的装置叫单摆。
单摆的周期公式是
。
1.单摆是实际摆的理想化模型
在实际摆中如果悬挂小球的细线的伸缩量和质量很小，可以忽略，细线的长度又比摆球的直径大得多时，才能将其理想化为单摆。
单摆在摆动时的摆角θ＜5°时，摆球的运动才是简谐振动。
单摆的回复力是重力沿速度方向（即切线方向）的分力提供，而不等于小球受到的合力。
原因是小球所受的合力还要提供向心力，在平衡位置，小球的回复力等于零，但小球受到的合外力不等于零。
2.单摆的周期公式
单摆的周期公式是荷兰物理学家惠更斯发现的，它表明，单摆做简谐振动的周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。
【难点突破】
在某些振动系统中，处于某一环境中，L不一定是绳长，g也不一定为9。
8m/s，因此出现了等效摆长和等效重力加速度。
1.等效摆长：
摆球到摆动圆弧的圆心之间的距离。
如图所示，等效摆长为Lsinα，而不是摆线L的长度（小球半径忽略）。
2.等效重力加速度：
如果单摆不在竖直平面内摆动，而是在一个斜面上摆动，如图所示，此摆公式中的“重力加速度”位置的数值应该变为了g′=gsinα，即此摆的周期表达式为
；如果单摆处在海拔较高的位置上，加速度应该由
或
等公式来确定；如果单摆处于起动或制动中的电梯里，若电梯的加速度竖直向上，则g′=g+a。
若加速度竖直向下，则g′=g-a。
那么计算等效重力加速度g′的方法是什么呢？
【例题】一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M与N，它们只能在图平面内摆动，某一瞬间出现图示情景，由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是：
（上海）
A.车厢做匀速直线运动，M在摆动，N静止
B.车厢做匀速直线运动，M在摆动，N也在摆动
C.车厢做匀速直线运动，M在静止，N在摆动
D.车厢做匀速直线运动，M在静止，N也在静止
【分析】
【题解】
【答案】A、B
【例题】细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方
摆长处有一能挡住摆线的钉子A，如图所示。
现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放。
对于以后的运动，下列说法中正确的是：
（2001年，全国）
A.摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等
D.摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍。
【分析】
【题解】
【答案】A、B
三.振动中的能量转化
简谐振动中的两个理想模型弹簧振子和单摆，是在只有弹力或重力做功的条件下振动的，振动系统的机械能守恒。
1.弹簧振子的机械能守恒
如图所示，小球运动到平衡位置时所受的回复力为零，加速度为零，速度达到了最大值，弹簧长度为自由长度，系统中的机械能为小球动能。
在小球由O→A运动过程中，弹簧的弹力和速度方向相反，因而对小球做负功，小球动能减少。
弹簧被拉伸，储存了弹性势能，由于功是能量转化的量度，小球和弹簧之间的一对作用力和反作用力做功的代数和为零，所以小球减少的动能全部转化为了弹簧的弹性势能，系统机械能的总量保持不变。
当小球运动到A点，速度为零，动能为零，系统的机械能全部表现为弹簧的弹性势能。
在小球由A→O运动过程中，弹簧弹力对小球做正功，小球动能增加，运动速度越来越大，弹簧的弹性势能逐渐转化成了小球的动能，但机械能的总量保持不变，系统机械能守恒。
小球在平衡位置O点左侧的运动过程中，能量的转化和右方是一样的。
2.单摆的机械能守恒
如图所示，单摆小球运动到平衡位置时所受的回复力即重力沿圆弧的切向分力为零，回复力产生的加速度也为零，速度达到了最大值，系统中的机械能为小球的动能。
（选取小球在最低点O的重力势能为零）
在摆球由O→A运动过程中，只受重力和摆线的拉力作用，摆线拉力方向始终和瞬时速度方向垂直，拉力不做功，只有小球所受重力做功，重力做负功，摆球动能减少，重力势能增加，机械能总量保持不变。
当摆球到达最高点，升高h高度时，速度为零，动能为零，重力势能最大，系统的机械能表现为重力势能。
在摆球由A→O运动过程中，仍然只有重力做功，重力做正功，小球反向运动，动能增加，重力势能减少，但机械能的总量保持不变。
摆球在平衡位置O点左侧的运动过程中，能量的转化和右方是一样的。
3.阻尼振动
前面所述是两个理想物理模型中的能量转化与守恒情况，实际的振动系统中的摩擦和介质阻力要对系统做负功，使得系统的机械能逐渐减少，振动的振幅逐渐减小，直到最后振动停止。
这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。
【例题】做简谐振动的物体（弹簧振子），质量为m，最大速率为v，则：
A.从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功一定为零
B.从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功可能是0～
mv2之间的某一个值
C.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量一定为零
D.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量可能是0～2mv之间的某一个值
【分析】
【题解】
【答案】A、D
【例题】如图所示，物体放在轻弹簧上，沿竖直方向在A、B之间做简谐运动。
在物体沿DC方向由D点运动到C点（D、C两点未在图上标出）的过程中，弹簧的弹性势能减少了3.0J，物体的重力势能增加了1.0J。
则在这过程中：
（2003年，海淀）
A.物体经过D点时的运动方向是指向平衡位置的
B.物体的动能增加了4。
0J
C.D点的位置一定在平衡位置上
D.物体的运动方向可能是向下的
【分析】
【题解】
【答案】A、D
四.自由振动和受迫振动
物体在系统内部回复力作用产生的振动叫做自由振动，或固有振动。
物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。
驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象叫做共振。
1.怎样理解受迫振动
实际中的振动都是阻尼振动，由于摩擦和介质阻力做功，系统的机械能转化为了内能等其他形式的能，机械能总量逐渐减少，如果没有能量补充，最终振动要停下来。
为使振动持续下去，必须对系统施加周期性的外力，这种力叫驱动力，也是以力的作用效果命名的力。
物体在外界驱动力作用下的振动就成为了受迫振动。
受迫振动的频率不等于系统自由振动时的频率，实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率。
2.共振及其常见的应用
（1）共振：
在受迫振动中，振动频率等于驱动力的频率。
如果此时驱动力的频率接近或等于系统的固有频率，受迫振动的振幅将比两个频率相差较大时的振幅大得多，这种现象称为共振。
共振发生时，单位时间内驱动力将其他形式的能转化为振动系统的机械能最多，或者说，驱动力的功率最大。
（2）共振的应用：
声音的共鸣是常见的共振现象。
如果振源的频率等于另外一个系统的固有频率，就会发生共鸣现象。
各种乐器都有一个共鸣箱，会使得振源的声音增强。
共振在生活中有益有害。
利用共振原理做成的共振筛，偏心轮的振动频率可以用电机的电压来控制。
当偏心轮提供的驱动力频率等于筛子固有频率时，筛子的振动加剧，筛除杂物的效率明显提高。
各类发动机都有一定的固定频率，如果发动机曲轴的转动频率造成发动机整体共振，显然是不利的，为此就要设法改变发动机的质量以改变固有频率，或者改变转速以调整驱动力的频率。
【难点突破】
弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其所在的位置无关、与其振动的振幅无关。
一个弹簧振子在地球表面上振动周期为T，那么不管将它放到月球上，还是宇宙飞船中；不管是处在超重状态下，还是失重状态下，它的周期均不变，仍为T。
【例题】正在运转的机器，当其飞轮转得很快时，机器的振动并不强烈，切断电源，飞轮转动逐渐慢了下来，到某一时刻t，机器反而会发生强烈的振动。
此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱，这种现象说明：
A.在时刻t飞轮的惯性最大
B.在时刻t飞轮的转动频率最大
C.在时刻t飞轮的转动频率与机身的固有频率相等发生共振
D.纯属偶然现象，并无规律
【分析】
【题解】
【答案】C
【例题】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。
开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2Hz，然后匀速转动摇把，转速为240r/min。
当振动稳定后，它的振动周期为：
A.
B.
C.2sD.4s
【分析】
【题解】
【答案】B
五.机械波
机械振动在介质中的传播形成机械波。
在介质中若质点的振动方向跟波的传播方向垂直的波叫横波。
若质点的振动方向跟波的传播方向在同一条直线上的波叫纵波。
波长、频率和波速的关系为：
波速等于波长和频率的乘积。
1.机械波
（1）产生机械波的条件：
机械波产生的条件是同时存在振波（波源）和传播振动的介质。
每个质点都在各自平衡位置附近振动，并不随波迁移。
前一质点在振动时向后一质点提供驱动力，后一质点在驱动力作用下产生受迫振动，但后一质点的振动情况要落后于前一质点的振动。
波是传递能量的一种方式。
（2）波的分类：
质点的振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波，它是凹凸波，凸起部分的最高点叫波峰，凹下部分的最低点叫波谷；质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波叫纵波，它是疏密波。
（3）描述波的物理量
①波长λ：
两个相邻的、在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长。
在横波中；两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离等于一个波长；在纵波中两个相邻的疏部或相邻的密部之间的距离等于波长。
波长等于波在一个周期内向外传播的距离。
②频率f（周期T）：
波的频率（周期）等于振源的频率（周期），与介质无关，波从一种介质进入另一种介质，频率（周期）是不变的。
③波速v：
波传播的距离与传播这段距离所用时间的比值。
是表示波传播快慢的物理量。
波速的大小由介质的性质决定，在不同的介质中，波速是不同的，在同一种介质的不同温度条件下波速也是不同的。
④波长、频率（周期）和波速的关系是：
，
2.波的图像
（1）波的图像的物理意义：
表示介质中沿波传播方向上，一系列质点在某一时刻相对于平衡位置的位移。
简谐波的图像是正弦或余弦曲线。
波的图像也称为波形图或波形曲线。
（2）利用波的图像求波长、频率（周期）和波速。
在已知的波形图中可以读出波长、振幅等物理量，如果再已知频率或波速，便可以利用v=λf求出波速或频率。
（3）利用波形图可以判定波的传播方向或某一质点的振动方向。
具体方法有：
①微平移法：
将波形曲线沿波的传播方向做微小平移，如图所示的P（Q）点，移动后它比原来的位置高（低）了，说明经过极短的一段时间它向上（下）运动了。
这种方法叫微平移法。
这种方法可以由波的传播方向判断某质点的振动方向，也可以由振动方向判断波的传播方向。
②“三角形”法：
在波形图线和x轴围成的丘状图形内画一个三角△abc，其中底边bc和x轴重合，如图所示，如果波沿x轴正方向传播，那么在bc边上画上一个沿x轴正方向的箭头，在三角形的其他两个边也画上和bc边箭头绕向一致的箭头。
那么，在OA波形图上的所有质点的运动方向就和它相邻的ab边上箭头的方向大体一致，即竖直向下的方向。
这样的方法同样适用于对x轴下方各质点位移为负值时的运动方向的判断。
【难点突破】
波动图像与振动图像的分类比较如下表。
【例题】如图所示，有四列简谐波同时沿x轴正方向传播，波速分别是v、2v、3v和4v。
a、b是x轴上所给定的两点，且ab=l。
在t时刻a、b两点间四列波的波形分别如图所示。
则由该时刻起a点出现波峰的先后顺序依次是图________；频率由高到低的先后顺序依次是图_______。
【分析】
【题解】
【答案】B、D、C、A、D、B、C、A
【例题】如图所示，一列简谐横波在图中x轴上传播，a、b是其中相距为0.3m的两点，在某时刻a点质元正位于平衡位置向上运动，b点质元恰好运动到下方最大位移处，已知横波的传播速度为60m/s，波长大于0.3m，则：
（2001年，广东）
A.若该波沿x轴负方向传播，则频率为150Hz
B.若该波沿x轴负方向传播，则频率为100Hz
C.若该波沿x轴正方向传播，则频率为75Hz
D.若该波沿x轴正方向传播，则频率为50Hz
【分析】
【题解】
【答案】A、D
六.波的叠加波的干涉衍射现象
几列波相遇时能够保持各自的运动状态，继续传播，在它们的重叠区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移高于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，而且振动加强的区域和振动减弱的区域互相隔开，这种现象叫波的干涉，所形成的图样叫做干涉图样。
波可以绕过障碍物继续传播，这种现象叫波的衍射。
1.波的干涉
（1）波的叠加：
在波的传播方向上，某质点的振动是由这一点前面（距振源近的一侧）的质点提供的驱动力来实现的，如果有两列波同时传播到这一点，即两列波在该点相遇，那么两列波在该点引起的振动的位移等于各自单独引起位移的矢量和。
如果振动方向相同或相反，那么合振动的方向便决定于振动移位大的振动。
（2）波的干涉：
为了得到稳定的叠加图样，两列波必须满足一定的条件。
这些条件叫相干条件，满足相干条件的波叫做相干波，相干波的波源叫做相干波源。
所谓稳定的干涉图样是指在介质中某些位置的质点，振动的振幅始终最大，在另一些位置的质点，振动的振幅始终最小，在其他位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。
人们把这种稳定的叠加现象称之为干涉现象。
两列波的相干条件：
一是两个波源具有相同的频率，即两列波的波长必须相同。
二是两列波的相位差必须保持不变，或具有相同的相位。
干涉是波特有的现象。
2.波的衍射
波在向前传播过程中遇到障碍物时，传播方向不再沿直线而是发生了弯曲，绕过障碍物后继续传播，这种现象叫做波的衍射现象。
之所以能够发生波的衍射现象，是由于在波所到达的区域，所有质点都参与了振动。
波的衍射程度和障碍物的大小有关。
所谓障碍物的大小是相对于波长来说的。
发生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小。
衍射也是波特有的现象。
【难点突破】
两列相干波相遇并产生干涉现象时，振动加强的质点永远加强，振动减弱的质点永远减弱。
但是要注意振动加强的质点不是位移永远最大，而是振幅最大，振动减弱的质点不是位移永远最小，而是振幅最小。
【例题】如图所示，S1、S2是振动情况完全相同的两个机械波的波源，振幅为A，a、b、c三点分别位于S1、S2连线的中垂线上，且ab=bc。
某时刻a是两列波的波峰相遇点，c是两列波的波谷相遇点。
则：
A.a处质点的位移始终为2A
B.c处质点的位移始终为-2A
C.b处质点的振幅为2A
D.c处质点的振幅为2A
【分析】
【题解】
【答案】C、D
【例题】如图所示，S为波源，M、N为两块挡板，其中M板固定，N板可上下移动，两板中间有一狭缝，此时测得A点没有振动，为了使A点能发生振动，可采用的方法是：
A.增大波源的频率
B.减小波源的频率
C.将N板向上移动一些
D.将N板向下移动一些
【分析】
【题解】
【答案】B、C
七.声波超声波及其应用多普勒效应
声源的振动，使周围的空气发生疏密相间的纵波，叫做声波。
频率高于20000Hz的声波称为超声波。
由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象叫做多普勒效应。
1.声波
（1）声源：
各种振动着的发声物体，都是声源。
例如各种乐器上的弦或片，由于人的弹拨或气流的冲击而产生了振动，同时发出了声响。
（2）声波：
在声源周围存在着的空气，声源的振动，使周围的空气产生了疏密变化，形成了疏密相间的纵波，这就是声波。
声波将声源振动的能量传入人的耳朵，使耳膜发生振动，人就听到了声音。
但是，人的听觉是有一定范围的。
这个范围约在20～20000Hz之间。
（3）声速：
声波是纵波，所以它能够在固体、液体和气体中传播，但传播速度不同。
声波在介质中的传播速度称为声速。
声速决定于介质的性质以及介质的温度。
一般情况下，声波在固体中传播速度最大，在气体中最小，在液体中介于以上两者之间。
常温下，经常取为340m/s。
（4）反射：
波在传播过程中碰到障碍物反射回来的现象叫声波的反射。
反射回来的声波传到耳朵里，就形成回声。
（5）衍射：
声波的波长约在0.017～17m之间，因此在自然界里声波很容易发生衍射现象。
（6）干涉：
声波在符合机械波的相干条件后也能发生干涉现象，在空间的不同区域，空气的振幅不同，形成了加强区和减弱区。
2.超声波及其应用
（1）超声波的频率高于人能感觉到的声音频率的上限20000Hz，波长则低于人能感觉到的声波波长的下限0.017m。
由于超声波的波长很短，因此在自然界里的衍射现象不明显，基本上是沿直线传播的。
（2）利用超声波的直线传播可以进行测量和定位；超声波的穿透能力很强，可以用来探伤；利用超声波使一些动物具有发现目标，确定方位的生物本领。
3.多谱勒效应
波源的频率等于单位时间内波源发出的完全波的个数。
如果波源和观察者相对于介质都是静止的，那么观察者接收到的频率高于波源的频率。
当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小。
这种由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象，就是多普勒效应。
多普勒效应是波动过程共同的特征。
【例题】某测量员是这样利用回声测距离的：
他站在两平行峭壁间某一位置鸣枪，经过1.00秒钟第一次听到回声，又经过0.50秒钟再次听到回声。
已知声速为340m/s，则两峭壁间的距离为_____m。
（2001年，全国）
【分析】
【题解】
【答案】425
【例题】如图所示，在直线PQ垂线OM上有AB两个声源，A、B分别距O点6m和1m，两个声源同时不断向外发出波长都为2m的完全相同的声波，在直线PQ上，从-∞到+∞的范围内听不到声音的小区域共有：
A.无穷多个 B.5个
C.4个 D.3个
【分析】
【题解】
【答案】D
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