实验一低通采样定理和内插与抽取实现概论.docx
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实验一低通采样定理和内插与抽取实现概论
实验一：
低通采样定理和内插与抽取实现
一．实验目的
1.连续信号和系统的表示方法，以及坊真方法。
2.用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，
3.采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。
4.用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。
5.用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法，实验数据的可视化表示。
二．原理
1、时域抽样定理
令连续信号xa（t）的傅里叶变换为Xa（j
）,抽样脉冲序列p（t）傅里叶变换为P（j
）,抽样后的信号x^（t）的傅里叶变换为X^（j
）若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为
s=2
fs,由前面分析可知:
抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p（t）与连续信号xa（t）相乘来完成,即满足:
x^（t）=xa（t）p（t），又周期信号f（t）傅里叶变换为：
故可以推得p（t）的傅里叶变换为:
其中:
根据卷积定理可知:
得到抽样信号x（t）的傅里叶变换为:
其表明:
信号在时域被抽样后,他的频谱X（j
）是连续信号频谱X（j
）的形状以抽样频率
为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p（t）的傅里叶级数Pn加权。
因为Pn只是n的函数,所以X（j
）在重复的过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x（t）的频谱限制在-
m~+
m的范围内,若以间隔Ts对xa（t）进行抽样,可知抽样信号X^（t）的频谱X^（j
）是以
s为周期重复。
显然,若在抽样的过程中
s<2
m,则X^（j
）将发生频谱混叠现象,只有在抽样的过程中满足
s>=2
m条件,X^（j
）才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x^（t）恢复原连续信号xa（t）,这就是低通信号抽样定理的核心内容。
2、信号的重建
从频域看,设信号最高频率不超过折叠频率:
Xa（j
）=Xa（j
）|
|<
s/2
Xa（j
）=0|
|>
s/2
则理想取样后的频谱就不会产生混叠,故有:
让取样信号x^（t）通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器:
H（j
）=T|
|<
s/2
H（j
）=0|
|>
s/2
滤波器只允许通过基带频谱,即原信号频谱,故:
Y（j
）=X^（j
）H（j
）=Xa（j
）
因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号:
y（t）=xa（t）
从时域上看,上述理想的低通滤波器的脉冲响应为:
根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为:
由上式显然可得:
则:
上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率,连续时间函数xa（t）就可用他的取样值xa（nT）来表达而不损失任何信息，这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa（t）,在每一取样点上,由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零,所以各个取样点上的信号值不变。
三．内容
1.连续时间信号线性滤波实现
设计一个Butterworth模拟带通滤波器，设计指标为：
通带频率：
1000-2000Hz，两侧过渡带宽500Hz，通带波纹1dB，阻带衰减100dB。
假设一个信号，其中f1=100Hz,f2=1500Hz,f3=2900Hz。
信号的采样频率为10000Hz。
试将原信号与通过该滤波器的模拟信号进行比较。
参考程序如下：
wp=[10002000]*2*pi;ws=[5002500]*2*pi;Rp=1;Rs=100;%滤波器设计参数，对于给定Hz应乘以2
[N,Wn]=buttord（wp,ws,Rp,Rs,'s'）;%求得滤波器的最小阶数和截止频率
w=linspace（1,3000,1000）*2*pi; %设置绘制频率响应的频率点
[b,a]=butter（N,Wn,'s'）; %设计模拟Butterworth滤波器
H=freqs（b,a,w）; %计算给定频率点的复数频率响应
magH=abs（H）;phaH=unwrap（angle（H））;%计算幅频响应和相频响应
plot（w/（2*pi）,20*log10（magH））; %以频率为横坐标绘制幅频响应
xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅/dB'）;
title（'Butterworth模拟带通滤波器'）;
holdon;plot（[10001000],ylim,'r'）;plot（[20002000],ylim,'r'）;%绘通带边界gridon
figure
（2）
dt=1/10000; %模拟信号采样间隔
f1=100;f2=1500;f3=2900;%输入信号的三个频率成分
t=0:
dt:
0.04; %给定模拟时间段
x=sin（2*pi*f1*t）+0.5*cos（2*pi*f2*t）+0.5*sin（2*pi*f3*t）;%输入信号
H=[tf（b,a）]; %滤波器在MATLAB系统中的表示
[y,t1]=lsim（H,x,t）; %模拟输出
subplot（2,1,1）,plot（t,x）,title（'输入信号'）%绘出输入信号
subplot（2,1,2）,plot（t1,y） %绘制输出信号
title（'输出信号'）,xlabel（'时间/s'）
2.理想矩形滤波器的时域表示
clear;clc;
fh=100;
forI=1:
4
k=I;fs=k*2*fh;
N=10*k;n=-N:
N;
dt=1/fs;T=N*dt;
t=-T:
dt:
T;
%h=2*fh/fs*sinc（n/k）;
%h=sinc（n/k）;
subplot（2,2,I）
plot（t,h）;holdon；
stem（t,h）;holdon;
plot（t,zeros（length（t））,'linewidth',3）;
title（['fs/2fh=k,k=',num2str（k）],'fontsize',28）;
axis（'off'）
end
3.连续时间信号的采样和重建
①、分别用150HZ及300HZ对信号采样
源信号为：
fa=5*sin（2*pi*40*t1）+1.8*sin（4*pi*40*t1）+0.8*sin（5*pi*40*t1），用150Hz的频率对f（t）进行采样，其采样图如图1所示；用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样图如图2所示。
程序如下：
fs1=150;
t1=-0.1:
1/fs1:
0.1;
fa=5*sin（2*pi*40*t1）+1.8*sin（4*pi*40*t1）+0.8*sin（5*pi*40*t1）;
figure
（1）;plot（t1,fa）,xlabel（'fs1=150Hz时,fa采样时域图'）;
holdoff;
fs2=300;
t2=-0.1:
1/fs2:
0.1;
fb=5*sin（2*pi*40*t2）+1.8*sin（4*pi*40*t2）+0.8*sin（5*pi*40*t2）;
figure
（2）;plot（t2,fb）,xlabel（'fs2=300Hz时,fb采样时域图'）;
图1150HZ采样频率对信号采样图
图2300HZ采样频率对信号采样图
②、对信号进行快速离散傅里叶变换
将两个采样信号进行快速离散傅里叶变换（FFT）,用150Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图3所示；用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图4所示。
程序如下：
f=40;fs=150;
N=300;k=0:
N-1;
t=-0.1:
1/fs:
0.1;
w1=150*k/N;
fa=5*sin（2*pi*f*t）+1.8*sin（4*pi*f*t）+0.8*sin（5*pi*f*t）;
xfa=fft（fa,N）;xf1=abs（xfa）;
figure
（1）;plot（w1,xf1）,xlabel（'fs=150Hz时,fa经fft后频谱图.单位：
Hz'）;
f=40;fs=300;
N=300;k=0:
N-1;
t=-0.1:
1/fs:
0.1;
w2=300*k/N
fb=5*sin（2*pi*f*t）+1.8*sin（4*pi*f*t）+0.8*sin（5*pi*f*t）;
xfb=fft（fb,N）;xf2=abs（xfb）;
figure
（2）;plot（w2,xf2）,xlabel（'fs=300Hz时,fb经fft后频谱图.单位：
Hz'）;
图3150HZ采样后经FFT后频谱图
图4300HZ采样后经FFT后频谱图
③、信号的重建
我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复为原信号，图5和图6分别为恢复后的原信号。
程序如下：
Wm=180*pi;Wc=Wm;
fs1=150;Ws=2*pi*fs1;
n=-800:
800;nTs1=n/fs1;
fa=5.1*sin（2*pi*40*nTs1）+1.8*sin（4*pi*40*nTs1）+0.8*sin（5*pi*40*nTs1）;
Dt=1/fs1;t1=-0.1:
Dt:
0.1;
fa1=fa/fs1*Wc/pi*sinc（（Wc/pi）*（ones（length（nTs1）,1）*t1-nTs1'*ones（1,length（t1）））;
figure
（1）;plot（t1,fa1）;
axis（[-0.10.1-88]）;
xlabel（'fs=150Hz时,fa利用内插由样本重建原信号图.'）;
Wm=180*pi;Wc=Wm;
fs2=300;Ws=2*pi*fs2;
n=-800:
800;nTs2=n/fs2;
fb=5.1*sin（2*pi*40*nTs2）+1.8*sin（4*pi*40*nTs2）+0.8*sin（5*pi*40*nTs2）;
Dt=1/fs2;t1=-0.1:
Dt:
0.1;
fb1=fb/fs2*Wc/pi*sinc（（Wc/pi）*（ones（length（nTs2）,1）*t1-nTs2'*ones（1,length（t1）））;
figure
（2）;plot（t1,fb1）;
axis（[-0.10.1-88]）;
xlabel（'fs=300Hz时,fb利用内插由样本重建原信号图.'）;
grid;
图5150HZ采样后的信号的重建信号
图6300HZ采样后的信号的重建信号
4.采样信号的抽取和插值
t=0:
.00025:
1;%Timevector
x=sin（2*pi*30*t）+sin（2*pi*60*t）;
figure
（1）
subplot（211）
stem（t（1:
120）,x（1:
120））;holdon
y=decimate（x,4）;
%Viewtheoriginalanddecimatedsignals:
stem（x（1:
120））,axis（[0120-22]）%Originalsignal
title（'OriginalSignal'）
subplot（212）
stem（y（1:
30））%Decimatedsignal
title（'DecimatedSignal'）
%File_C3:
UpSampl.m
%该程序仿真通过零阶保持内插对信号进行上抽样，分析上抽样对信号频谱的影响
clearall
clc
f0=0.06;%信号数字频率
N=256;
dt=1;%抽样时间
t=[0:
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