A．（0，＋∞）B．（2，＋∞）
C．（－∞，2）D．（4，＋∞）
答案 D
3．某物体一天中的温度T（单位：
℃）是时间t（单位：
h）的函数：
T（t）＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：
00，其后t取正值，则下午3时温度为（ ）
A．8℃B．78℃
C．112℃D．18℃
答案 B
4．下面选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是（ ）
A．y＝10×1.05x
B．y＝20＋x1.5
C．y＝30＋lg（x－1）
D．y＝50
答案 A
5．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB）．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：
η＝10·lg
（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（ ）
A.
倍B．10倍
C.
倍D．ln
倍
答案 B
解析 由题意，令70＝10lg
，则有I1＝I0×107.同理得I2＝I0×106，所以
＝10.
1．四类不同增长的函数模型
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．
（3）增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．
（4）增长速度平稳的函数模型是幂函数模型．
2．函数模型的应用
（1）可推演原则：
建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
（2）反映性原则：
建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
一、选择题
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A．y＝6xB．y＝log6x
C．y＝x6D．y＝6x
答案 B
解析 D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．
2．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax
答案 D
解析 对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），
∴y＝f（x）的图象大致为D中图象．
4．下面给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）
A．指数函数：
y＝2tB．对数函数：
y＝log2t
C．幂函数：
y＝t3D．二次函数：
y＝2t2
答案 A
解析 由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．
5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：
毫克/升）与过滤时间t（单位：
时）之间的函数关系式为：
P＝P0e－kt（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为（ ）
A.
小时B.
小时
C．5小时D．10小时
答案 C
解析 由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P＝P0e－kt，∴（1－90%）P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln0.1，∴k＝－
ln0.1.由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln0.01，∴
t＝ln0.01，∴t＝10.∴至少还需要过滤5小时才可以排放．
6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
答案 B
解析 水深h为自变量，随着h增大，A中V增长速度越来越快，C中先慢后快，D增长速度不变，只有B中V增长速度越来越慢．
二、填空题
7．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（双）的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．
答案 800
解析 要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，
即10x－（5x＋4000）≥0，解得x≥800.
8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭（除燃料外）质量mkg的关系是v＝2000ln
，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
答案 e6－1
解析 由题意2000ln
＝12000.
∴ln
＝6，从而
＝e6－1.
9．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系式为y＝alog2（x＋1），设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．
答案 300
解析 把x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1），
得a＝100，
故函数关系式为y＝100log2（x＋1），
所以当x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300.
所以到第7年这种动物发展到300只．
10．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和（本金加利息）为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．
答案 y＝a（1＋r）x，x∈N＋
解析 已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a（1＋r），
2期后本利和为y＝a（1＋r）＋a（1＋r）r＝a（1＋r）2，
3期后本利和为y＝a（1＋r）3，
…
x期后本利和为y＝a（1＋r）x，x∈N＋.
三、解答题
11．在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少要过滤几次？
（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
解 设原有杂质为a，经过x次过滤后杂质为y，则y＝a×（1－20%）x＝a0.8x.
由题意得
<5%，即0.8x<5%，
所以xlg0.8
≈13.4，
因此至少需要经过14次过滤才能使水中杂质减少到原来的5%以下．
12．某企业生产A，B两种产品．根据市场调查与市场预测知A产品的利润与投资成正比，其关系如图
（1）所示，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图
（2）所示．（注：
图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产．问：
怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润为多少万元？
解
（1）设投资了x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．
由题意知f（x）＝k1x（k1≠0），g（x）＝k2
（k2≠0）．
由题图可知f
（2）＝1，所以k1＝
，
由g（4）＝4，得k2＝2.
故f（x）＝
x（x≥0），g（x）＝2
（x≥0）．
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入（10－x）万元．
设企业利润为y万元，
则y＝f（x）＋g（10－x）＝
x＋2
（0≤x≤10）．
令
＝t，则y＝
＋2t＝－
（t－2）2＋7（0≤t≤
）．
当t＝2时，ymax＝7，此时x＝10－4＝6.
所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为7万元．
13．某纪念章从2018年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y（单位：
元）与上市时间x（单元：
天）的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
（1）根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：
①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
解
（1）∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴函数y＝ax2＋bx＋c满足该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系．
（2）把点（4,90），（10,51），（36,90）分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得
解得
∴y＝
x2－10x＋126＝
（x－20）2＋26.
∴当x＝20时，y有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．
四、探究与拓展
14．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份（ ）
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案 A
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a（a＞0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×（1＋x）4＝
，因为y
－y
＝（m＋4a）2－m（m＋8a）＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
15．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元．假定该商品的售价由三部分组成：
生产成本（a元）、包装成本（b元）、利润，生产成本（a元）与饼干质量成正比，包装成本（b元）与饼干质量的算术平方根（估计值）成正比，利润率为20%，试求出该种饼干1000克装的合理售价（精确到0.1元）．
解 设饼干的质量为x克，
则其售价y（元）与质量x（克）之间的函数解析式为
y＝（mx＋n
）（1＋0.2），
由题意得1.6＝（100m＋
n）（1＋0.2），
即
＝100m＋10n.
又3＝（200m＋
n）（1＋0.2）．
即2.5≈200m＋14.14n，
∴0.167≈5.86n，
∴
∴y≈（1.05×10－2x＋0.0284
）×1.2，
当x＝1000时，y≈13.7.
∴估计这种饼干1000克装的售价为13.7元．
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